1、2012年苏教版高中数学必修 2 2.2圆的方程练习卷与答案（带解析） 选择题 直线 x-y+3=0被圆（ x+2） 2+（ y-2） 2=2截得的弦长等于 A B C 2 D 答案： D 试题分析：如图所示，圆半径为 ，圆心 C的直线距离为 ，所以弦长 ，故选 D。 考点：本题主要考查直线与圆的位置关系。 点评：研究直线与圆的位置关系，可根据条件灵活选用 “代数法 ”或 “几何法 ”。圆的半弦长、半径、弦心距构成 Rt，在解 “弦问题 ”中常常用到。数形结合，分析得解。 直线 与曲线 有且只有一个交点，则 的取值范围是 A B 且 C D非 A、 B、 C的结论 答案： B 试题分析： 表示
2、圆心在（ 0,0），半径为 1 的圆位于纵轴右侧的部分。画出图形分析可知，选 B。 考点：本题主要考查直线与圆的位置关系。 点评：研究直线与圆的位置关系，可根据条件灵活选用 “代数法 ”或 “几何法 ”。表示半圆，数形结合更好。 两圆 ， 的公切线有且仅有 A 1条 B 2条 C 3条 D 4条 答案： B 试题分析： 圆心为（ -1， -1），半径为 2；圆心为（ 2,1），半径为 2； = ，所以两圆相交，故公切线有 2条，选 B。 考点：本题主要考查圆与圆的位置关系 点评：研究圆的公切线条数，应首先明确两圆的位置关系。 已知圆 的方程为 ，且 在圆 外，圆 的方程为 = ，则 与圆 一定
3、 A相离 B相切 C同心圆 D相交 答案： C 试题分析：因为 C1为圆，则 f（ x， y） =0必具有 f（ x， y） =x2+y2+Dx+Ey+F=0 ， 其圆心为（ ， ） ； 而 C2的方程为 f（ x， y） -f（ x0， y0） =0 ，即 x2+y2+Dx+Ey+（ F-x02-y02-Dx0-Ey0-F）=0 ， F-x02-y02-Dx0-Ey0-F是常数项 ，因此上述方程中，圆心亦为（ ， ），所以 C1与圆 C2是同心圆，故选 C。 考点：本题主要考查圆与圆的位置关系 点评：由题意设出圆 C1的方程为 f（ x， y） =0，求出圆心，半径，表示出圆 C2的方程为
4、f（ x， y） =f（ x0， y0），推出二者是同心圆即可。 直线 与圆 交于 E、 F两点，则 （ O为原点）的面积为 A B C D 答案： C 试题分析：如图所示，计算 的面积，需要计算 EF的长度， O到直线的距离。 ， O到直线 的距离 ，所以 的面积为 ，选 C。 考点：本题主要考查直线与圆的位置关系。 点评：研究直线与圆的位置关系，可根据条件灵活选用 “代数法 ”或 “几何法 ”。圆的半弦长、半径、弦心距构成 Rt，在解 “弦问题 ”中常常用到。数形结合，分析得解。 如果实数 满足等式 ，那么 的最大值是 A B C D 答案： B 试题分析： 表示圆 上的点与原点连线的斜率
5、。如图所示，所求最大值就是圆 C切线 OP的斜率，利用几何法在直角三角形 CPO中，不难得到，所以 OP的斜率 最大为 。 考点：本题主要考查直线与圆的位置关系。 点评：研究直线与圆的位置关系 ，可根据条件灵活选用 “代数法 ”或 “几何法 ”。 圆 关于直线 对称的圆的方程是 A B C D 答案： A 试题分析：圆心关于直线 对称。 圆 x2+y2-2x-6y+9=0转化为标准方程为（ x-1） 2+（ y-3） 2=1， 所以其圆心为：（ 1， 3）， r=1， 设（ 1， 3）关于直线 2x+y+5=0对称点为（ a， b） 则有 ，解得 故所求圆的圆心为（ -7， -1）半径为 1，
6、所求圆的方程为：（ x+7） 2+（ y+1）2=1，故选 A。 考点：本题主要考查直线与圆的位置关系。 点评：关于直线对称的圆的方程问题，重点在于求出对称圆的圆心坐标，因为半径相同。 设直线 与 轴的交点为 P，点 P把圆 的直径分为两段，则其长度之比为 A B C D 答案： A 试题分析：依题意可求得 P（ 0， - ）。（ x+1） 2+y2=25圆心 O（ -1， 0）， |OP|=2 半径 =5， 则其长度之比 或 ，故选 A。 考点：本题主要考查直线与圆的位置关系。 点评：研究直线与圆的位置关系，可根据条件灵活选用 “代数法 ”或 “几何法 ”。 过点 P（ 2， 1）作圆 C：
