1、2012-2013学年福建省福建师大附中高二上学期期中考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 在 中， ， 满足条件的 （ ） A有一解 B有两解 C无解 D不能确定 答案： C 试题分析：因为根据三角形中正弦定理可知：1，因此无解，故选 C 考点：本试题主要考查了解三角形的运用。 点评：解决该试题的关键是分析已知中的两边和其中一边的对角，那么利用正弦定理得到求解，注意分析解的个数。 设 若关于 的不等式 的解集中的整数恰有 3个，则（ ） A B C D 答案： C 试题分析：要使关于 x的不等式（ x-b） 2（ ax） 2的解集中的整数恰有 3个，那么此不等式的解集不能是无限区间，从而
2、其解集必为有限区间，由题得不等式（ x-b） 2（ ax） 2，即（ a2-1） x2+2bx-b2 0，它的解应在两根之间，因此应有 a2-1 0，解得 a 1或 a -1，注意到 0 b 1+a，从而 a 1，故有 =4b2+4b2（ a2-1） =4a2b2 0，不等式的解集为或者 若不等式的解集为 又由 0 b 1+a得 0 1， 故 -3 -2， 0 1，这三个整数解必为 -2， -1， 0， 2（ a-1） b3 （ a-1），注意到 a 1，并结合已知条件 0 b 1+a，故要满足题设条件，只需要 2（ a-1） 1+a 3（ a-1） 即可，则， b 2a-2， b 3a-3，
3、又 0 b 1+a，故 1+a 2a-2， 3a-3 0解得 1 a 3，综上 1 a 3故选 C 考点：本试题主要考查了解一元二次不等式解法，二次函数的有关知识，逻辑思维推理能力，含有两个变量的题目是难题 点评：解决该试题的关键是对于二次不等式的开口方向和因式分解的正确处理。 下列命题正确的是（ ） A B对任意的实数 ,都有 恒成立 . C 的最大值为 2 D 的最小值为 2 答案： D 试题分析：因为 A、中 ，所以可知，对于无理数的比较可以采用有理化或者平方的思想得到。故错误。 B、对任意的实数 ,都有所以说明函数 f(x)在定义域内单调递增，同时定义域为 R，无最小值，故不能恒成立
4、.错误。 C、中 ，开口向下，对称轴为 x=1，定义域为 ，那么利用二次函数性质可知函数在 x=2处取得最大值为 0，那么命题错误。 D、中可以利用均值不等式得到，当且仅当 取得等号，那么可知 =2， x=0取得，因此其最小值为 2，成立，故选 D. 考点：本试题主要考查了命题真假的判定，以及均值不等式的求解最值的运用。 点评：解决该试题关键是能利用一正二定三相等的思想，结合均值不等式得到最值。 如果方程 的两个实根一个小于 0，另一个大于 1，那么实数 m的取值范围是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：方程 x2+（ m-1） x+m2-2=0对应的二次函数， f（ x） =x2+
5、（ m-1）x+m2-2开口向上，方程 x2+（ m-1） x+m2-2=0的两个实根一个小于 0，另一个大于 1，只需 f（ 1） 0，且 f（ 0） 0，即为 ,解二次不等式得到实数 的取值范围是 ，选 B. 考点：本试题主要考查了一元二次方程根的分布与系数的关系，是基础题 点评：解决该试题的关键是能结合图形得到方程对应的二次函数开口向上，方程 x2+（ m-1） x+m2-2=0的两个实根一个小于 0，另一个大于 1，只需 f（ 1） 0，且 f（ 0） 0可求得 m的范围 若实数 满足 ，则 的最小值为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为根据实数 满足 ，作出可行域，可知
6、那么区域内的点到原点的距离为 ，则求解 的最小值，即为求解原点到（ x,y）的距离的平方的最小值，直接做原点到直线 x-y+1=0的垂线段即为距离的最小值， d= ,因此 的最小值 ，选 C. 考点：本试题主要考查了不等式组表示的平面区域内点到原点距离的最值问题。 点评：易错点是忘记了平方得到的距离的最小值。解决该试题的关键是理解目标函数表示的几何意义就是两点之间的距离的平方最小值问题。 某商场今年销售计算机 5 000台 .如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加 10%，那么从今年起，大约（ ）年可以使总销售量达到 30 000台 .（结果保留到个位）（参考数据 ） A 3 B 4 C 5
