1、2012年苏教版高中数学选修 2-2 2.2直接证明与间接证明练习卷与答案（带解析） 选择题 用反证法证明命题 “三角形的内角至多有一个钝角 ”时，假设正确的是（ ） A假设至少有一个钝角 B假设至少有两个钝角 C假设没有一个钝角 D假设没有一个钝角或至少有两个钝角 答案： B 试题分析： 由于命题 “三角形的内角至多有一个钝角 ”的否定为 “三角形的内角至少有两个钝角 ”， 故用反证法证明命题 “三角形的内角至多有一个钝角 ”时，应假设至少有两个钝角， 故选 B 考点：本题主要考查反证法的概念及方法。 点评：应用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口
2、若 ，则不等式 等价于（ ） A 或 B C 或 D 或 答案： D 试题分析： ， 考点：本题主要考查不等关系与不等式的性质。 点评：解题的关键是利用已知条件进行通分变形。 过平行六面体 任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有（ ） A 4条 B 6条 C 8条 D 12条 答案： D 试题分析：如图，过平行六面体 ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线， 其中与平面 DBB1D1平行的直线共有 12条， 故选 D 考点：本题主要考查直线与平面平行的判定。 点评：解题的关键是画出图形，然后数出来，基础题。 已知平面 外不共线的三点 到 的距离都相等，则正确的结论是（ ）
3、A平面 必平行于 B平面 必不垂直于 C平面 必与 相交 D存在 的一条中位线平行于 或在 内 答案： D 试题分析：已知平面 外不共线的三点 A、 B、 C到 的距离都相等， 则可能三点在 的同侧，即平面 ABC平行于 ， 这时三条中位线都平行于平面 ； 也可能一个点 A在平面一侧， 另两点 B、 C在平面另一侧， 则存在一条中位线 DE BC， DE在 内， 所以选 D 考点：本题考查空间直线与平面的位置关系。 点评：考虑仔细全面，找反例有时事半功倍，是基础题。 “不等式 成立 ”是 “ 成等差数列 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案：
4、 B 试题分析： 若等式 sin（ +） =sin2成立， 则 +=k+（ -1） k 2， 此时 、 、 不一定成等差数列， 若 、 、 成等差数列， 则 2=+， 等式 sin（ +） =sin2成立， 所以 “等式 sin（ +） =sin2成立 ”是 “、 、 成等差数列 ”的必要而不充分条件 故选 B 考点：本题主要考查充要条件的概念，两角和的三角函数，等差数列。 点评：具有一定综合性，难度不大，关键是能进行正确的三角变换。 若 是正实数，且 恒成立，则 的最小值是（ ） A B C D 答案： B 试题分析： 恒成立， a 恒成立 x 0， y 0， a的最小值为 ,故选 B。 考
5、点：本题主要考查不等式的性质，均值定理的应用。 点评：将恒成立问题转化为利用不等式解决最值问题。 欲证 ，只需证（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由不等式的性质，不等号两边为正时，两边平方，不等号方向不变。故选 C。 考点：本题主要考查不等式的性质，分析法的概念及步骤。 点评：简单题，明确分析法的概念及步骤。 计算机中常用的十六进进是逢 16进 1的计数制，采用数字 09和字母共 16个计数符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十六进制 8 9 A B C D E F 十进制 8 9 10 11