7、 x2+y2-ax+2ay+2a+1=0的切线有两条，则 a取值范围是 A a -3 B a -3 C -3 a - D -3 a - 或 a 2 答案： D 试题分析：因为过点 P（ 2， 1）作圆 C： x2+y2-ax+2ay+2a+1=0的切线有两条，所以点 P在圆外，即 ，解得 -3 a - 或 a 2，故选 D。 考点：本题主要考查点与圆的位置关系。 点评：研究点与圆的位置关系，转化成解不等式组问题。本题易错，忽视表示圆的条件。 圆 x2 y2 2x 6y 9 0与圆 x2 y2-6x 2y 1 0的位置关系是 A相交 B相外切 C相离 D相内切 答案： C 试题分析：圆 x2 y
8、2 2x 6y 9 0半径为 1，圆心为 A（ -1， ,3）；圆 x2 y2-6x 2y 1 0半径为 3，圆心为 B（ 3， -1） . |AB|= 1+3，所以圆 x2 y22x 6y 9 0与圆 x2 y2-6x 2y 1 0的位置关系是相离，选 C。 考点：本题主要考查圆与圆的位置关系。 点评：研究圆与圆的位置关系，可根据条件灵活选用 “代数法 ”或 “几何法 ”。一般的，多研究半径、圆心距的关系。 填空题 圆 ： 和 ： 的位置关系是 _ 答案：内切； 试题分析：研究圆与圆的位置关系通常要研究半径、圆心距之间的关系，也可通过研究方程组解的情况实现。 ： 圆心为（ 0,0），半径为
9、2； ：圆心为（ 3,4），半径为 7, =5， 7-2=5,所以圆 ：和 ： 的位置关系是内切。 考点：本题主要考查圆与圆的位置关系 点评：研究圆与圆的位置关系通常要研究半径、圆心距之间的关系，也可通过研究方程组解的情况实现。 过点 M（ 0， 4）、被圆 截得的线段长为 的直线方程为 答案： x=0或 15x 8y-32=0； 试题分析：当直线与 x轴垂直时，圆心到直线的距离为： 1，半径位 ，则弦长为：2 ，符合题意； 当直线与 x轴不垂直时设直线的斜率为 k，则直线方程为 y-4=kx， 圆心到直线的距离为 ，根据勾股定理可知 4- =3，求得 k=- ， 直线方程为 15x+8y-3
10、2=0 故所求直线的方程为： x=0或 15x+8y-32=0。 考点：本题主要考查直线与圆的位置关系、直线方程。 点评：研究直线与圆的位置关系，可根据条件灵活选用 “代数法 ”或 “几何法 ”。圆的半弦长、半径、弦心距构成 Rt，在解 “弦问题 ”中常常用到。本题易漏斜率不存在的情况。 已知两圆 .求经过两圆交点的公共弦所在的直线方程 答案： ； 试题分析：两圆 的方程相减并化简得。 考点：本题主要考查圆与圆的位置关系 点评：求经过两圆交点的公共弦所在的直线方程，方法是两圆方程相减后再化简。 已知实数 x， y满足关系： ，则 的最小值 答案： ； 试题分析： 即原点与圆 上点之间距离的平方
11、，其最小值为半径 5减去 |OC|的平方，即 = 。 考点：本题主要考查圆的方程、两点间距离公式。 点评：数形结合，利用 的几何意义，形象直观。 解答题 （ 12分）求过点 P（ 6， -4）且被圆 截得长为 的弦所在的直线方程 答案： 或 试题分 析：设弦所在的直线方程为 ，即 则圆心（ 0， 0）到此直线的距离为 因为圆的半弦长、半径、弦心距恰好构成 Rt， 所以 由此解得 或 代入 得切线方程 或 ，即 或 考点：本题主要考查直线与圆的位置关系、直线方程。 点评：研究直线与圆的位置关系，可根据条件灵活选用 “代数法 ”或 几何法。圆的半弦长、半径、弦心距构成 Rt，在解 “弦问题 ”中常
12、常用到。 （ 12分）已知圆 C: 及直线 .（ 1）证明 :不论 取什么实数 ,直线 与圆 C恒相交； （ 2）求直线 与圆 C所截得的弦长的最短长度及此时直线 的方程 答案：（ 1）见；（ 2） 试题分析： (1)直线方程 ,可以改写为,所以直线必经过直线 的交点 .由方程组 解得 即两直线的交点为 A 又因为点 与圆心的距离 ,所以该点在 内 ,故不论 取什么实数 ,直线 与圆 C恒相交 . (2)连接 ,过 作 的垂线 ,此时的直线与圆 相交于 、 . 为直线被圆所截得的最短弦长 .此时 , .即最短弦长为 . 又直线 的斜率 ,所以直线 的斜率为 2.此时直线方程为 :考点：本题主要
