1、2010年河北省正定中学高二下学期期末考试数学（理）试题 选择题 复数 的虚部是 A B 1 C D 答案： B 在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算 “ ”如下，当 时，；当 时， ，则函数的最大值等于（ “ ”和 “-”仍为通常的乘法和减法） A -1 B 1 C 12 D 6 答案： D 设方程 的两根为 ，则 A B C D 答案： A 已知函数 ，令 ，可得函数图像上的九个点，在这九个点中随机取出两个点 ， ，则 两点在同一反比例函数图像上的概率是 A B C D 答案： B 已知函数 的反函数为 ，若函数 的图象与函数的图象关于直线 对称，且 ，则实数 的值 A B 1 C
2、-1 D 2 答案： D 设函数 在 上可导，且 ，则当 时有 A B C D 答案： A 设椭圆 的离心率 ，右焦点 ，方程的两个根分别为 ，则点 在 A圆 内 B圆 上 C圆 上 D以上三种情况都有可能 答案： A 若半径为 1的球面上两点 A、 B间的球面距离为 ，则球心到 A、 B两点的平面的距离最大值为 A B C D 答案： C 在 的展开式中，含 的项的系数是 A 74 B 121 C -74 D -121 答案： D 设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 = A 2 BC D 3 答案： B 若国际研究小组由来自 3个国家的 20人组成，其中 A国 10人， B国 6人，C国
3、4人，按分层抽样法从中选 10人组成联络小组，则不同的选法共有（ ）种。 A B C D 答案： D 已知角 的终边过点 ，且 ，则 的值为 A B C 或 D 或 答案： A 填空题 已知 分别为双曲线 的左右焦点， 为双曲线左支上的一点，若 ，则双曲线的离心率的取值范围是 . 答案： 函数 上是减函数，则 a的取值范围是 答案： 已知变量 满足条件 ，若目标函数 （其中 ）仅在 处取得最大值，则 的取值范围是 答案： 若抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，则 的值为 答案： 解答题 （本小题满分 10分） 锐角三角形 ABC的三内角 A、 B、 C所对边的长分别为 ，设向量，且 （ ）求
4、角 B的大小； （ ）若 ，求 的取值范围 . 答案：（ ） （ ） （本小题满分 12分） 将如下 6个函数： ，分别写在 6张小卡片上，放入盒中 . （ ）现从盒子中任取 2张卡片，将卡片上的函数相加得到一个新函数，求所得函数是偶函数的概率； （ ）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有奇函数卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数 的分布列和数学期望 . 答案：（ ） （ ）见 (本小题满分 12分 ) 如图，在正三棱柱 （）若 ，求点 到平面 的距离； （ ）当 为何值时，二面角 的正弦值为 ？ 答案：（） （ ） (本小题满分 12分 ) 设数列 为等差数列
5、，且 ， ，数列 的前 项和为 ，且 ； （ ）求数列 , 的通项公式； （ ）若 ， 为数列 的前 项和 . 求证： . 答案：（ ） （ ）； （ ）证明见 （本小题满分 12分） 设函数 f (x) ln(x a)+x2. （ ）若当 x 1时， f (x)取得极值，求 a的值，并讨论 f (x)的单调性； （ ）若 f (x)存在极值，求 a的取值范围，并证明所有极值之和大于 ln. 答案：（ ） ； 分别在区间 单调递增，在区间单调递减 （ ） ，证明见 （ ） ，依题意有 ，故 从而 的定义域为 ， 当 时， ；当 时， ； 当 时， 分别在区间 单调递增，在区间 单调递减 （ ）
6、 的定义域为 ， 方程 的判别式 （ ）若 ，即 ，在 的定义域内 ，故 无极值 （ ）若 ，则 或 若 ， ， 当 时， ， 当 时， ，所以 无极值 若 ， ， ， 也无极值 （ ）若 ，即 或 ，则 有两个不同的实根， 当 时， ，从而 有 的定义域内没有零点，故无极值 当 时， ， ， 在 的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知 在 取得极值 综上， 存在极值时， 的取值范围为 的极值之和为 . (本小题满分 12分 ) 已知 A（ -3， 0）， B（ 3， 0），三角形 PAB的内切圆的圆心 M在直线 上移动。 （ ）求点 P的轨迹 C的方程； （ ）某同学经研究作出判断，曲线 C在 P点处的切线恒过点 M，试问：其判断是否正确？若正确，请给出证明；否则说明 理由。 答案：（ ） （ ）此同学的判断是正确的，证明见 （ ）设 ，三角形 PAB的内切圆 M与 PA、 PB、 AB的切点分别为 E、 F、 H，则 P点的轨迹 C为以 A、 B为焦点的双曲线的右支（除去顶点） 曲线 C的方程为 （ ）此同学的判断是正确的 设 P点处曲线的切线交 轴于点 Q，下证： PQ平分 不妨设 当 时，曲线 C满足 ， 则曲线 C在点 P处的切线的斜率 直线 PQ的方程为 取 ，得 又，即 PQ平分 PQ恒过点 M，得证
