1、2012年苏教版初中数学八年级上 2.7勾股定理的应用练习卷与答案（带解析） 选择题 下列各组数中 ,以 a,b,c为边的三角形不是 Rt的是 ( ) A a=1.5,b=2,c=3 B a=7,b=24,c=25 C a=6,b=8,c=10 D a=3,b=4,c=5 答案： A 试题分析：要组成直角三角形，三条线段满足较小的平方和等于较大的平方即可 A、 1.52+2232，符合题意； B、 72+242=252， C、 62+82=102， D、 32+42=52，不符合题意 考点：本题考查勾股定理的逆定理 点评：解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：两边的平方和等于第三边的平方，
2、那么这样的三角形是直角三角形 四边形的四条边 AB、 BC、 CD、 DA的长分别为 3、 4、 13、 12,其中 B=90,则四边形的面积是 ( ) A.72 B.66 C.42 D.36 答案： D 试题分析：先根据题意画出图形，由勾股定理求出 AC 的值，再根据勾股定理的逆定理判断出 ACD的形状，根据三角形的面积公式求解即可 如图所示：连接 AC， AB=3， BC=4， CBA=90， AC=5， ACD中， 52+122=132，即 AC2+AD2=AC2， ACD是直角三角形， S 四边形 ABCD=S ABC+S ACD= 34+ 512=36 故选 D 考点：本题考查的是勾
3、股定理及勾股定理的逆定理 点评：根据题意画出图形，判断出 ACD的形状是解答此题的关键 已知 ,如图 ,长方形 ABCD中 ,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠 ,使点 B与点D重合 ,折痕为 EF,则 ABE的面积为 ( ) A 6cm2 B 8cm2 C 10cm2 D 12cm2 答案： A 试题分析：首先翻折方法得到 ED=BE，在设出未知数，分别表示出线段 AE，ED， BE的长度，然后在 Rt ABE中利用勾股定理求出 AE的长度，进而求出AE的长度，就可以利用面积公式求得 ABE的面积了 长方形折叠，使点 B与点 D重合， ED=BE， 设 AE=xcm，则 ED=BE=
4、（ 9-x） cm， 在 Rt ABE中， AB2+AE2=BE2， 32+x2=（ 9-x） 2， 解得： x=4， ABE的面积为： 34 =6（ cm2）， 故选 A. 考点：此题主要考查了图形的翻折变换，勾股定理的应用 点评：解题过程中应注意折叠后哪些线段是重合的，相等的，如果想象不出哪些线段相等，可以动手折叠一下即可 如图 ,在 Rt ABC中 , ACB=90O,BC=6,正方形 ABDE的面积为 100,则正方形 ACFG的面积为 ( ) A 64 B 36 C 82 D 49 答案： A 试题分析：由正方形 ABDE的面积为 100得直角三角形的斜边是 10再根据勾股定理得 A
5、C=8，从而正方形 ACFG的面积为 64 因为 S 正方形 ABDE=AB2=100，且在 Rt ABC中， BC=6，所以 S 正方形 ACFG=AC2=AB2-BC2=64 故选 A 考点：本题考查的是正方形的面积公式以及勾股定理 点评：解答本题的关键是熟练掌握以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积 如图 ,在三角形纸片 ABC中 , ACB=90,BC=3,AB=5,在 AC 上取一 E,以 BE为折痕 ,使 AB的一部分与 BC 重合 ,A与 BC 延长线上的点 D重合 ,则 CE的长度为 ( ) A 1 BC 2 D答案： B 试题分析：由
6、 Rt ABC中， BC=3,AB=5,利用勾股定理，可求得 AC 的长，由折叠的性质，可得 CD的长，然后设 DE=x，由勾股定理，即可列方程求得结果 Rt ABC中， BC=3,AB=5, 由折叠的性质可得： AB=BD=5， AE=DE， CD=BD-BC=2， 设 DE=x，则 AE=x， CE=AC-AE=4-x， 在 Rt CDE中， DE2=CD2+BCE2， x2=22+（ 4-x） 2， 解得： ， 故选 B 考点：此题主要考查了图形的翻折变换，勾股定理 点评：解题过程中应注意折叠后哪些线段是重合的，相等的，如果想象不出哪些线段相等，可以动手折叠一下即可 填空题 如图，将直角