6、 12 13 14 15 例如，用十六进制表示 ，则 （ ） A B C D 答案： A 试题分析： 表格中 A对应的十进制数为 10， B对应的十进制数为 11， AB=1011， 由十进制表示为： 1011=616+14， 又表格中 E对应的十进制为 14， 用十六进制表示 AB=6E 故选 A 考点：本题主要考查进位制，考查学生的学习能力。 点评：此题属于新定义的题型，此类题主要是弄清题意，理解新定义，解本题的关键是从表格中找出十六进制与十进制间的转换关系 关于直线 与平面 ，有下列四个命题： 若 ， 且 ，则 ； 若 且 ，则 ； 若 且 ，则 ； 若 ， 且 ，则 其中真命题的序号是
7、（ ） A B C D 答案： D 试题分析：直线 m/平面 ，直线 n/平面 ，当 时，直线 m,n有可能平行，也有可能异面，所以 不正确； ， ，所以 ，故 正确； 据此结合选项知选 D. 考点：本题主要考查空间直线与平面的位置关系。 点评：熟练掌握空间直线与平面之间各种关系的几何特征是解答本题的关键。 设 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（ ） A B C D 答案： C 试题分析： A： |a-b|=|a-c+c-b|a-c|+|c-b|=|a-c|+|b-c|，故 A恒成立 B：由于由于函数 f（ x） =x+ 在（ 0， 1单调递减，在 1， +）单调递增 当 a 1时
8、， a2 a 1， f（ a2） f（ a）即， 当 0 a 1， 0 a2 a 1， f（ a2） f（ a）即 ， 当 a=1， = 故 B恒成立； D：由于 = = 故 D恒成立；故选 C 考点：本题主要考查不等式的性质 点评：本题解答利用了 “排除法 ”。 如果 的三个内角的余弦值分别等于 的三个内角的正弦值，则（ ） A 和 都是锐角三角形 B 和 都是钝角三角形 C 是钝角三角形， 是锐角三角形 D 是锐角三角形， 是钝角三角形 答案： D 试题分析：因为 A2B2C2的三个内角的正弦值均大于 0， 所以 A1B1C1的三个内角的余弦值也均大于 0，则 A1B1C1是锐角三角形 若
9、 A2B2C2是锐角三角形，由 ， ， 得 ， 那么， A2+B2+C2= ，这与三角形内角和是 相矛盾； 若 A2B2C2是直角三角形，不妨设 A2= ， 则 sinA2=1=cosA1，所以 A1在（ 0， ）范围内无值 所以 A2B2C2是钝角三角形 故选 D 考点：本题主要考查三角函数诱导公式，反证法。 点评：从假定三角形形状入手，推出矛盾，肯定结论。 填空题 已知平面 和直线 ，给出条件： ； ； ； ； （ 1）当满足条件 时，有 ； （ 2）当满足条件 时，有 （填所选条件的序号） 答案： ； 试题分析：若 m ， ，则 m ； 若 m ， ，则 m 故答案：为：（ 1） （ 2
10、） 考点：本题主要考查直线与平面垂直的位置关系 点评：熟练掌握直线与平面平行、垂直的判定与性质，基础题 在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个自然数，并且使这两个自然数的和最小： 答案：， 12 试题分析 ;设第一个括号是 x，第二个括号是 y， 1= ， x+y=（ x+y）（ ） =10+ 16 当 x+y最小值时， x=4， y=12， 故答案：为 4， 12 考点：本题主要考查均值 定理的应用。 点评：应用基本不等式，注意条件 “一正，二定，三相等 ”，属于基础题。 若 且 ，则 ； ； ，其中不成立的不等式序号是 答案： 试题分析：因为 ，所以指数函数，对数函数均为减函数，又
11、 ，所以 成立， 不成立；由 -a0知幂函数为减函数，所以 不成立，故答案：为 。 考点：本题主要考查指数函数、对数函数、幂函数的性质。 点评：简单题，牢记常见函数的性质。认真审题寻求 “不成立 ”的。 设 ，且 （ 均为正数），则 的取值范围是 答案： 试题分析：根据题意， a+b+c=1，则 = ； 同理 ； ； 则 =8， 故所求范围为 8， +）。 考点：本题考查基本不等式的应用，不等式的性质。 点评：解题的关键在于 a+b+c=1的灵活运用 。 设 ， ，且 恒成立，则 的最大值是 答案： 试题分析： 恒成立 n 恒成立 n 的最小值 = =2+ 4，得 n4故答案：为 4 考点：本
