1、2013届上海市浦东新区高三第三次模拟理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 在平面斜坐标系 中 ,点 的斜坐标定义为 :“若 (其中 分别为与斜坐标系的 轴 , 轴同方向的单位向量 ),则点 的坐标为”.若 且动点 满足 ,则点 在斜坐标系中的轨迹方程为 A B C D 答案： D 试题分析：解答：解：设 M（ x， y）， F1（ -1， 0）， F2（ 1， 0）， 由定义知 |MF1|=-（ x+1） +y ， |MF2|=-（ x-1） +y ，因为 ，那么可知 （ x+1） 2+y2+2（ x+1） y =（ x-1） 2+y2+2（ x-1） y ，整理得，故答案：为 D。 考点：
2、新定义 点评：本题考查新定义，考查轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题 已知 中， , ，则角 的取值范围是（ ） A . B C D 答案： C 试题分析：知道两边求角的范围，余弦定理得到角和第三边的关系，而第三边根据三角形的构成条件是有范围的，这样转化到角的范围解：利用余弦定理得： 4=c2+8-4 ccosA，即 c2-4 ccosA+4=0， , =32cos2A-160， A为锐角 A ,故选 C 考点：解三角形 点评：本题的考点是解三角形，主要考查利用余弦定理解答三角形有解问题，知道两边求角的范围，余弦定理得到角和第三边的关系，而第三边根据三角形的构成条件是有范围的，这
3、样转化到角的范围，有一定难度 已知数列 的通项公式为 ,其前 项和 ,则双曲线 的渐近线方程为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：根据数列 的通项公式为 ,其前 项和 ，那么可知 ，可知 n=9,那么根据 可知 a= ,b= 3,故可知双曲线 的渐近线方程为 ，选 C. 考点：数列的求和，双曲线的性质 点评：主要是考查了数列的通项公式和双曲线的性质的运用，属于基础题。 非零向量 ， ， ，若向量 ，则 的最大值为（ ） A B C D以上均不对 答案： B 试题分析：根据题意，非零向量 ， ， ，若向量，可知当 的最大值为 ，故选 C. 考点：向量的数量积 点评：主要是咔嚓了向量的模
4、，以及向量的数量积的性质的运用，属于基础题。 填空题 函数 的定义域为 . 答案： 试题分析：根据题意，使得函数 有意义时，则满足,故可知答案：为 。 考点：函数的定义域 点评：主要是考查了函数的定义域的求解，属于基础题。 定义：对于各项均为整数的数列 ，如果 ( =1， 2， 3， )为完全平方数，则称数列 具有 “ 性质 ”；不论数列 是否具有 “ 性质 ”，如果存在数列 与 不是同一数列，且 满足下面两个条件： （ 1） 是 的一个排列； （ 2）数列 具有 “ 性质 ”，则称数列 具有 “变换 性质 ” 给出下面三个数列： 数列 的前 项和 ； 数列 ： 1， 2， 3， 4， 5；
5、数列 ： 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10， 11. 具有 “ 性质 ”的为 ；具有 “变换 性质 ”的为 . 答案： 、 试题分析：对于 ，求出数列 an的通项，验证 ai+i=i2（ i=1， 2， 3， ）为完全平方数，可得结论；对于 ，数列 1， 2， 3， 4， 5，具有 “变换 P性质 ”，数列 bn为 3， 2， 1， 5， 4，具有 “P性质 ”；对于 ，因为 11， 4都只有与 5的和才能构成完全平方数，所以 1， 2， 3， ， 11，不具有 “变换 P性质 ” 解：对于 ，当 n2时， an=Sn-Sn-1=n2-n， a1=0， an=n2-n
6、， ai+i=i2（ i=1， 2， 3， ）为完全平方数， 数列 an具有 “P性质 ”；，对于 ，数列 1， 2， 3， 4， 5，具有 “变换 P性质 ”，数列 bn为 3， 2， 1， 5， 4，具有 “P性质 ”， 数列 an具有“变换 P性质 ”；，对于 ，因为 11， 4都只有与 5的和才能构成完全平方数，所以 1， 2， 3， ， 11，不具有 “变换 P性质 ”，故答案：为： ， 考点：新定义 点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是关键 对大于或等于 的自然数 的 次方幂有如下分解方式 : 根据上述分解规律 ,则 , 若 的分解中最小的数是 73,
7、则 的值为 . 答案： 试题分析：解：根据 23=3+5， 33=7+9+11， 43=13+15+17+19，从 23起， m3的分解规律恰为数列 3， 5， 7， 9，若干连续项之和， 23为前两项和， 33为接下来三项和，故 m3的首数为 m2-m+1， m3（ m N*）的分解中最小的数是 73， m2-m+1=73， m=9故答案：为 9 考点：归纳推理 点评：归纳推理的一般步骤是：（ 1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（ 2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想） 定义在 上的函数 同时满足性质： 对任何 ，均有成立； 对任何 ，当且仅当 时，有.则 的值为 .
