1、2010-2011学年湖南省师大附中高一下学期期末考试（数学） 选择题 不等式 的解集是（ ） A B CD 答案： C （满分 6分）设 x， y满足约束条件 ， 若目标函数 z=ax+by（ a0， b0）的最大值为 12，则 的最小值为（ ） A B C D 4 答案： A （满分 6分）设 ,记不超过 的最大整数为 ，如 ，令 ，则 ， ， ，三个数构成的数列（ ） A是等差数列但不是等比数列 B是等比数列但不是等差数列 C既是等差数列又是等比数列 D既不是等差数列也不是等比数列 答案： B 已知 ABC的三个顶点 ，点 在 ABC的内部及边界运动，则 ( ) A在点 A处有最大值 B
2、在点 B处有最大值 C在点 A处有最小值 D在点 C处有最大值 答案： D 若 ，且 ，则 有（ ） A最小值 B最大值 C最小值 D最大值 答案： A 考点：基本不等式。 分析：和定积最大，直接运用均值不等式 2/x+8/y=12 =8 ，就可解得 xy的最小值，注意等号成立的条件。 解答： 因为 x 0， y 0 所以 2/x+8/y=12 =8 ， xy64当且仅当 x=4， y=16时取等号， 故选 A。 点评：本题考查了均值不等式，定理的使用条件为一正二定三相等，利用基本不等式可求最值，和定积最大，积定和最小。 在 ABC中，若 则 ( ) A B C D 答案： B 已知等差数列
3、的公差为 ,若 成等比数列 , 则 （ ） A B C D 答案： B 在 ABC中，已知 ，则 （ ） A B C D 2 答案： B 填空题 （满分 6分）在锐角 中， 则 的值等于 ， 的 取值范围为 答案：，（ ,， ） 设 在约束条件 下，目标函数 的最大值为 4，则 的值为 答案： 若 ，则函数 的值域是 答案： 若数列 满足： ，则前 6项的和 答案： 在直角三角形 ABC中， ，则 的最大值是 。 答案： 在等比数列 中 , 若 是方程 的两根，则 -=. 答案： 一元二次不等式 的解集是 ，则 的值是 答案： 解答题 （满分 10分）从社会效益和经济效益出发，某市决定投入资金
4、进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，打算本年度投入 800万元，以后每年投入将比上年平均减少 ，本年度旅游收入为 400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年平均增加 . （ ）设第 年（本年度为第一年）的投入为 万元，旅游业收入为 万元，写出 和 的表达式； （ ）至少经过几年旅游业的总收入超过总投入？ 答案： （ ）依题意每年投入构成首项为 800万元，公比为 的等比数列， 1 分 每年旅游业收入构成首项为 400万元，公比为 的等比数列。 2 分 所以， 4 分（各 2分） （ ）经过 年，总投入 5 分 经过 年，总收入 6 分 设经过 年，总收入超过总
5、投入，由此， ,化简得 7 分 设 代入上式整理得， 解得， 或 （舍去） 8 分 由 ， 时， ， ， 13 分 因为 在定义域上是减函数，所以 9 分 答：至少经过 5年旅游业的总收入超过总投入。 10分 （满分 10分）在 中， 分别为内角 A， B， C所对的边长， ， ，求边 BC 上的高 . 答案：解： A B C 180，所以 B C A， 又 ， ， 1分 即 ， 2分 又 0A180，所以 A60. 3分 在 ABC中，由正弦定理 ， 5分 又 ，所以 B A， B 45， C 75， 分 BC 边上的高 AD AC sinC分 . 10分 （满分 10分） 设 ，式中 满足
6、条件 ，求 的最大值和最小值。 答案： 解：作出满足不等式组的可行域（如图） 3分 做直线 ， 4分 当直线经过点 时， 7分 当直线经过点 时， 10分 （满分 10分）记关于 的不等式 的解集为 ，不等式的解集为 （ I）若 ，求 ； （ II）若 ，求正数 的取值范围 答案：（ I）由 ，得 4分 （ II）由 6分 由 ，得， 8分 又 ，所以 ， 即 的取值范围是 10分 （满分 15分）在 ABC中， A,B,C 分别是边 所对应的角，且 （ I）求 的值； （ II）若 ，求 ABC的面积的最大值。 答案： （ I） 6分 （ II）由 ，有： ， 6分 8分 又 ，由余弦定理得： , 10分 即： ， 12分 则 ，当且仅当 时等号成立 14分 则面积的最大值为 3. 15分 、 (满分 17分 ) 设数列 的前 项和为 ，对任意的正整数 ，都有 成立，记。 （ I）求数列 的通项公式； （ II）记 ，设数列 的前 项和为 ，求证：对任意正整数 都有 ； 答案：（ ）当 时， 1 分 又 ，则 ，将两式相减得： 3 分 数列 成等比数列，其首项 ，公比是4 分 5 分 6 分 （ ）由（ ）知 . = 9 分 又 当 11 分 当 13 分 = 17 分
