1、2012年苏教版高中数学必修 2 2.3空间直角坐标系练习卷与答案（带解析） 选择题 在空间直角坐标系中，已知点 P（ x， y， z），给出下列 4条叙述： 点 P关于 x轴的对称点的坐标是（ x， -y， z） 点 P关于 yOz平面的对称点的坐标是（ x， -y， -z） 点 P关于 y轴的对称点的坐标是（ x， -y， z） 点 P关于原点的对称点的坐标是（ -x， -y， -z） 其中正确的个数是 A 3 B 2 C 1 D 0 答案： C 试题分析：其中正确的是 点 P关于原点的对称点的坐标是（ -x， -y， -z） 故选 C。 考点：本题主要考查空间直角坐标系的概念。 点评：对
2、于这类结论，应结合坐标系牢记。 在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是 1，则该点到原点的距离是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：依题意，构建正方体。即求棱长为 的正方体对角线长，计算得，故选 A。 考点：本题主要考查空间直角坐标系的概念及其应用。 点评：根据几何体的特征，认识点的坐标。 已知点 ， ， 三点共线，那么 的值分别是 A ， 4 B 1， 8 C ， -4D -1， -8 答案： C 试题分析：因为点 ， ， 三点共线， =（ 3， 4， -8）， =（ x-1， y+2， 4)，所以 ， ，故选 C。 考点：本题主要考查空间直角坐标系的概念及其应用。 点评
3、：利用空间向量知识，简化解题过程。 点 到坐标平面 的距离是 A B C D 答案： C 试题分析：点 在坐标平面 的正投影为 ，所以点到坐标平面 的距离是 ，故选 C。 考点：本题主要考查空间直角坐标系的概念及两点间距离公式的应用。 点评：认识到点 在坐标平面 的正投影为 ，结合图形分析。 已知 ABCD 为平行四边形，且 A（ 4， 1， 3）， B（ 2， -5， 1）， C（ 3， 7，-5），则点 D的坐标为 A（ ， 4， -1） B（ 2， 3， 1） C（ -3， 1， 5） D（ 5， 13， -3） 答案： D 试题分析：设 D的坐标为 (x,y,z)。 AC的中点和 BD
4、的中点重合， 所以有 x+2=4+3， y-5=1+7， z+1=3-5 所以， x=5, y=13, z=-3， D的坐标为 (5,13,-3)，故选 D。 考点：本题主要考查空间直角坐标系的概念及两点间距离公式的应用。 点评：本题解法利用了平行四边形的性质，也可利用向量知识。 点 B是点 A（ 1， 2， 3）在坐标平面 内的射影，则 OB等于 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：点 A（ 1， 2， 3）在坐标平面 内的射影为 B（ 0,2,3），所以|OB|= ，故选 B。 考点：本题主要考查空间直角坐标系的概念及两点间距离公式的应用。 点评：理解好射影的概念，用熟两点间距离
5、公式。 如图，三棱锥 A-BCD中， AB 底面 BCD， BC CD，且 AB=BC=1，CD=2，点 E为 CD的中点，则 AE的长为 A B C D 答案： B 试题分析：连 AE, CBD是等腰 Rt , BE CD且 BE=1.AB 底面 BCD, AB BE,由勾股定理 , AE= ,故选 B。 窗体顶端 窗体底端 考点：本题主要考查空间直角坐标系的概念及其应用。 点评：也可建立直角坐标系，根据几何体的特征，写出点的坐标。 设 A（ 3， 3， 1）， B（ 1， 0， 5）， C（ 0， 1， 0）， AB的中点 M，则A B C D 答案： C 试题分析：先求得 M（ 2, ，