8、 答案： 试题分析：首先根据题干条件解得 f（ 0）， f（ -1）和 f（ -1）的值，然后根据对任何 x1， x2 R， x1x2均有 f（ x1） f（ x2）可以判断 f（ 0）、 f（ -1）和 f（ 1）不能相等，据此解得答案：解： 对任何 x R 均有 f（ x3） =f（ x） 3， f（ 0）=（ f（ 0） 3，解得 f（ 0） =0， 1 或 -1， f（ -1） =（ f（ -1） 3，解得 f（ -1） =0，1或 -1， f（ 1） =（ f（ 1） 3，解得 f（ 1） =0， 1或 -1， 对任何 x1， x2 R，x1x2均有 f（ x1） f（ x2）， f
9、（ 0）、 f（ -1）和 f（ 1）的值只能是 0、 -1和 1中的一个， f（ 0） +f（ -1） +f（ 1） =0，故答案：为 0 考点：函数的值 点评：本题主要考查函数的值的知识点，解答本题的关键是根据题干条件判断 f（ 0）、 f（ -1）和 f（ 1）不能相等，本题很容易出错 设正四面体 的棱长为 ， 是棱 上的任意一点，且 到面的距离分别为 ，则 _ . 答案： 试题分析：根据题意，由于正四面体 的棱长为 ，各个面的面积为 ，高为 ，那么可知底面积乘以高的三分之一即为四面体的体积，也等于从点P出发的两个棱锥的体积和且底面积相同，因此可知高为 考点：体积公式 点评：主要是考查了
10、等体积法的运用，属于基础题。 已知数列 中 , , ，则当 取得最小值时 的值是 答案：或 7 试题分析：根据题意，由于数列 中 , , ，累积法可知 ，那么可知当 n=6,或者 7时，函数达到最小值，故可知 n的值为 6，或 7. 考点：数列的最值 点评：主要是考查了数列的函数性质的运用，属于基础题。 已知圆的方程是 ，若以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，则该圆的极坐标方程可写为 答案： 试题分析：根据题意，由于圆的方程是 ，若以坐标原点 为极点，轴的正半轴为极轴，那么可知 ，代入上式中化简可知，故答案：为 。 考点：极坐标方程 点评：本题主要考查了将将直角坐标方程转化成极坐标方程，属
11、于基础题 如果 ， 为第三象限角，则 答案： 试题分析：根据题意，由于 ，且 为第三象限角，那么可知,而 ,因此可知答案：为 。 考点：诱导公式 点评：主要是考查了诱导公式的运用，属于基础题。 设等差数列 的前 项之和 满足 ，那么 答案： 试题分析：解：解：根据数列前 n项和的定义得出： S10-S5=a6+a7+a8+a9+a10，再根据等差数列的性质即为 5a8=20， a8=4，故答案：为： 4 考点：等差数列的前 n项和的公式 点评：此题考查学生灵活运用等差数列的前 n项和的公式化简求值，掌握等差数列的性质，是一道中档题 设复数 ， ， ，则_. 答案： 试题分析：根据题意，由于复数
12、 ， ， ，那么可知 ,同时,故可知 考点：复数的代数运算 点评：主要是考查了复数的乘法和加法运算，属于基础题。 正方体 中， 分别是棱 的中点，则异面直线 与 所成的角等于 _. 答案： 试题分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点 B，得到的锐角 A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形 A1BC1中求出此角即可解：连 A1B、BC1、 A1C1，则 A1B=BC1=A1C1，且 MN A1B、 PQ BC1，所以异面直线 MN与PQ所成的角等于 60，故选 B 考点：异面直线及其所成的角 点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题
