1、2013-2014学年江苏省无锡洛社高级中学高一下学期期中考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知等差数列 的前 9项和 ，则 . 答案： 试题分析： 考点：等差数列性质 填空题 在 ABC中 ,已知 则 . 答案： 试题分析：已知两边及一对角求另一对角，应用正弦定理解决 .由正弦定理得：因为 ，所以角 B为锐角，所以考点：正弦定理 对于满足 的实数 ，使 恒成立的 x取值范围是 . 答案： 试题分析：令 ，则由题意得： 即 解得 考点：一元二次不等式解法 对于数列 ，定义数列 为数列 的 “差数列 ”，若的 “差数列 ”的通项为 ，则数列 的前 n项和 . 答案： 试题分析：由 “差数列
2、”定义知： ， 所以 因此 . 考点：叠加法求和 若 ABC中， ，则 ABC面积 S的取值范围是 . 答案： 试题分析：因为 ，又 所以考点：基本不等式求范围 ABC中，若 则 . 答案： 试题分析：三角形中，,由，得 又 ,所以有正弦定理得即 即 A为锐角，由 得 ，因此 考点：正余弦定理 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状研究数，如他们研究过右图 1中的 1， 3， 6， 10，由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称右图 2中的 1， 4， 9， 16 这样的数为正方形数，则除 1外，最小的既是三角形数又是正方形数的是 . 答案： 试题分析：由题意知：第 n个三角形数
3、满足 ，当 时，三角形数第一次出现平方数 36（除 1外），因此除 1外，最小的既是三角形数又是正方形数的是 36. 考点：数列找规律 函数 的最大值为 . 答案： 试题分析：当 时， ，当且仅当 时取等号 .所以函数 的最大值为 . 考点：基本不等式求最值 各项均为正数的等比数列 ，若 ,则 答案： 试题分析 ： 考点：等比数列性质 若不等式 恒成立，则 的取值范围是 . 答案： 试题分析：当 时， 恒成立，当 时，由 得，解得 因此 . 考点：不等式恒成立 ABC中，若 ， 和 是方程 的两个根，那么 答案： 试题分析：由余弦定理得：，又 和是方程 的两个根，所以 因此 考点：余弦定理 数
4、列 的前 项和 ,则 . 答案： 试题分析：由 ，得：考点：求通项公式 在 ABC中，已知 ，则 ABC的形状为 . 答案：等腰三角形 试题分析：解三角形问题，一般利用正余弦定理进行转化 . 由正弦定理得 因为 ,所以 ABC的形状为等腰三角形 . 考点：正余弦定理 不等式组 表示的平面区域的面积为 . 答案： 试题分析：由题意得：平面区域为一个三角形及其内部，其中因此面积为 考点：线性规划求面积 解答题 已知二次函数 ，不等式 的解集为. （ 1）求 的式； （ 2）若函数 在 上单调，求实数 的取值范围； （ 3）若对于任意的 x -2,2， 都成立，求实数 n的最大值 答案： (1) ，
5、（ 2） （ 3） -21. 试题分析： (1) 根据一元二次方程的根与一元二次不等式的解集关系，可列出两个独立条件，求出式 . 依题得， 为方程 的两个实根， （ 2）二次函数单调性主要研究对称轴与定义区间相对位置关系，在 上单调，二次函数开口向上，对称轴（ 3）恒成立问题，一般利用变量分离转化为最值问题 . 依题得，只要，设 当 时， 实数 n的最大值为 解： (1)依题得， 为方程 的两个实根， （ 2分） （ 4分） （ 5分） （ 2） 在 上单调， 又二次函数开口向上，对称轴 ， （ 7分） （ 10分） （ 3）依题得， （ 12 分） 只要 ， （ 13分） 设 当 时， （
6、15分） （ 16分） 考点：一元二次方程的根与一元二次不等式的解集关系，二次函数单调性，不等式恒成立 某种汽车购买时费用为 16.9万元，每年应交付保险费、汽油费费用共 1.5万元，汽车的维修费 用为：第一年 0.4万元，第二年 0.6万元，第三年 0.8万元，依等差数列逐年递增 . （ 1）设该车使用 n 年的总费用（包括购车费用）为 试写出 的表达式； （ 2）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少） . 答案： (1) ，（ 2） 13. 试题分析： (1) 解实际问题应用题，关键在于根据题意列出等量关系 . 由等差数列求和得：（ 2）由题意得为求年平均费用最小值
7、： 当且仅当时，取 “=”. 解： (1) （ 4分） （ 7分） (2) , （ 11分） 当且仅当 时，取 “=”. （ 13分） 所以，这种汽车使用 13年报废最合算 . （ 15分） 考点：数列应用题 ABC中， 分别为角 A、 B、 C所对的边，已知， （ 1）求 的值； （ 2）若 ，求 ABC的面积 . 答案： (1) 2,（ 2） . 试题分析： (1) 解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化 . 由正弦定理，得 ，整理，得又 ，即 . （ 2）由余弦定理得： , ，由（ 1）得， , ， , . 解： (1)由正弦定理，得 ， （ 2分） 整理，得 （ 4分） 又 （
8、6分） 即 . （ 7分） (2) 依题得 , ， （ 9分） 由（ 1）得， ， , （ 11分） ， , （ 13分） . （ 15分） 考点：正余弦定理 等差数列 的前 项和为 ， . （ 1）求数列 的通项公式；（ 2）令 ，求 . 答案： (1) ,（ 2） . 试题分析： (1) 求特殊数列通项，一般方法为待定系数法 . 依题 ，得， ，（ 2）由（ 1）得， ，利用裂项相消法求和 . , .解：（ 1）依题 ，得 ， （ 4分） （ 6分） （ 2）由（ 1）得， （ 8分） = （ 12分） （ 13分） （ 14分） 考点：等差数列通项，裂项相消法求和 已知锐角 ABC中，
9、分别为角 A、 B、 C所对的边，且 . (1) 求角 C的大小；（ 2）若 ,且 ，求 的值 . 答案： (1) ，（ 2） 5. 试题分析： (1) 解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化 . , ,又 （ 2）依题，得 ，,即 ， ， ，解：（ 1） （ 2分） （ 4分） 又 （ 6分 ) （ 2）依题，得 ， ， （ 8分） 即 ， ， （ 10分） ， （ 12分） （ 14分） 考点：正余弦定理 已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且对任意的 ，都有。 （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）若数列 满足 ，且 cn=anbn，求数列 的前 项和 ； （ 3）在（）的条件
10、下，是否存在整数 ，使得对任意的正整数 ，都有，若存在，求出 的值；若不存在，试说明理由 答案： (1) （ 2） （ 3） . 试题分析： (1) 由 ，得：当 时，当 时，整理，得（ 2）数列 为等差乘等比，所以利用错位相减法求和 . , - ，得 （ 3）本题实质为求和项范围：根据单调性确定数列和项范围 . 由（ 2）知，对任意 ，都有 .因为 ，所以 .故存在整数 ，使得对于任意 ，都有 . 解： (1)当 时， （ 1分） 当 时， 整理，得 （ 2分） （ 3分） （ 2）由 （ 4分） - ，得 （ 6分） （ 8分） （ 3）由（ 2）知，对任意 ，都有 . （ 10分） 因为 ， 所以 . （ 14分） 故存在整数 ，使得对于任意 ，都有 . （ 16分） 考点：等差数列通项，错位相减法求和，数列单调性求范围
