1、2012年苏教版高中数学选修 2-2 1.1导数的概念练习卷与答案（带解析） 选择题 已知函数 y=f(x)在区间 (a,b)内可导，且 x0 （ a， b）则的值为（ ） A f(x0) B 2 f(x0) C -2 f(x0) D 0 答案： B 试题分析：根据导数的定义，可知 f（ x0） =2 f（ x0） =2 f(x0)，故选 B 考点：本题主要考查导数的概念。 点评：简单题，利用导数的概念加以变形即得。 函数 y=2x3-3x2-12x+5在 0,3上的最大值与最小值分别是（ ） A 5 , -15 B 5 , 4 C -4 , -15 D 5 , -16 答案： A 试题分析：
2、由题设知 y=6x2-6x-12， 令 y 0，解得 x 2，或 x -1， 故函数 y=2x3-3x2-12x+5在 0， 2上减，在 2， 3上增， 当 x=0， y=5；当 x=3， y=-4；当 x=2， y=-15 由此得函数 y=2x3-3x2-12x+5在 0， 3上的最大值和最小值分别是 5， -15；故选A。 考点：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极（最）值。 点评：常见题型。注意单调区间不能写成并的形式。 已知 f(x)= sin(x+1)，则 f(1)=( ) A +cos2 B sin2+2cos2 C sin2+cos2 D sin2+cos2 答案： C 试题
3、分析：因为 f(x)= sin(x+1)，所以 ， 从而 f(1)= sin2+cos2，选 C。 考点：本题主要考查导数公式及导数的四则运算法则。 点评：注意牢记导数公式，掌握导数的四则运算法则，典型题。 若函数 y=x 2x且 y=0 ，则 x=( ) A - B C -ln2 D ln2 答案： A 试题分析：因为 y=x 2x所以 ， 又 =0，所以 =0， ，选 A。 考点：本题主要考查导数公式及导数的四则运算法则。 点评：注意牢记导数公式，掌握导数的四则运算法则，典型题。 设函数 f(x)=e2x2x ，则 =（ ） A 0 B 1 C 2 D 4 答案： D 试题分析： f（ x
4、） =e2x-2x， f（ x） =2e2x-2=2（ ex-1）（ ex+1）， = =4，故选 D。 考点：本题主要考查导数公式及导数的四则运算法则。 点评：注意理解导数的概念，牢记导数公式，典型题。 设 y=loga (a0,a1)，则 y=( ) A B lna C logae D logae 答案： D 试题分析：复合函数求导数。设 y= ， ， ， 最后把两个式子相乘得出 y= logae，故选 D。 考点：本题主要考查导数公式及导数的四则运算法则。 点评：注意理解导数的概念，牢记导数公式，典型题。 给出下列命题： （ 1）若函数 f(x)=|x|，则 f(0)=0； （ 2）若函
5、数 f(x)=2x2+1，图象上 P(1,3)及邻近上点 Q(1+x,3+y)， 则=4+2x （ 3）加速度是动点位移函数 S(t)对时间 t的导数； （ 4） y=2cosx+lgx，则 y=-2cosx sinx+ 其中正确的命题有（ ） A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 答案： B 试题分析：（ 1）函数 f（ x） =|x|，在 x=0处， f（ x）左导数与右导数不相等，故 f（ x）在 x=0处，不存在导数； （ 2） ，正确； （ 3）加速度应该是动点速度函数 V（ t）对时间 t的导数； （ 4） y=2cosx+lgx， （ cosx） =-sinx，（ lgx） =
6、 ， y-2cosx sinx+ 综上所述，正确的命题有一个故选 B 考点：本题主要考查导数的概念，导数公式。 点评：注意理解导数的概念，牢记导数公式，基础题。 曲线 y=x3+x-2 在点 P0处的切线平行于直线 y=4x，则点 P0的坐标是（ ） A (0,1) B (1,0) C (-1,-4)或（ 1,0） D (-1,-4) 答案： C 试题分析：设 P0点的坐标为（ a， f（ a）， 由 f（ x） =x3+x-2，得到 f（ x） =3x2+1， 由曲线在 P0点处的切线平行于直线 y=4x，得到切线方程的斜率为 4， 即 f（ a） =3a2+1=4，解得 a=1或 a=-1
7、， 当 a=1时， f（ 1） =0；当 a=-1时， f（ -1） =-4， 则 P0点的坐标为（ 1， 0）或（ -1， -4） 故选 C 考点：本题主要考查利用导数导数的几何意义 点评：函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率，属于基础题。应注意点在曲线上和不在曲线上的情况。 设 y=8x2-lnx，则此函数在区间 (0, )内为（ ） A单调递增， B有增有减 C单调递减， D不确定 答案： C 试题分析： y=16x- 当 x （ 0， ）时， y 0， y=8x2-lnx为减函数；故选 C 考点：本题主要考查利用导数研究函数的单调性。 点评：注意导数的符号和原函数的单调区间之
