1、2012年沪科版初中数学八年级下 20.3矩形 菱形 正方形练习卷与答案（带解析） 选择题 如图，以等边三角形 ABC的边 AC为边，向外做正方形 ACDE，则(1) BCE=105；（ 2） BAE=105；（ 3） BE=BD ； (4) DBE=30；其中结论正确的有（ ）个 A 4 B 3 C 2 D 1 答案： A 试题分析：由等边三角形及正方形的角度，可得出（ 1），（ 2）的角度，由 ABE CBD，得出线段相等，进而求出 DBE的大小 由题意可得， BCE=60+45=105，（ 1）正确； BAE=90+60=150，（ 2）正确； （ 3）中 AB=BC， AE=CD， B
2、AE= BCD=150， ABE CBD， BE=BD，（ 3）正确； ABE中， AB=AE， BAE=150， ABE= CBD=15， DBE=30，（ 4）正确 故选 A 考点：本题考查的是正方形及等边三角形的性质 点评：解答本题的关键是熟练掌握正方形及等边三角形的性质，会用其性质求解一些简单的计算问题 如图，矩形 ABCD沿 AE折叠，使 D点落在 BC边上的点 F处，如果 BAF=60，则 DAE等于（ ） A 15 B 30 C 45 D 60 答案： A 试题分析：先根据 BAF=60求出 DAF的度数，再根据图形翻折变换的性质求出 DAE的度数 BAF=60， DAF=30，
3、 又 AF是 AD折叠得到的， ADE AFE， DAE= EAF=15， 故选 A. 考点：本题考查的是图形的翻折变换及矩形的性质 点评：图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，所以折叠前后的两个图形是全等三角形，复合的部分就是对应量 如图，矩形 ABCD的周长为 18cm， M是 CD的中点，且 AM BM，则矩形 ABCD的两邻边长分别是 A 3cm和 6cm B 6cm和 12cm C 4cm和 5cm D以上都不对 答案： A 试题分析：首先证得 ADM BCM，可得出 AMD= BMC，由此可求出两角的度数，即可得出 DM、 MC的长，由此得解 四边形 ABCD是
4、矩形， D= C=90， AD=BC， 又 M是 CD的中点 MD=MC， ADM BCM， AMD= BMC AM BM， AMD= BMC=45， AD=DM， BC=CM， 矩形 ABCD的周长为 18cm， AD=3cm， DC=6cm， 故选 A. 考点：此题主要考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质 点评：解答本题的关键是由 ADM BCM证得 AD=DM， BC=CM。 如图，菱形 ABCD中， BE AD， BF CD， E、 F分别是垂足， AE=DE，则 EBF是（ ） A 75 B 60 C 50 D 45 答案： B 试题分析：连接 BD，首先
5、推出 ABD是等边三角形，然后可知 A=60， EBF+ D=180， D+ A=180，故可得 EBF= A=60 如图，连接 BD， BE AD， AE=DE， BD=AB=AD， ABD是等边三角形， A=60， 又 BE AD， BF CD， BED+ BFD=180， D+ EBF=180， 又 D+ A=180， EBF= A=60 故选 B 考点：本题考查的是菱形的性质，等边三角形的判定和性质 点评：解答本题的关键是得到 ABD 是等边三角形，熟练掌握同角的补角相等。 如图，在菱形 ABCD中， E、 F分别在 BC和 CD上，且 AEF是等边三角形， AE=AB，则 BAD的度
6、数是（ ） A 95 B 100 C 105 D 120 答案： B 试题分析：正 AEF 的边长与菱形 ABCD 的边长相等，所以 AB=AE， AF=AD，根据邻角之和为 180求得 B的度数，从而求得结果 正 AEF的边长与菱形 ABCD的边长相等，所以 AB=AE， AF=AD， 设 B=x，则 BAD=180-x， BAE= DAF=180-2x， 又 BAE+ EAF+ FAD= BAD 即 180-2x+180-2x+60=180-x 解得 x=80， 则 BAD=180-80=100， 故选 B. 考点：本题考查的是菱形的性质，等边三角形的性质 点评：正三角形各内角为 60、各
7、边长相等，菱形邻角之和为 180，本题中根据关于 x的等量关系式求 x的值是解题的关键 下列给出的条件中，能判定一个四边形是菱形的是（ ） A有一组对边平行且相等，有一个内角是直角 B两组对边分别相等，且有一组邻角相等 C有一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直。 D有一组对边平行且相等，且有一条对角线平分一个内角。 答案： D 试题分析：菱形的判定方法有三种： 定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形； 四边相等； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，根据方法判定即可 A、错误，可判定为矩形，而不一定是菱形； B、可判定为矩形，而不一定是菱形； C、可判定为等腰梯形，而不是菱形； D、正确