12、题主要考查均值定理的应用。 点评：通过分离参数求函数的最值解决不等式恒成立问题、利用基本不等式求函数的最值要注意满足的条件：一正、二定、三相等。 设 （ ， ）对任意非零实数 均满足，则 为 函数（ “奇 ”或 “偶 ”） 答案：偶 试题分析：首先 f(11)=f(1)+f(1) 则 f(1)=0 f(-1)（ -1)） =f(-)+f(-1)=0 则 f(-1)=0 所以 f(1)=f(-1)=0 从而 f(-1x)=f(x)+f(-1) 即 f(-x)=f(x) 所以 f(x)是偶函数 考点：本题主要考查抽象函数奇偶性的判断。 点评：常见题，此类问题常常利用 “赋值法 ”。 用反证法证明
13、“如果 ，那么 ”，假设的内容是 答案： 试题分析： 的反面是 ，故答案：为 。 考点：本题主要考查不等式的性质，反证法的概念及方法步骤。 点评：反证法有如下三个步骤：（ 1）提出反证，（ 2）推出矛盾，（ 3）肯定结论。 解答题 已知非零实数 是公差不为零的等差数列，求证： 答案：见 试题分析： 证明：（反证法）假设 ， 则 而 由 ，得 ，即 ， 于是 ，这与非零实数 成公差不为零的等差数列矛盾，故假设不成立，原命题结论成立，即 成立 考点：本题主要考查等差数列的概念及性质，反证法的概念及方法步骤。 点评：反证法有如下三个步骤：（ 1）提出反证，（ 2）推出矛盾，（ 3）肯定结论。 已知
14、为互不相等的实数，求证： 答案：见 试题分析： 证明： ， ， ， 又 互不相等， 上面三式都不能取 “ ”号， ， 同理， ， ， 故 考点：本题主要考查不等式的性质，基本不等式的应用。 点评：典型题，关键是从求证不等式 ，联想基本不等式。 当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大将此结论由平面类比到空间时，你能够得出什么样的结论，并证明你的结论 答案：由平面类比到空间可得如下结论：当一个球与一个正方体的表面积相等时，这个球的体积比正方体的体积大证明见。 试题分析：由平面类比到空间可得如下结论： 当一个球与一个正方体的表面积相等时，这个球的体积比正方体的体积大 设球和正
15、方体的表面积均为 ，依题意球的体积为 ，正方体的体积为 要证明 ， 只需证明 又因为 ， 显然， ， ， 考点：本题主要考查几何体的特征及体积公式，类比推理，分析法的方法步骤。 点评：本题首先利用类比推理，得到一般结论，并利用分析法加以证明，综合性较强，考查知识面广。 已知 对任意实数 都有 ，且当 时， （ 1）求证： 是 上的增函数； （ 2）已知 ，解不等式 答案：（ 1）见；（ 2） 试题分析：证明：设任意 ，且 ， 则 由已知得 而 ， 所以 是 上的增函数； （ 2）解：由于 ， 由 得 ， 是 上的增函灵敏， ，解得 考点：本题主要考查抽象函数单调性的证明，一元二次不等式的解法。
16、 点评：抽象函数单调性证明中，适当构造是关键。 已知 ，求证： ， ， 不能同时大于 答案：见 试题分析： 证明：假设三式同时大于 ， 即 ， ， 三式同向相乘，得 又 ， 同理 ， 因 矛盾，故假设错误，原命题成立 考点：本题主要考查不等式的性质，反证法的概念及方法步骤。 点评：反证法有如下三个步骤：（ 1）提出反证，（ 2）推出矛盾，（ 3）肯定结论。 已知 ，试比较 与 的大小 答案： 试题分析： 先考虑一个简单问题，比较 与 的大小 事实上，因为 ， 所以 所以 更进一步，则有 ， 故有 考点：本题主要考查不等式的性质，比较大小的方法。 点评：比较大小的方法，常用的是 “差比法 ”：作差 -变形 -定号。 若下列方程： ， ， ，至少有一个方程有实根，试求实数 的取值范围 解：设三个方程均无实根，则有 解得 ，即 所以当 或 时，三个方程至少有一个方程有实根 答案： 或 时，三个方程至少有一个方程有实根 试题分析：设三个方程均无实根，则有 解得 ，即 所以当 或 时，三个方程至少有一个方程有实根 考点：本题主要考查方程根的讨论，不等式组的解法。 点评：典型题，本解法很好地体现了 “正难则反 ”的解题策略，简化了解题过程。
