1、2011届广东省汕头市高三第一次模拟考试数学理卷 选择题 复数 的虚部是（ ） A B C D 答案： A 图 3中的阴影部分由底为 ，高为 的等腰三角形及高 为 和 的两矩形所构成设函数 是图 中 阴影部分介于平行线 及 之间的那一部分的面积， 则函数 的图象大致为 （ ） 答案： C 下面为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） 俯视图： 半径为 1的圆 A B C D 答案： D 若函数 （ ， ， ）在 一个周期内的图象如图 2所示， 分别是这段图象的最高点和最低点，且 （ 为坐标原点），则 （ ） A B C D 答案： C 甲、乙两名运动员的 5次测试成绩如下图所示设 分别表示
2、甲、乙两名运动员测试成绩的标准差， 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有 （ ） A ， B ， C ， D ， 甲 乙 3 5 1 4 6 6 6 0 2 1 4 5 答案： B 根据表格中的数据，可以判定函数 的一个零点所在的区间为 ，则 的一个值为（ ） A 0 B -1 C 2 D 1 -1 0 1 2 3 0.37 1。 2.72 7.39 20.09 1 2 3 4 5 答案： D 已知等差数列 的前 项和为 ，且满足 ，则数列 的公差是（ ） A B C D 答案： C 设集合 ， ，那么 “ ”是 “ ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不
3、充分也不必要条件 答案： B 填空题 （坐标系与参数方程选做题） 在极坐标系中， 圆 的极坐标方程为 ，过极点的一条直线 与圆相交于 ， 两点，且 ，则 = 答案： （几何证明选讲选做题） 如图，正 的边长为 2，点 分别是边 的中点，直线 与的外接圆的交点为 、 Q，则线段 = 答案： 按下列程序框图运算：若输入 ，则输出 k= ； 若输出 k=3，则输入 的取值范围是 答案： 4， ； 若双曲线 - =1的渐近线与圆 相切，则此双曲线的离心率为 答案： 若平面区域 是一个梯形，则实数 的取值范围是 答案： 将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为 m,第二次出现的点数为 n
4、，向量 =(m,n), =(3,6),则向量 与 共线的概率为 答案： 二项式 的展开式中常数项是第 项。 答案： 5 解答题 （本小题满分 l2 分） 已知 ABC的三个内角 A， B， C所对的边分别为 且 （ ）求 的大小 ; （ ）若 求 ABC。 答案：解： (1) 2分 即 4 分 5 分 6 分 (2) 若 由余弦定理 得 2 分 所以 6 分 （本小题满分 12分） 日销售量 1 1.5 2 频数 10 25 15 频率 0.2 某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近 50天的统计结果如下： （ ）填充上表； （ ）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立
5、 . 5天中该种商品恰好有 2天的销售量为 1.5吨的概率； 已知每吨该商品的销售利润为 2千元， 表示该种商品两天销售利润的和（单位： 千元），求 的分布列 . 答案：解： (1 ) 求得 0.5 0.3. 2 分 (2) 依题意，随机选取一天，销售量为 1.5吨的概率 1 分 设 5天中该种商品有 天的销售量为 1.5吨，则 B（ 5,0.5） 2 分 4 分 的可能取值为 4,5,6,7,8，则 (每个 1分 ) 9 分 的分布列 : 4 5 6 7 8 p 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 10 分 （本小题满分 14分） 给定椭圆 ： ，称圆心在坐标原点 ，半径为 的圆是
6、椭圆 的 “伴随圆 ” 已知椭圆 的两个焦点分别是，椭圆 上一动点 满足 （ ）求椭圆 及其 “伴随圆 ”的方程 （ ）试探究 y轴上是否存在点 (0, ) ，使得过点 作直线 与椭圆只有一个交点，且 截椭圆 的 “伴随圆 ”所得的弦长为 若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。 答案：解：（ 1）由题意得： 得 ，半焦距 2分 则 椭圆 的方程为 3分 “伴随圆 ”的方程为 5分 （ 2）假设 y轴上存在点 (0, ) ， 则设过点 且与椭圆有一个交点的直线 为： ， 1 分 则 整理得 3分 所以 ，解 5分 又因为直线 截椭圆 的 “伴随圆 ”所得的弦长为 ， 则有 化简得 7分 联立
7、 解得， ，所以 所以 y轴上存在点 (0, ) 9分 （本小题满分 14分） 设数列 为等比数列，数列 满足 ， ，已知 ， ，其中 ( )求数列 的首项和公比； ( )当 时，求 ； ( )设 为数列 的前 项和，若对于任意的正整数 ，都有 ，求实数 的取值范围 答案： 由已知 ，所以 ； 1分 ，所以 ，解得 ； 2分 所以数列 的公比 ； 3分 当 时， ， 1分 ， ， ， ， 2分 - 得 ， 所以 ， 4分 5分 ， 1分 因为 ，所以由 得 ， 2分 注意到，当 n为奇数时， ； 3分 当 为偶数时， ， 4分 所以 最大值为 ，最小值为 5分 对于任意的正整数 n都有 ， 所
8、以 ，解得 ， 6分 （ (本小题满分 14分 ) 已知函数 是函数 的极值点。 （ ）当 时，求 a的值，讨论函数 的单调性； （ ）当 R时，函数 有两个零点，求实数 m的取值范围 . （ ）是否存在这样的直线 ，同时满足： 是函数 的图象在点 处的切线 与函数 的图象相切于点 ， 如果存在，求实数 b的取值范围；不存在，请说明理由。 答案：解：（ 1） , 1分 由已知得， 解得 a=1 2 分 当 时， ，当 时， 又 ， 3分 当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减 4 分 （ 2）由（ 1）知，当 时， 单调递减， 当 ， 单调递增， . 2 分 要使函数 有两个零点，则函数 的图象与直线 有两个不同的交点 . 当 时， m=0或 ； 3分 当 b=0时， ； 4分 当 . 5分 （ 3）假设存在， 时， 函数 的图象在点 处的切线 的方程为： 1分 直线 与函数 的图象相切于点 ， ， ，所以切线 的斜率为 所以切线 的方程为 即 的方程为： 2 分 得