6、 3）点坐标，利用两点间距离公式计算得，故选 C。 考点：本题主要考查空间直角坐标系的概念及空间两点间距离公式的应用。 点评：简单题，应用公式计算。 已知 A（ 1， 2， 3）， B（ 3， 3， m）， C（ 0， -1， 0）， D（ 2， 1， 1），则 A B C D 答案： D 试题分析：计算知 = =，故选 D。 考点：本题主要考查空间直角坐标系的概念及空间两点间距离公式的应用。 点评：简单题，应用公式计算。 若已知 A（ 1， 1， 1）， B（ -3， -3， -3），则线段 AB的长为 A 4 B 2 C 4 D 3 答案： A 试题分析：代入公式计算得线段 AB的长为 4
7、 ，故选 A。 考点：本题主要考查空间直角坐标系的概念及空间两点间距离公式的应用。 点评：简单题，直接应用公式计算。 填空题 已知点 A（ -3， 1， 4），则点 A关于原点的对称点 B的坐标为 ； AB的长为 答案：（ 3， -1， -4）； ； 试题分析： A关于原点的对称点 B的坐标，只需将 A点的坐标反号，即（ 3， -1，-4）；有空间两点间距离公式得 AB的长为 。 考点：本题主要考查空间直角坐标系的概念及空间两点间距离公式应用。 点评：根据几何体的特征，在直角坐标系中，写出点的坐标。 若 O（ 0， 0， 0）， P（ x， y， z），且 ，则 表示的图形是 答案：以原点 O
8、为球心，以 1为半径的球面； 试题分析： 的几何意义是：空间到原点距离处处相等的点到集合，故为以原点 O为球心，以 1为半径的球面。 考点：本题主要考查空间直角坐标系的概念及空间两点间距离公式应用。 点评：根据点的坐标满足的几何条件，认识几何体的特征。 如右图，为一个正方体截下的一角 P-ABC， ， ， ，建立如图坐标系，求 ABC的重心 G的坐标 _ _ 答案： G（ ） ； 试题分析：依题意写出 A,B,C三点坐标，在三角形 ABC中，利用重心坐标公式即得 G（ ）。 考点：本题主要 考查空间直角坐标系的概念及其应用。 点评：根据几何体的特征，认识点的坐标。 如右图，棱长为 3a正方体
9、OABC- ，点 M在 上，且2 ，以 O为坐标原点，建立如图空间直有坐标系，则点 M的坐标为 答案：（ 2a， 3a， 3a）； 试题分析：在建立的空间直有坐标系，根据正方体的几何特征的点 M的坐标为（ 2a， 3a， 3a）。 考点：本题主要考查空间直角坐标系的概念及其应用。 点评：根据几何体的特征，认识点的坐标。 解答题 （ 12分）如图，长方体 中， ， ，设 E为 的中点， F为 的中点，在给定的空间直角坐标系 D-xyz下，试写出 A， B， C， D， ， ， ， ， E， F各点的坐标 答案： A（ 3， 0， 0）， B（ 3， 5， 0）， C（ 0， 5， 0）， D（
10、0， 0， 0）； （ 3， 0， 3）， （ 3， 5， 3）， （ 0， 5， 3）， （ 0， 0， 3）； E（ ）； F（ ， 5， ） 试题分析：设原点为 O，因为 A， B， C， D这 4个点都在坐标平面 xOy内，它们的竖坐标都是 0，而它们的横坐标和纵坐标可利用 ， 写出，所以 A（ 3， 0， 0）， B（ 3， 5， 0）， C（ 0， 5， 0）， D（ 0， 0， 0）；因为平面 与坐标平面 xOy平行，且 ，所以 A， B， ， D的竖坐标都是 3，而它们的横坐标和纵坐标分别与 A， B， C， D 的相同，所以 （ 3，0， 3）， （ 3， 5， 3）， （
11、0， 5， 3）， （ 0， 0， 3）； 由于 E分别是 中点，所以它在坐标平面 xOy上的射影为 DB的中点，从而E的横坐标和纵坐标分别是 的 ，同理 E的竖坐标也是 的竖坐标的 ，所以 E（ ）； 由 F为 中点可知， F在坐标平面 xOy的射影为 BC中点，横坐标和纵坐标分别为 和 5，同理点 F在 z轴上的投影是 AA中点，故其竖坐标为 ，所以 F（ ， 5， ） 考点：本题主要考查空间直角坐标系的概念及其应用。 点评：根据几何体的特征，在直角坐标系中，写出点的坐标。 （ 12分）如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD为正方形，且边长为 2a，棱 PD 底面 ABCD， PD