8、，有一组对边平行且相等可判定为平行四边形，有一条对角线平分一个内角，则可判定有一组邻边相等，而一组邻边相等的平行四边形是菱形， 故选 D 考点：本题考查菱形的判定方法 点评：解答本题的关键是掌握好菱形的判定方法： 定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形 ； 四边相等； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 下列命题是假命题的是（ ） A四个角相等的四边形是矩形 B对角线互相平分的四边形是平行四边形 C四条边相等的四边形是菱形 D对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 答案： D 试题分析：根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法依次分析各项即可。 A、 B、 C符合判定方法，正确； D缺少对角线互
9、相平分，错误； 故选 D. 考点：本题考查的是平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法 点评：解答本题的关键是熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，尤其注意用对角线判定时，一定要注意是否具备互相平分的条件。 如图，矩形 ABCD的周长为 20cm，两条对角线相交于 O点，过 O作 AC的垂线 EF，分别交 AD、 BC于 E、 F点，连接 EC，则 CDE的周长为（ ） A.5cm B.8cm C.9cm D.10cm 答案： D 试题分析：根据矩形的性质， AO=CO，由 EF AC，得 EA=EC，则 CDE的周长是矩形周长的一半 ABCD为矩形， AO=OC EF AC， A
10、E=EC CDE的周长 =CD+DE+EC=CD+DE+AE=CD+AD=10（ cm） 故选 D 考点：本题考查的是矩形的性质 点评：解答本题的关键是利用线段垂直平分线的性质求出 AE=CE，进而求三角形的周长 已知一直角三角形的周长是 ，斜边上的中线长 2，则这个三角形的面积是（ ） A 5 BC D 1 答案： B 试题分析：根据直角三角形的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，可求得斜边的长，再根据直角三角形的周长和勾股定理，可求得两直角边的长或长的乘积，由此可求出这个三角形的面积 设两 直角边分别为 a， b，斜边为 c， 根据三角形的性质知： c=4， ， 解得 ， 则
11、 ， 故选 B. 考点：本题考查的是直角三角形的性质 点评：解答本题的关键是熟练掌握直角三角形的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。在解题过程中，应了解直角三角形的一些特殊性质，在进行求解的时候使问题变得简单 在矩形 ABCD中 AD与 BD相交于点 O，作 AP BD，垂足为 P，若PD=3PB，则 AOB的度数是（ ） A 30 B 45 C 60 D 90 答案： C 试题分析：根据矩形的对角线相等且互相平分， PD=3PB，可得 PO=PB，再由AP BD，证得 ABP AOP，从而得到 AO=AB，即可证得 ABO是等边三角形，即得结果。 矩形 ABCD， AO=BO=
12、 DO， PD=3PB， PO=PB， AP BD， AP=AP， ABP AOP， AB=AO， AO =BO， AB=AO=BO， ABO是等边三角形， AOB=60， 故选 C. 考点：本题考查的是矩形的性质 点评：解答本题的关键是证 ABP AOP，从而得到 ABO是等边三角形 填空题 菱形的两个邻角之比为 2： 1，周长为 4a，则较短的对角线的长为_. 答案： a 试题分析：根据菱形的性质求出边长，然后推出对角线与菱形的两边构成的三角形为等边三角形，即得结果 已知菱形的周长为 4a，则菱形的边长是 a； 两个邻角的比是 2： 1，则较大的角是 120，较小的角是 60，这个菱形较短
13、的对角线所对的角是 60； 根据菱形的性质得到，较短的对角线与菱形的两边构成的三角形是等边三角形， 所以，菱形较短的对角线的长等于菱形的边长 a 考点：本题考查的是菱形性质的运用 点评：推出菱形较短的对 角线与菱形的两边构成的三角形为等边三角形是解题的关键。 在四边形 ABCD 中，给出四个条件： AB=CD， AD BC， AC BD， AC平分 BAD，由其中三个条件可以推出四边形 ABCD为菱形你认为这三个条件是 _. 答案： 或 试题分析：菱形的判定方法有三种： 定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形； 四边相等； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形据此判断即可 设 AC与 BD交于点 E