13、考查直线与圆的位置关系、直线方程。 点评：研究直线与圆的位置关系，可根据条件灵活选用 “代数法 ”或 几何法。 （ 12分）一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西 70 km处，受影响的范围是半径长 30 km的圆形区域已知港口位于台风正北 40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ 答案：轮船将不受台风影响，不用改变航向 试题分析：我们以台风中心为原点 O，东西方向为 x轴，建立如图所示的直角坐标系 这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为 轮船航线所在直线 l的方程为 ，即 如果圆 O与直线 l有公共点，则轮船受影响，需要改变
14、航向；如果 O与直线 l无公共点，则轮船不受影响，无需改变航向 由于圆心 O（ 0， 0）到直线 l的距离 ， 所以直线 l与圆 O无公共点这说明轮船将不受台风影响，不用改变航向 考点：本题主要考查直线与圆的位置关系。 点评：研究直线与圆的位置关系，可根据条件灵活选用 “代数法 ”或 几何法。 （ 12分）已知圆 x2+y2+x-6y+m=0和直线 x+2y-3=0交于 P、 Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点，求实数 m的值 答案： m=3. 试题分析：由 又 OP OQ， x1x2+y1y2=0,而 x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2= 解得 m=3. 考点：本题主要考查直线与
15、圆的位置关系。 点评：巧妙地利用一元二次方程根与系数的关系，是几何中常见技巧。 （ 14分）已知圆 和直线 交于 P、 Q两点，且OP OQ（ O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径长 答案：圆心坐标为（ - ， 3），半径 试题分析： 将 代入方程 ， 得 设 P ， Q ，则 满足条件： OP OQ, 而 ， ， ，此时 ，圆心坐标为（ - ， 3），半径 考点：本题主要考查直线与圆的位置关系、圆的方程。 点评：巧妙地利用一元二次方程根与系数的关系，是几何中常见技巧。 （ 14分）求圆心在直线 上，且过两圆 ， 交点的圆的方程 答案： 试题分析：解法一：（利用圆心到两交点的距离相等求圆心）
16、 将两圆的方程联立得方程组 ， 解这个方程组求得两圆的交点坐标 A（ -4， 0）， B（ 0， 2） 因所求圆心在直线 上，故设所求圆心坐标为 ，则它到上面的两上交点 （ -4， 0）和（ 0， 2）的距离相等，故有 ， 即 ， ， ，从而圆心坐标是（ -3， 3） 又 ， 故所求 圆的方程为 解法二：（利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程） 同解法一求得两交点坐标 A（ -4， 0）， B（ 0， 2），弦 AB的中垂线为， 它与直线 交点（ -3， 3）就是圆心，又半径 ， 故所求圆的方程为 解法三：（用待定系数法求圆的方程） 同解法一求得两交点坐标为 A（ -4， 0）， B（ 0， 2） 设所求圆的方程为 ，因两点在此圆上，且圆心在上，所以得方程组 ，解之得 ， 故所求圆的方程为 解法四：（用 “圆系 ”方法求圆的方程过后想想为什么？） 设所求圆的方程为 ， 即 可知圆心坐标为 因圆心在直线 上，所以 ，解得 将 代入所设方程并化简，求圆的方程 考点：本题主要考查圆的方程求法。 点评：求圆的方程，常常用待定系数法，在设出方程形式，根据题目条件不同，设标准方程或一般方程。本题解法较多，体现解题思路的灵活性。