7、 D 6 答案： C 试题分析：先根据题意设出销售量为 y，表示出 y的表达式，利用对数函数的性质求得 n 设销售量为 y，题意可知 y=5000（ 1+0.1） n-1， 5000（ 1+0.1） n-1=30000， 1.1n-1=6， n= ，故大约 5年可使总销售量达到 30000台故选 C 考点：本试题主要考查了等比数列的通项公式 点评：解题的关键是根据题意表示出数列的通项公式。 在平面直角坐标系中 ,若点 在直线 的右下方区域包括边界 ,则 的取值范围是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：先作图可知，当点点 在直线 的右下方区域包括边界，那么可知包括（ 0,0）点，而将
8、（ 0,0）代入可知 4 0,因此可知在其右下方包括边界的所有点代入之后都满足 ，故 代入得到， 2-2t+4 0,得到 3 t,故选 D. 考点：本试题主要考查了二元一次不等式表示的平面区域的问题的运用。 点评：解决该试题的关键是先判定其右下方的区域满足的不等式的符号是 还是 即可。 记等比数列 的前 项和为 ，若 则 （ ） A 9 B 27 C 8 D 8 答案： A 试题分析：因为等比数列 中，设其公比为 q，根据等差中项的性质得到，构成等比数列，那么可知该数列的等比为，那么 ，而根据通项公式性质可知，故选 A. 考点：本试题主要考查了等比数列的前 n项和与其通项公式的之间的关系互化运
9、用。 点评：解决该试题的关键是通过前 n项和公式 已知 满足 ，则 的形状是（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形 答案： A 试题分析：因为对于三角形形状的判定要不就通过角，要不就通过边，那么可以利用正弦定理进行边角转化，由 ， 得到sinC2R=2sinA2RcosB.化简得到为sinC=2cosBsinA=sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA,这样可得到 sin(B-A)=0，故有A=B因此该三角形为等腰三角形，选 A 考点：本试题主要考查了正弦定理、两角和差的三角公式和三角形的内角和定理的综合运用， 点评：解决该试题的关键是对于边
10、化角后，能运用内角和定理中 sinA=sin(C+B),化简变形得到结论。 在等差数列 中， ， 表示数列 的前 项和，则( ) A B C D 答案： B 试题分析：因为等差数列 中， ，那么根据等差中项的性质可知 ，而对于，故选 B 考点：本试题主要考查了等差数列的等差中项的性质和前 n 项和的关系是运用。 点评：解决该试题主要是能利用等差中项简化运算。 已知 ，则 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为 根据一元二次不等式的求解可知解集为x2,或 x0，得到 ，成立。 对于 D. 若 ， ，则只有 a,b,c,d都是正数时必定能成立，因此错误。比如， a=0,b=-1,c=0
11、,d=-2,左边为 0，右边为正数，显然不成立。故选 C 考点：本试题主要考查了不等式的性质的运用。 点评：解决该试题的关键是对于可乘性和倒数性质的准确应用。 填空题 如图所示 ,从中间阴影算起，图 1表示蜂巢有 1层只有一个室 ,图 2表示蜂巢有 2层共有 7个室 ,图 3表示蜂巢有 3层共有 19个室 ,图 4表示蜂巢有 4层共有37个室 . 观察蜂巢的室的规律，指出蜂巢有 n层时共有 _个室 . 2107 答案： 试题分析：根据图象的规律可得相邻两项的差的规律可分析得出 f（ n） -f（ n-1）=6（ n-1）由于 f（ 2） -f（ 1） =7-1=6， f（ 3） -f（ 2）