13、 在 中， 的对边分别是 ，且 是 的等差中项，则角 = . 答案： 试题分析：根据题意，由于 是 的等差中项，那么可知,那么结合特殊叫是三角函数值以及三角形角的范围可知， = 。 考点：等差数列 点评：主要是考查了等差数列和解三角形的运用，属于基础题。 若 , ,则同时满足 的正整数 有 组 . 答案： 试题分析：解： a， b N； ab9； a+b 9， 9 a+b2b b9； b=5， 6， 7， 8， 9； b=6 时， a=6；只有 1 种； b=7， b=7， 6， 5；有三种； b=8， a=8， 7， 6， 5， 4；有五种； b=9， a=9， 8， 7， 6， 5， 4，
14、 3；有七种； b=5 时， a=5， 6， 7， 8， 9；只有 5 种，故共有： 1+3+5+7+5=25 种故答案：为： 25 考点：简单的线性规划 点评：本题主要考查简单的记数问题解决问题的关键在于根据已知条件得到 b9 如图，抛物线形拱桥的顶点距水面 4米时，测得拱桥内水面宽为 16米；当水面升高 3米后，拱桥内水面的宽度为 _米 答案： 试题分析：先根据题目条件建立直角坐标系，设出抛物线的方程，然后利用点在曲线上，确定方程，求得点的坐标，也就得到水面的宽解：以抛物线的顶点为原点，对称轴为 y轴建立直角坐标系，设其方程为 x2=2py（ p0）， A（ 8， -4）为抛物线上的点，
15、64=2p（ -4） 2p=-16 抛物线的方程为 x2=-16y 设当水面上升 3 米时，点 B 的坐标为（ a， -1）（ a 0） a2=（ -16） （ -1） a=4，故水面宽为 8米故答案：为： 8 考点：抛物线 点评：本题考查抛物线的应用，以及待定系数法求方程，注意点在曲线上的条件的应用，是个基础题 解答题 已知函数 的最大值为 2 （ 1）求函数 在 上的值域； （ 2）已知 外接圆半径 ， ，角 A， B所对的边分别是 a， b，求 的值 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：解：（ 1）由题意， 的最大值为 ，所以 2分 而 ，于是 ， 4分 在 上递增在 递减， 所以函数
16、在 上的值域为 ； 5分 （ 2）化简 得 7分 由正弦定理，得 ， 9分 因为 ABC的外接圆半径为 11分 所以 12分 考点：三角函数的性质以及正弦定理 点评：主要是考查了三角函数化简以及正弦定理的运用，解三角形，属于基础题。 设 ，函数 的图像与函数 的图像关于点对称 （ 1）求函数 的式； （ 2）若关于 的方程 有两个不同的正数解，求实数 的取值范围 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：解：（ 1）设点 是函数 图像上任意一点， 关于点 对称的点为 ，则 ， ，于是 ， ， 2分 因为 在函数 的图像上，所以 ， 4分 即 ， ， 所以 6分 （ 2）令 ，因为 ， ，所以 ， 所
17、以方程 可化为 ， 8分 即关于 的方程 有大于 的相异两实数解 作 ，则 ， 12分 解得 ；所以 的取值范围是 14分 考点：函数与方程 点评：主要是考查了函数与方程的根的问题以及函数性质的运用，属于中档题。 如图 1， ， 是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段 和曲线段 分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤 .为观光旅游的需要，拟过栈桥上某点 分别修建与 ， 平行的栈桥 、 ，且以 、 为边建一个跨越水面的三角形观光平台 .建立如图 2所示的直角坐标系，测得线段 的方程是 ，曲线段 的方程是，设点 的坐标为 ，记 .（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度） （ 1）求 的