14、，由 AC BD， AC平分 BAD可证得，Rt AEB Rt AED， AB=AD， BE=DE， 再由 BEC= DEC=90， CE=CE，证得 Rt BCE Rt DCE， BC=CD， 再由 AB=CD，可根据四边相等的四边形是菱形而得证为菱形； 或者再由 AD BC，证得： Rt AED Rt BCE， AE=EC， 由对角线互相垂直平分的四边形是菱形而得证为菱形 故填写 或 考点：本题考查的是菱形的判定 点评：解答本题的关键是掌握菱形的判定方法： 定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形； 四边相等； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 正方形 ABCD中，对角线 BD的长为 20cm
15、，点 P是 AB上任意一点，则点P到 AC、 BD的距离之和是 _. 答案： cm 试题分析：在正方形 ABCD中，对角线 AC=BD=20cm，所以对角线的一半是10，分直角为 45，点 P到 AC， BD的距离，即是垂线所以点 P到 AC， BD的距离之和为对角线的一半，即是 10 PE AC， PF BD 正方形 ABCD BD AC PF AC， PE BD AC=BD=12cm， AP+PB=AB PE+PF=6 故选 A 考点：此题主要考查了正方形的性质 点评：解答本题的关 键是掌握正方形的对角线的性质，即相互平分，又平分对角 如图，在矩形 ABCD中， CE BD， E为垂足，
16、DCE: ECB=3： 1，那么 ACE=_. 答案： 试题分析：根据矩形的性质首先求出 DCE， ECB的度数然后利用三角形内角和定理求解即可 四边形 ABCD是矩形， DCB=90， DCE： ECB=3： 1， DCE= 90=67.5， ECB=22.5 EBC= ACB=90- ECB=67.5 ACE= ACB- ECB=67.5-22.5=45. 考点：本题考查的是矩形的性质以及三角形内角和定理 点评：解答本题的关键是掌握矩形的四个角都是 90，三角形的内角和为 180. 矩形的两条对角线的夹角为 60，一条对角线与短边的和为 15，则对角线的长为 _. 答案： 试题分析：根据矩
17、形 ABCD，得到 OA=OC， OB=OD， AC=BD，推出 OA=OB，根据等边三角形的判定得出 OAB是等边三角形，即可求出对角线长 矩形 ABCD， OA=OC， OB=OD， AC=BD， OA=OB， AOB=60， OAB是等 边三角形， AB=OB=OA=5， AC=BD=25=10 考点：本题主要考查矩形的性质，等边三角形的性质和判定 点评：解答此类问题要熟练掌握矩形的对角线相等的性质，能根据性质得到等边三角形 OAB是解此题的关键。 如图，在矩形 ABCD中， E、 F分别在 AB、 CD上， BF DE，若AD=12cm， AB=7cm， AE:EB=5:2,则阴影部分
18、的面积为 _cm2. 答案： . 24 试题分析：先由 AB=7cm， AE:EB=5:2,求出 AE， BE的长，再根据阴影部分为一个平行四边形，即可求得结果 因为 EB FD，又因为 BF DE，故四边形 BEDF为平行四边形 又因为 AB=7cm，且 AE： EB=5： 2， 故 EB=2cm， S 阴影 =EB AD=212=24cm2 考点：本题主要考查矩形的性质 点评：解答本题的关键是发现阴影部分为一个平行四边形，做这类题时还需仔细观察发现题中隐含的条件 如图，以正方形 ABCD的对角线 AC为一边作菱形 AEFC，则 FAB=_. 答案： .5 试题分析：由正方形的性质得对角线
19、AC平分直角， 因为菱形的对角线平分所在的角，即可求得结果。 因为 AC为正方形 ABCD的对角线，则 CAE=45，又因为菱形的每一条对角线平分一组对角，则 FAB=22.5. 考点：本题主要考查正方形、菱形的性质 点评：解答本题的关键是掌握正方形、菱形的对角线均平分对角。 如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC、 BD相交于点 O， AOB=60， AE平分 BAD， AE交 BC于 E，则 BOE的度数是 _. 答案： 试题分析：根据矩形的对角线相等，结合 AOB=60，得 AOB 为等边三角形，则 AB0=60， BO=AB，从而得到 EB0=30，再根据 AE平分 BAD，结合矩形的
20、性质可得 ABE为等腰直角三角形，则 AB=BE=BO，即可求得结果。 矩形 ABCD， AO=BO， ABE= BAD=90， A0B=60， AOB为等边三角形， AB0=60， BO=AB， EB0= ABE- AB0=30， AE平分 BAD， BAE=45， ABE=90， ABE为等腰直角三角形， AB=BE， BO=AB， BO=BE， EB0=30， BOE=75. 考点：本题考查的是矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质 点评：解答本题的关键是根据矩形的性质得到 AOB为等边三角形， ABE为等腰直角三角形，从而得到 BOE为等腰三角形 . 已知，如图菱形
21、 ABCD中， B=60， AB=4，则以 AC为边长的正方形ACEF的周长为 _ 答案： 试题分析：由菱形 ABCD， B=60，易证得 ABC是等边三角形，继而可得AC=AB=4，则可求得以 AC为边长的正方形 ACEF的周长 四边形 ABCD是菱形， AB=BC， B=60， ABC是等边三角形， AC=AB=BC=4， 以 AC为边长的正方形 ACEF的周长为： 4AC=16 考点：此题考查了菱形的性质、正方形的性质以及等边三角形的判定与性质 点评：解答本题的关键是掌握菱形的性质、正方形的性质，注意掌握数形结合思想的应用 已知菱形 ABCD的边长为 6， A=60，如果点 P是菱形内一