12、=19-7=26， f（ 4） -f（ 3） =37-19=36， f（ 5） -f（ 4） =61-37=46， 因此，当 n2时，有 f（ n） -f（ n-1） =6（ n-1）， 所以 f（ n） =f（ n） -f（ n-1） +f（ n-1） -f（ n-2） +f （ 2） -f（ 1） +f（ 1）=6（ n-1） +（ n-2） +2+1+1=3n 2-3n+1 又 f（ 1） =1=312-31+1，所以 f（ n） =3n2-3n+1 故答案：为： 3n2-3n+1 考点：本试题主要考查了数列的问题、归纳推理属于基础题 点评：解 决该试题的关键是根据图象的规律可得相邻两项
13、的差的规律可分析得出 f（ n） -f（ n-1） =6（ n-1），进而根据合并求和的方法求得 f（ n）的表达式 已知三条线段的大小关系为： ，若这三条线段能构成钝角三角形，则 的取值范围为 _. 答案： 试题分析：根据解三角形中余弦定理可知，钝角三角形满足的条件是： a2+b2c2（ c是最长边） 当 x是最长边时，有 4+9 x2， x 3+2 x 5 x 当 4是最长边时， x的取值范围是： x 5 x的取值范围是： . 考点：本试题主要考查了学 生对钝角三角形满足的条件及三角形三边关系的理解及运用能力 点评：解决该试题的关键是因为钝角三角形满足的条件是： a2+b2 c2（ c是最
14、长边），所以分别假设 3和 x是最大边，按此公式及三角形三边关系来确定 x的取值范围 数列 的前 项和为 _ 答案： 试题分析：根据题意可知数列的 的第 n项为，那么可知数列的前 n项和为将每一项都裂项后相加得到为 那么可知答案：为 考点：本试题主要考查了运用裂项法求解数列的和运用 点评：解决该试题的关键是先分析通项公式的特点，然后表示各项，求和。 已知 ，则 =_. 答案： 试题分析：因为 ，那么当 n=1时，则有 a1= 当 ,而由于首项不满足上式，而可知其通项公式为 。 考点：本试题主要考查了通项公式与其前 n项和的关系式的运用。 点评：解决该试题的关键是主要对于 n=1，和 n 2，两
15、种情况来分类讨论得到。 解答题 （本小题满分 12分） 已知等差数列 满足 。 （ ）求通项 的通项公式及 的最大值 ; （ ）设 ,求数列 的其前 项和 . 答案：（ 1） , 的最大值为 28；（ 2） ，。 试题分析：（ 1）因为根据已知条件等差数列 满足 ，设出首项和公差联立方程组得到其通项公式，并求解其 的最大值 ; （ 2）在第一问的基础上得到 ，那么可以采用分组求和的思想得到结论。 解：（ 1） , 的最大值为 28 （ 2） ， 考点：本试题主要考查了等差数列的通项公式与数列的求和的综合运用。 点评：解决该试题的关键是利用通项公式求解等差数列的基本元素首项和公差。 （本小题满分
16、 12分） 已知 ABC的内角 A、 B、 C所对的边分别为 且 ( I ) 若 ，求周长的最小值； ( ) 若 ，求边 的值 答案：解： (1)当且仅当 时 ,周长取到最小值为 ； (2)试题分析： (1)根据三角形的面积公式和已知条件得到 ,然后表示出周长 l，结合均值不得等式得到最值。 (2) cosB= 0，且 00，且 0 0） （ 2）当休闲区长 时，公园 ABCD所占总面积最小为5760 m2 . 试题分析：（ 1）利用休闲区 A1B1C1D1的面积为 4000平方米，表示出 B1C1=，进而可得公园 ABCD所占面积 S关于 x的函数 S（ x）的式； （ 2）利用基本不等式确
17、定公园所占最小面积，即可得到结论 （ 1） ， =4000 （ x 0） （ 2） 当且仅当 即 x = 100 时取等号 答：当休闲区长 时，公园 ABCD所占总面积最小为5760 m2 . 考点：本试题主要考查了函数模型的构建，考查基本不等式的运用，注意使用条件：一正二定三相等 点评：注意使用条件：一正二定三相等均值不等式的使用中缺一不可。 （本小题满分 12分） 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口的 O 北偏西 30且与该港口相距 20海里的 A处，并正以 30海里 /小时的航行速度沿正东方向匀速行驶 . 假设该小艇沿直线方向以 v海里