7、 ABC绕点 C顺时针旋转 90至 ABC的位置，已知AB=10， BC=6， M是 AB的中点，则 AM _. 答案： 试题分析：设 B1C的中点是 N，连接 MN根据勾股定理，得 AC=8，根据旋转的性质，得 CB1=CB=6， A1C=AC=8，根据三角形的中位线定理，得 MN=4在直角三角形 ANM中，根据勾股定理就可求解 ABC是直角三角形， ACB=90， AB=10， BC=6， AC=8 过 M点作 AC 的垂线，垂足设为 N，那么 MN 平行于 AC，且 N 是 BC的中点， NC= BC= BC=3， MN= AC= AC=4 AN=AC-NC=5 在 AMN 中， ANM
8、=90， MN=4， AN=5， 考点：此题考查了旋转的性质 点评：解题时要巧妙利用辅助线以及分析图形是此题的关键 如图 ,图中的螺旋形由一系列直角三角形组成 ,则第 n个直角三角形的面积为_ 答案： 试题分析：这是一个规律性题目，第一个三角形的斜边正好是第二个三角形的直角边，依次进行下去，且有一个直角边的边长为 1从而可求出面积 根据勾股定理： 第一个三角形中： OA12=1+1， S1=112 ； 第二个三角形中： OA22=OA12+1=1+1+1， S2=OA112 ； 第三个三角形中： OA32=OA22+1=1+1+1+1， S3=OA212 ； 第 n个三角形中： 考点：本题主要
9、考查了勾股定理的应用 点评：解答本题的关键是要注意根据勾股定理，逐一进行计算，从中寻求规律，进行解答 已知 :如图 ,AD是 ABC的高 , BAD=45,AC=13 cm,CD=5 cm,则AD=_;S ABC=_. 答案： cm， 102cm2 试题分析：在 Rt ACD中，已知 AC， CD的长，根据勾股定理可求得 AD的长，再根据等腰三角形的性质可得到 BD的长，最后根据三角形的面积公式即可求解 AD是 ABC的高， AC=13cm， CD=5cm AD=12cm AD是 ABC的高， BAD=45 AD=BD=12cm BC=BD+CD=12+5=17cm S ABC BCAD=10
10、2cm2 考点：本题考查的是勾股定理，等腰三角形的性质 点评：解答本题的关键熟练掌握勾股定理，同时知道有一个角是 45的三角形是等腰直角三角形。 如图 ,正方形的面积是 _ . 答案： 试题分析：根据勾股定理即可得到结果。 由题意得，正方形的面积是 考点：本题考查的是正方形的面积公式以及勾股定理 点评：解答本题的关键是熟练掌握以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积 直角三角形两直角边长分别为 5和 12，则它斜边上的高为 _ 答案： 试题分析：先用勾股定理求出斜边长，然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可 由勾股定理可得：斜边长 2=52+122，
11、则斜边长 =13， 直角三角形面积 S= 512= 13斜边的高， 可得：斜边的高 = . 考点：本题考查勾股定理及直角三角形面积公式 点评：解答本题的关键是熟练掌握直角三角形的两种面积公式。 等腰三角形的腰长为 10，底边长为 12，则其底边上的高为 _. 答案： 试题分析：先画出图形，根据等腰三角形 “三线合一 ”的性质及勾股定理即可求得结果。 如图， AB=AC=10， BC=12， AD为高， 则 BD=CD=6， 考点：本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理 点评：解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形 “三线合一 ”的性质：等腰三角形顶角平分线，底边上的高， 底边上的中线重合。 如图
12、,33 网格中一个四边形 ABCD，若小方格正方形的边长为 1，则四边形 ABCD的周长是 _. 答案： +2 试题分析：根据网格的特征及勾股定理即可求得结果。 四边形 ABCD的周长为 + + + =3 +2 . 考点：本题考查的是勾股定理 点评：解答本题的关键是熟练掌握网格的特征，灵活选择合适的直角三角形运用勾股定理。 ABC中， AB=AC=6， A=60， BD为高，则 BD=_. 答案： 试题分析：先根据题意画出图形，由 AB=AC=6， A=60，可得 ABC为等边三角形，根据等边三角形的性质及勾股定理即可求得结果。 AB=AC=6， A=60， ABC为等边三角形， AB=AC=