8、间的关系，以及函数的定义域，简单题。 f(x)=ax3+3x2+2，若 f(-1)=4，则 a的值为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为 f(x)=ax3+3x2+2，所以 ，又 f(-1)=4，即 3a-6=4，所以 a的值为 ，故选 D。 考点：本题主要考查导数的概念，导数的计算。 点评：简单题，利用导数公式先求导函数，再求导数值。 填空题 函数 y=ln ，则 y= 。 答案： secx 试题分析：可以看成三层复合，需要依次对对数、根式、分式求导。 y= = = = = =secx 考点：本题主要考查导数的运算。 点评：较为复杂，其要求较高。要求熟记公式与法则，细心变形。
9、函数 y=x+2cosx在区间 0， 上的最大值是 答案： 试题分析： y=1-2sinx 由 y=0得， 又 x （ 0， ）时 ， y0 x （ ， ）时， y0时 ,y递增 即 0 所以 0，解得 或 ，故单调递增区间是 (-， -2)， (0， +)。 考点：本题主要考查利用导数研究函数的单调性。 点评：常见题型。注意单调区间不能写成并的形式。 函数 f(x)=（ x2-1） 3 1有极 -_值 _. 答案：小， 0 试题分析：因为 f(x)=（ x2-1） 3 1，所以 ，由 =0得x=0,x= 1,但 在 x=-1， x=1左右不变号，在 x=0左右变号，所以函数f(x)=（ x2
10、-1） 3 1有极 -小值 0. 考点：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极（最）值。 点评：常见题型。注意极值点左右导数的符号（正负号）改变，函数取得极值。 解答题 （本题满分 12分）设 f(x)=x3+ 求函数 f(x)的单调区间及其极值 ; 答案：增（ -， -1），（ 1， ） 减（ -1,0），（ 0,1） 极大 -4，极小 4 试题分析：定义域为（ -， 0） （ 0， +）（ 2分） f(x)=3x2- 令 f（ x） =0，得 x=1 当 x变化时， f（ x）， f（ x）的变化情况如下 x （ -， -1） -1 （ -1， 0） 0 （ 0， 1） 1 （ 1， +
11、） f（ x） + - - + f（ x） -4 4 所以函数 f（ x）的增区间（ -， -1），（ 1， +）；减区间（ -1， 0），（ 0， 1）； 极大值为 f（ -1） =-4，极小值为 f（ 1） =4。 考点：本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值。 点评：常见题型。表解法是利用导数研究函数单调性、求极值的较好方法，直观清晰。 （本题满分 12分）做一个圆柱形锅炉，容积为 V，两个底面的材料每单位面积的价格为 a元，侧面的材料每单位面积价格为 b元，问锅炉的底面直径与高的比为多少时，造价最低？ 答案： 试题分析：设总造价为 C，根据题意有， V=r2h， C=2r2a+2r
12、hb h= ，代入有 C=2r2a+ =2r2a+ =2r2a+ + 3 =3 当且仅当， 2r2a= ，等号成立， r= 此时，锅炉的底面直径与高的比为 考点：本题主要考查利用导数研究函数的最值，均值不等式的应用。 点评：函数模型，导数的应用或均值不等式的应用，常见题型。本解法利用了均值定理，拆项是关键。 （本大题满分 10 分）设函数 f(x)= (a R)，为使 f(x)在区间（ 0， +）上为增函数，求 a的取值范围。 答案： a- 试题分析：首先要使函数有意义，则 ax。而考虑所给的题设，只需要最大限度地让函数在 (0,+)有意义即可，所以 a0。对 f（ x）求导并令其 0，整理后
13、得：x-（ 2a+1） 0 由于 在 a0时始终有意义且大于 0，因此只需讨论 x-（ 2a+1） （ x-a）0 . （ 1）若 2a+1a，即 a-1。 解为 xa或 x2a+1，所以令 2a+10即可，得到a- （ 2）若 2a+1a，所以令 a0即可 综上所述， a的取值范围是（ -， - 。 考点：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，一元二次不等式的解法。 点评：已知函数的单调区间，求参数，往往利用函数的导数不小于 0。解答本题时，分类讨论是关键。 （本题满分 10分） 如图，由 y=0， x=8， y=x2围成的曲边三角形，在曲线弧 OB上求一点 M，使得过 M所作的 y=x2的
14、切线 PQ与 OA， AB围成的三角形PQA面积最大。 答案：（ ， ） 试题分析：如图，设点 M（ t， t2），容易求出过点 M的切线的斜率为 2t，即切线方程为 y-t2=2t（ x-t），（ 0t8） 当 t=0时，切线为 y=0， PQA不存在，所以（ 0 t8） 在切线方程中令 y=0，得到 P点的横坐标为 ，令 x=8，得到 Q 点的纵坐标为16t-t2 所以 S PQA= （ 8- ）（ 16t-t2）， 令 S（ t） =（ 8- ）（ 8- ） =0； 解可得得 t=16（舍去）或 t= ； 由二次函数的性质分析易得， t= 是 S PQA= （ 8- ）（ 16t-t2）的极大值点； 从而当 t= 时，面积 S（ t）有最大值 Smax=S（ ） = ，此时 M（ ，） 考点：本题主要考查导数的几何意义的应用，应用导数求函数的最值问题。 点评：本题符合高考考试大纲，是一道颇具代表性的题目。