18、取值范围； （ 2）试写出三角形观光平台 面积 关于 的函数式，并求出该面积的最小值 答案：（ 1） （ 2）当 时，三角形观光平台的面积取最小值为 225平方米 . 试题分析：解：（ 1）由题意，得 在线段 CD： 上，即 ， 又因为过点 M要分别修建与 OA、 OB平行的栈桥 MG、 MK， 所以 ； . 2分 . ； 4分 所以 的取值范围是 . 6分 （ 2）由题意，得 ， . 8分 所以 则 ， 10分 因为函数 在 单调递减， 12分 所以当 时，三角形观光平台的面积取最小值为 225平方米 . 14分 考点：函数模型的运用 点评：主要是考查了分析题意，得到式，结合函数性质求解最值
19、，属于中档题。 已知椭圆 过点 ，椭圆 左右焦点 分别为，上顶点为 ， 为等边三角形 .定义椭圆 C上的点 的 “伴随点 ”为 . （ 1）求椭圆 C的方程； （ 2）求 的最大值； （ 3）直线 l交椭圆 C于 A、 B两点 ,若点 A、 B的 “伴随点 ”分别是 P、 Q,且以 PQ为直径的圆经过坐标原点 O.椭圆 C的右顶点为 D，试探究 OAB的面积与ODE的面积的大小关系 ,并证明 . 答案：（ 1） （ 2） （ 3） 的面积是定值 试题分析：解：（ 1）由已知 ，解得 ,方程为.4分 （ 2）当 时，显然 ，由椭圆对称性，只研究即可， 设 （ ），于是 5分 （当且仅当 时取等号
20、） 8分 （ 3） 设 ,则 ; 1)当直线 的斜率存在时 ,设方程为 , 由 得 : ； 有 10分 由以 为直径的圆经过坐标原点 O 可得 : ； 整理得 : 将 式代入 式得 : , 12分 又点 到直线 的距离 = = =所以 14分 2) 当直线 的斜率不存在时 ,设方程为 联立椭圆方程得 : ； 代入 得 ； , 综上 : 的面积是定值 又 的面积也为 ,所以二者相等 . 16分 考点：椭圆的方程与性质 点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用，属于中档题。 已知数列 ， 满足： （ 1）若 ，求数列 的通项公式； （ 2）若 ，且 记 ，求证：数列 为等差数列； 若数列 中任
21、意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项 应满足的条件 答案：（ 1） （ 2） 根据等差数列的定义，证明相邻两项的差为定值来得到证明。从第二项起满足题意即可。 当 ，数列 任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次 试题分析：解：（ 1）当 时，有 又 也满足上式，所以数列 的通项公式是 4分 （ 2） 因为对任意的 ，有 ，所以， ， 所以，数列 为等差数列 8分 设 （其中 为常数且 ， 所以， ， 即数列 均为以 7为公差的等差数列 10分 设 （其中 为 中一个常数） 当 时，对任意的 ，有 ； 12分 当 时， （ ）若 ，则对任意的 有 ，所以数列 为递减数列； （ ）若 ，则对任意的 有 ，所以数列 为递增数列 综上所述，集合 当 时，数列 中必有某数重复出现无数次； 当 时，数列 均为单调数列，任意一个数在这 6个数列中最多出现一次，所以数列 任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次 18分 考点：数列的性质，数列的概念 点评：主要是考查了等差数列的概念和数列的单调性的运用，属于难度题。