13、BC=6， BD为高， BD=CD=3， 考点：本题考查的是等边三角形的判定和性质，勾股定理 点评：解答本题的关键是熟练掌握有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形。 已知直角三角形的两边长分别为 3和 4,则第三边长为 _ 答案：或 试题分析：题目中没有明确直角边、斜边，故应分情况讨论。 当 4是直角边时，第三边长的是 ， 当 4是斜 边时，第三边长的平方是 ， 则第三边长为 5或 . 考点：本题考查的是勾股定理 点评：解答本题的关键是要注意当题目中没有明确直角边、斜边时，要分情况讨论。 已知 , 中 , ,则 的面积为 _. 答案： 试题分析：先根据勾股定理的逆定理判断形状，再根据三角形的
14、面积公式即可得到结果。 是直角三角形， 考点：本题考查勾股定理的逆定理 点评：解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：两边的平方和等于第三边的平方，那么这样的三角形是直角三角形 解答题 木工师傅为了让直尺经久耐用 ,常常在直尺的直角顶点与斜边之间加一个小木条 ,如下左图所示 .下右图为其示意图 .若 BAC=90,线段 AB的长为 5,线段 AC的长为 12,试求出小木条 AD的最短长度 . 答案： 试题分析：先根据勾股定理得出 BC 的长，再根据等面积法即可求得结果。 当 AD BC 时，小木条 AD的长度最短， 因为 BAC=90， AB=5， AC=12，所以 BC=13， 因为三角形
15、 ABC的面积 = ABAC= BCAD，所以 AD= 答 :小木条 AD的最短长度为 . 考点：此题主要考查了勾股定理的应用 点评：解答本题的关键是熟练掌握直 角三角形的两种面积公式。 木工师傅做一个人字形屋梁 ,如图所示 ,上弦 AB=AC=4m,跨度 BC 为 6m,现有一根长为 3m的木料打算做中柱 AD(AD是 ABC的中线 ),请你通过计算说明这根木料的长度是否适合做中柱 AD.(只考虑长度、不计损耗 )答案：适合 试题分析：根据等腰三角形的性质可得三角形 ABD是直角三角形，再根据勾股定理即可得出 AD的长，从而可以判断结果。 AB=CD=4， AD是 ABC的中线， BC=6
16、AD BC， BD= BC=3 由勾股定理，得 AD= 1)的代数式表示 : a = _,b = _,c = _. (2)猜想 :以 a、 b、 c为边的三角形是否为直角三角形 并说明你的猜想 . 答案： (1)n2-1， 2n， n2+1；（ 2）是直角三角形 试题分析：（ 1）结合表中的数据，观察 a， b， c与 n之间的关系，可直接写出答案：； （ 2）分别求出 a2+b2， c2，比较即可 (1)n2-1， 2n， n2+1； (2)猜想为：以 a、 b、 c为边的三角形是直角三角形 因为 a2+b2=(n2-1)2+4n2 =n4-2n2+1+4n2=n 4+2n2+1=(n2+1
17、)2=c2 所以以 a、 b、 c为边的三角形是直角三角形 . 考点：本题考查列代数式，勾股定理的逆定理 点评：本题需仔细观察表中的数据，找出规律，利用勾股定理的逆定理即可解决问题 某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召 ,决定公路相距 25km的A,B两站之间 E点修建一个土特产加工基地 ,如图 ,DA AB于 A,CB AB于 B,已知 DA=15km,CB=10km,现在要使 C、 D两村到 E点的距离相等 ,那么基地 E应建在离 A站多少 km的地方 答案： 试题分析：设 AE=x千米，则 BE=(25-x)千米，由题意知 Rt DAE的斜边长与Rt EBC的斜边长相等，根据勾股定