18、 /小时的航行速度匀速行驶，经过 t小时与轮船相遇 . ( )若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行时间应为多少小时？ ( )为保证小艇在 30分钟内（含 30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值； 答案：（ I）希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行时间为 1/3小时 . （ ）小艇航行速度的最 小值为 海里 /小时。 试题分析：（ 1）先假设相遇时小艇的航行距离为 S，根据余弦定理可得到关系式 S= 整理后运用二次函数的性质可确定答案： （ 2）先假设小艇与轮船在某处相遇，根据余弦定理可得到（ vt） 2=202+（ 30t）2-2 20 30t cos（ 90-30），
19、再由 t的范围可求得 v的最小值 （ I）设相遇时小艇的航行距离为 S海里，则 , 故 t=1/3时， S min =， 答 :希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行时间为 1/3小时 . （ ）设小艇与轮船在 B处相遇 由题意可知，（ vt） 2 =202 +（ 30 t） 2-2 20 30t cos（ 90-30）， 化简得： 由于 0 t1/2，即 1/t 2 所以当 =2时， 取得最小值 ， 即小艇航行速度的最小值为 海里 /小时。 考点：本试题主要考查了解三角形、二次函数等基础知识，考查推理论证能力，抽象概括能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归思
20、想 点评：解决该试题的关键是能结合余弦定理和函数与不等式的思想求解最值。 （本小题满分 14分） 已知二次函数 满足以下两个条件： 不等式 的解集是（ -2， 0） 函数 在 上的最小值是 3 （ ）求 的式； （ ）若点 在函数 的图象上，且 （ ）求证：数列 为等比数列 （ ）令 ，是否存在正实数 ，使不等式 对于一切的 恒成立？若存在，指出 的取值范围；若不存在，请说明理由 答案：（ ） f（ x） = x 2 + 2 x . （ ）（ ）见；（ ） 试题分析：（ ）因为根据题意可知 f（ x） 0），故 f（ x）的对称轴为直线 ， f（ x）在 1， 2上的最小值为 f（ 1） =3
21、a =3 ，得到参数 a的值。 （ ）（ ）因为点（ a n , a n + 1 ）在函数 f（ x） = x 2 + 2 x 的图象上 得到递推关系式 a n + 1 = a n 2 + 2 a n , 构造等比数列求解通项公式。 （ ）由上题可知 ，要使得不等式 恒成立，即 对于一切的 恒成立，转换为二次不等式求解。 解：（ ） f（ x） 0），故 f（ x）的对称轴为直线 ， f（ x）在 1， 2上的最小值为 f（ 1） =3a =3 ， a = 1 ，所以 f（ x） = x 2 + 2 x . （ ）（ ） 点（ a n , a n + 1 ）在函数 f（ x） = x 2 +
22、2 x 的图象上， a n + 1 = a n 2 + 2 a n ,则 1 + a n + 1 = 1 + a n 2 + 2 a n = （ 1 + a n） 2 , 又首项 数列 为等比数列，且公比为 2 。 （ ）由上题可知 ，要使得不 等式 恒成立，即 对于一切的 恒成立， 法一： 对一切的 恒成立， 令 ， 在 是单调递增的， 的最小值为 所以 法二： 设 当 时，由于对称轴直线 ，且 ，而函数 在是增函数， 不等式 恒成立 即当 时，不等式 对于一切的 恒成立 考点：本试题主要考查了数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识 点评：解题时要注意对于不等式恒成立问题的等价转化为一元二次不等式问题。