22、点，且PB=PD= ，那么 AP的长为 _. 答案： 试题分析：先画出图形，判断出点 P在 AC上， 点 P在 OA上时， 点 P在OC上时，然后利用勾股定理求出 DO、 AO、 OP，继而可得出 AP的长度 A=60， AB=AD， ABD是等边三角形， BD=AD=6， DO=3， AO= ， 又 PB=PD= ， 点 P在 BD的中垂线 AC上， 在 RT DPO中， OP= ， 故可得 AP=AO-OP= 当点 P在 OC上时，可得 CP= ，此时 AP=AC-CP= ， 故答案：为 考点：此题考查了菱形的性质 点评：解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分的性质，判断出点P在线
23、段 AC上 . 解答题 如图所示，在 Rt ABC 中， AD 平分 BAC，交 BC 于 D， CH AB 于 H，交 AD于 F， DE AB垂足为 E，求证：四边形 CFDE是菱形。 答案：见 试题分析：根据菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形是菱形先证四边形 CDEF是平行四边形，再证 CD=DE，即证四边形 CDEF是菱形 由 AD平分 BAC， CH AB， DE AB证得 ACD AED， CD=ED， CH DE， CFD= EDF= CDF， CD=CF， CFED为平行四边形，再由CD=ED证得是菱形。 考点：本题考查的是角的平分线的性质，等角对等边，平行四边形的判定，菱
24、形的判定 点评：解答本题的关键是熟练掌握菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 如图，在 ABC中， D是 BC边上的一点， E是 AD的中点，过 A点作 BC的平行线交 CE的延长线于 F，且 AF=BD，连接 BF。 （ 1）求证： D是 BC的中点 （ 2）如果 AB=AC，试判断四边形 AFBD的形状，并证明你的结论。 答案： (1)见；（ 2）矩形。 试题分析：（ 1）根据两直线平行，内错角相等求出 AFE= DCE，然后利用“角角边 ”证明 AEF 和 DEC 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AF=CD，再利用等量代换即可得证； （ 2）先利用一组对边平行且相等的四边形是
25、平行四边形证明四边形 AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知 ADB=90，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是 AB=AC （ 1） AF BC， AFE= DCE， E是 AD的中点， AE=DE， AEF= DEC， AEF DEC（ AAS）， AF=CD， AF=BD， BD=CD， D是 BC的中点； （ 2）四边形 AFBD是矩形 AF BD， AF=BD， 四边形 AFBD是平行四边形， AB=AC， BD=CD， ADB=90， AFBD是矩形 考点：本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定 点评：明确有一个角是直角的平行四边形
26、是矩形是解本题的关键 如图所示，在正方形 ABCD 中， E 是对角线 AC 上一点， EF 垂直 CD于 F，EG垂直 AD于 G，求证 BE=FG. 答案：见 试题分析：连接 ED，那么 ED=FG，要证明 BE=FG，只要证明 DE=BE即可证明 DE=BE就要通过全等三角形来实现三角形 ABE和 ADE中，有 BAE= DAE，有 AB=AD，有一组公共边 AE，因此构成了全等三角形判定中的 SAS，因此两三角形全等，得 DE=BE，即可证得结论 如图，连接 ED， 四边形 ABCD是正方形， EF CD， EG AD， GDF= DFE= DGE=90， 四边形 EFDG为矩形 FG
27、=DE， 又 AC为正方形 ABCD的对角线， BAE= DAE， 又 AE=AE， AB=AD， ABE ADE， BE=DE， BE=FG 考点：本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形和矩形的性质 点评：通过构建全等三角形来证明简单的线段相等是解此类题的常用方法 已知 ABCD的对角线 AC、 BD相交于 O， AOB是等边三角形， AB=4cm，求这个平行四边形的面积。 答案： 试题分析：根据 AOB是等边三角形及平行四边形的对角线互相平分，可得ABCD是矩形，根据勾股定理可求得 BC的长，即可求得面积。 因为四边形 ABCD是平行四边形， AOB是等边三角形， 所以可得 OA=OB=OC=OD，就 AC=BD，所以平行四边形 ABCD是矩形 因为 AB=4，在 Rt ABC中，由题意可知， AC=8，则 BC= ， 所以平行四边形 ABCD的面积 考点：本题考查的是平行四边形 的性质及矩形的判定 点评：对于此类题目一定要重点掌握矩形的判定定理，及矩形的基本性质