18、理即可列方程求解。 设 AE=x千米，则 BE=(25-x)千米， 在 Rt DAE中， DA2+AE2=DE2 在 Rt EBC中， BE2+BC2=CE2 CE=DE DA2+AE2=BE2+BC2 152+x2=102+(25-x)2 解得 x=10 答：基地应建在离 A站 10千米的地方 考点：本题考查的是勾股定理的应用 点评：解答本题的关键是读懂题意，根据 Rt DAE的斜边长与 Rt EBC的斜边长相等列方程 . 如图，要从电线杆离地面 12米处向地面拉一条长为 13米的钢缆，求地面钢缆固定点 A到电线杆底部 B的距离 . 答案：米 试题分析：根据勾股定理即可得到结果。 在 Rt
19、ABC中 BC=12， AC=13， AB2+BC2=AC2 AB2=AC2-BC2=132-122=25 AB=5 答 :地面钢缆固定点 A到电线杆底部 B的距离为 5米 考点：本题考查勾股定理的应用 点评：解答本题的关键是熟练掌握勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。 如图 ,在四边形 ABCD中， AB=BC=2， CD=3， AD=1，且 ABC=900，试求 A的度数 答案： 0 试 题分析：连接 AC，先在 Rt ABC中得到 BAC的度数，根据勾股定理算出AC 的长，再根据勾股定理的逆定理判断出 DAC 的形状，即可得到结果。 如图，连接 AC， 在 Rt ABC
20、中， AB=BC=2 BAC=450， AC2=AB2+BC2=22+22=8 在 DAC 中， AD=1， DC=3 AD2+AC2=8+12=9=32=CD2 DAC=900 DAB= BAC+ DAC =450+900 =1350 考点：本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理 点评：解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：两边的平方和等于第三边的平方，那么这样的三角形是直角三角形 一个三角形三条边的比为 5 12 13，且周长为 60cm，求它的面积 . 答案：厘米 2 试题分析：先算出三角形的三边的长，再根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，最后根据直角三角形的面积公式即可得到结果。
21、三角形的三边的长分别为 : 60 =10厘米， 60 =24厘米， 60 =26厘米 102+242=676=262 此三角形是直角三角形， S= 1024=120厘米 2。 考点：本题考查 勾股定理的逆定理 点评：解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：两边的平方和等于第三边的平方，那么这样的三角形是直角三角形 如图， 中， 于 D，若 ，求 的长 答案： 试题分析：设 BD=x，则 AD=2x，在 Rt ACD与 Rt BCD中，根据勾股定理可以分别表示出 CD，即可得到关于 x的方程，解出即可。 设 BD=x，则 AD=2x， ， ， ， 解得 ， 则 考点：本题考查的是勾股定理 点评
22、：解答本题的关键是注意 Rt ACD与 Rt BCD有一条公共的直角边 CD. 如图 ,在四边形 中 , ， , ，求四边形 的面积 答案： 试题分析：连接 AC，由勾股定理求出 AC 的值，再根据勾股定理的逆定理判断出 ACD的形状，根据三角形的面积公式求解即可 连接 AC， 在 中， 在 中 , 直角三角形 考点：本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理 点评：根据题意画出图形，判断出 ACD的形状是解答此题的关键 如图所示 ,正方形网格中的每个小正方形边长都是 1,画出一个周长为 5三角形 ,且使它的每个顶点都在小正方形的顶点上 .判断你所画三角形的形状 ,并说明理由 . 答案：如图所示： ABC是直角三角形 试题分析：先根据题意画出图形，再根据勾股定理的逆定理即可判断形状。 如图， ABC(或 ABC等 )就是所求的三角形 . AB=5， AC= ， BC= AC2 +BC2 = ， AB2=52=25 AC2 +BC2 =AB2 ABC是直角三角形 . 考点：本题考查的是勾股定理的逆定理 点评：解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：两边的平方和等于第三边的平方，那么这样的三角形是直角三角形