12、=2b，取各侧棱的中点 E， F， G， H，写出点 E， F， G，H的坐标 答案： E（ a， 0， b）， F（ a， a， b）， G（ 0， a， b）， H（ 0， 0， b） 试题分析：由图形知， DA DC， DC DP， DP DA，故以 D为原点，建立如图空间坐标系 D-xyz因为 E， F， G， H分别为侧棱中点，由立体几何知识可知， 平面 EFGH与底面 ABCD平行，从而这 4个点的竖坐标都为 P的竖坐标的一半，也就是 b，由 H为 DP中点，得 H（ 0， 0， b） E在底面面上的投影为AD中点，所以 E的横坐标和纵坐标分别为 a和 0，所以 E（ a， 0，
13、b），同理G（ 0， a， b）； F在坐标平面 xOz和 yOz上的投影分别为点 E和 G，故 F与 E横坐标相同都是 a，与 G的纵坐标也同为 a，又 F竖坐标为 b，故 F（ a， a， b） 考点：本题主要考查空间直角坐标系的概念及其应用。 点评：根据几何体的特征，建直角坐标系。 （ 12分）如图，已知矩形 ABCD中， ， 将矩形 ABCD沿对角线 BD折起，使得面 BCD 面 ABD现以 D为原点， DB作为 y轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，此时点 A恰好在 xDy坐标平面内试求 A，C两点的坐标 答案： A（ ）， C（ 0, ） 试题分析：由于面 BCD 面 ABD，从面
14、 BCD引棱 DB的垂线 CF即为面 ABD的垂线，同理可得 AE即为面 BCD的垂线，故只需求得 的长度即可。 最后得 A（ ）， C（ 0, ） 考点：本题主要考查空间直角坐标系及空间两点间的距离公式的应用。 点评：通过建立适当的空间直角坐标，利用两点间距离公式计算线段长度， 建立关于坐标的方程。 （ 12分）已知 ， ， ，求证其为直角三角形 答案：见。 试题分析：利用两点间距离公式， 由 ， ， ，从而 ，结论得证 . 考点：本题主要考查空间直角坐标系及空间两点间的距离公式的应用。 点评：在直角坐标系中，利用两点间距离公式计算线段长度，明确几何体的特征，是解答此类题的常用方法。 （ 1
15、4分）如图，已知正方体 的棱长为 a， M为 的中点，点 N在 上，且 ，试求 MN的长 答案： 试题分析：以 D为原点，建立如图空间直角坐标系因为正方体棱长为 a，所以 B（ a， a， 0）， A（ a， 0， a）， （ 0， a， a）， （ 0， 0， a） 由于 M 为 的中点，取 中点 O，所以 M（ ， ， ）， O（ ， ，a） 因为 ，所以 N为 的四等分，从而 N为 的中点， 故 N（ ， ， a） 根据空间两点距离公式，可得 考点：本题主要考查空间直角坐标系及空间两点间的距离公式的应用。 点评：根据几何体的特征，建立适当的直角坐标系，往往能简化解题过程。 （ 14分）在
16、空间直角坐标系中，已知 A（ 3， 0， 1）和 B（ 1， 0， -3），试问 （ 1）在 y轴上是否存在点 M，满足 ？ （ 2）在 y轴上是否存在点 M，使 MAB为等边三角形？若存在，试求出点 M坐标 答案：（ 1） y轴上所有点都满足关系 ；（ 2） y轴上存在点 M使 MAB等边， M坐标为（ 0， ， 0），或（ 0， ， 0） 试题分析：（ 1）假设在在 y轴上存在点 M，满足 因在 y轴上，可设 M（ 0， y， 0），由 ，可得， 显然，此式对任意 恒成立这就是说 y轴上所有点都满足关系 （ 2）假设在 y轴上存在点 M，使 MAB为等边三角形 由（ 1）可知， y轴上任一点都有 ，所以只要 就可以使得 MAB是等边三角形 因为 于是 ，解得 故 y轴上存在点 M 使 MAB 等边 ， M 坐标为（ 0， ， 0），或（ 0， ，0） 考点：本题主要考查空间直角坐标系、空间两点间的距离公式的应用。 点评：对存在性问题，往往先假定存在，再加以探究。
