1、2010-2011年河南省郑州市第 47中学高二下学期第一次月考数学理卷 选择题 满足 f(x) f (x)的函数是（ ） A f(x) 1-x B f(x) x C f(x) 0 D f(x) 1 答案： C 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如： 他们研究过图 1中的 1， 3， 6， 10， ，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图 2中的 1， 4， 9， 16， 这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） . A 289 B 1024 C 1225 D 1378 答案： C 由曲线 和直线 x =1及 x轴围线的平面图形绕 x轴
2、旋转一周所得几何体的体积为（ ） A B C D 答案： B 过点 且与曲线 在点 处切线垂直的直线方程是（ ） A B C D 答案： D 设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是 ( ) 答案： D 、已知直线 与曲线 相切，则 的值为（ ） A B 1 CD 2 答案： C 已知函数 ，则 的值为（ ） A -306 B 9 C 0 D 18 答案： C 已知函数 在 R上满足 ，则曲线 在点 处的切线方程是 （ ） . A B C D 答案： A 已知对任意实数 ，有 ，且 时，则 时（ ） A B C D 答案： B 曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三
3、角形的面积为（ ） A B C D 答案： D 函数 的单调递增区间是（ ） . A B C (1,4) D (0,3) 答案： B 从推理形式上看，由特殊到特殊的推理，由部分到整体，个别到一般的推理，由一般到特殊的推理依次是（ ） A归纳推理、演绎推理、类比推理 B类比推理、归纳推理、演绎推理 C归纳推理、类比推理、演绎推理 D演绎推理、归纳推理、类比推理 答案： B 已知 ，则 的值为（ ） A B C D 0 答案： C 填空题 、已知： 中， 于 ，三边分别是 ，则有；类比上述结论，写出下列条件下的结论：四面体 中， 的面积分别是 ，二面角的度数分别是 ，则 答案： s1cos +s2
4、cos +s3cos 曲线 存在垂直于轴的切线，则实数 a取值范围是 _ 答案： 函数 的图象与 x轴所围成的封闭图形的面积为 答案： 如图为函数 的图象， 为函数 的导函数，则不等式 的解集为 。 答案： 解答题 （本小题满分 12分） 求由抛物线 ，直线 所围成的图形的面积 答案：解 由 ，得抛物线与轴的交点坐标是 和 ，所求图形分 成两块， 分别用定积分表示面积 ， 故面积 = = = （本题满分 12分） 已知 是函数 的一个极值点。 （ 1）求 的值； （ 2）求函数 的单调区间； （ 3）若直线 与函数 的图象有 3个交点，求 的取值范围。 答案：解：（ 1） ，因为 是函数的极值
5、点。 所以 ，因此， 。 （ 2）由（ 1）知 ， ， 由 ，得 ；由 ，得 。 所以 的单调增区间是 ， ； 的单调减区间是 。 （ 3）由（ 2）知， 的极大值为 ，极小值为 ， 因为在 上当 足够小（如取 ）时， ；而在 上当 足够大（如取 ）时， ，所以直线 与函 数 的图象有 3个交点，当且仅当 。因此， 的取值范围是。 （本小题满分 12分） 已知函数 f（ x） alnx x2（ a为实常数） （ ）若 a -2，求证：函数 f（ x）在（ 1， ）上是增函数； （ ）求函数 f（ x）在 1， e上的最小值及相应的 x值； 答案：解：（ 1）当 时， ， 相应的 x值为； 当
6、时， 的最小值为 ，相应的 x值 为 12 分 （本小题满分 12分） 甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付的情况下，乙方的年利润 x（元）与年产量 t（吨）满足函数关系 。若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 s元（以下称 s为赔付价格）。 （ 1）将乙方的年利润 w（元）表示为年产量 t（吨）的函数，并求出乙方获得最 大利润的年产量； （ 2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y=0. 002t2（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格
7、s是多少？ 答案：解：（ 1）因为赔付价值为 s元 /吨，所以乙方的实际年利润为： 2分 因为 4分 所以当 取得最大值 所以乙方取得最大年利润的年产量 吨 6分 （ 2）设甲方净收入为 v元，则 将 代入上式，得到甲方净收入 v与赔付价格之间的函数关系式： 8分 又 令 ，得 s=20 当 s20时， ， 所以 s=20时， v取得最大值。 因此甲方向乙方要求赔付价格 s=20（元 /吨）时，获最大净收入。 12分 （本小题满分 12分） 已知 ， ，直线 与函数 、 的图象都相切，且与函数 的图象的切点的横坐标为 . ( )求直线 的方程及 的值； ( )若 (其中 是 的导函数 )，求函数 的最大值； ( )当 时，求证： 答案：解： ( ) ， . 直线 的斜率为 ，且与函数的图象的切点坐标为 . 直线 的方程为 . 又 直线 与函数的图象相切 , 方程组 有一解 . 由上述方程消去 ，并整理得 依题意，方程 有两个相等的实数根， 解之，得 或 . ( )由 ( )可知 ， . . 当 时， ，当 时， . 当 时， 取最大值，其最大值为 2. ( ) . ， ， . 由 ( )知当 时， 当 时， ， .
