1、2013届安徽省芜湖一中高三上学期第二次模拟考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ， ，且 ，则实数 m的取值范围是（ ） A B C D 答案： C 试题分析： , , ； ， ， ，故选 考点：集合之间关系；集合之间的运算 . 五张卡片上分别写有数字 1， 2， 3， 4， 5，从这五张卡片中随机抽取 2张，则取出的 2张卡片上数字之和为奇数的概率为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：实验发生包含的事件是从 5张中随机的抽 2张，共有 种结果， 满足条件的事件是两张之和为奇数，有 种结果， 所以取出的 2张卡片上数字之和为奇数的概率为 故选 考点：等可能事件的概率
2、. 定义在 上的偶函数 满足 ，且在 -3,-2上式减函数，是钝角三角形的两个锐角，则下列结论正确的是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为 为偶函数，且 ，所以，所以函数 的周期 ；又因为函数 在上是减函数，所以函数 在 上是减函数，因为 为偶函数，所以函数 在 上是增函数；因为 是钝角三角形的两个锐角，所以，所以 ，所以 ，又因为函数 在 上是增函数，所以 ，故选 . 考点：函数的性质 . 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由该几何体的三视图知：该几何体下面是个圆柱，上面是个三棱锥，其体积为 故选 考点：几何体的三视图；
3、几何体的体积 . 设变量 x， y满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为（ ） A 9 B 4 C 3 D 2 答案： C 试题分析：如图所示阴影部分为不等式组表示的可行域，其中当直线 经过点 时， 故选 考点：线性规划 . 已知函数 ， 是定义在 R上的奇函数，当 时，则函数 的大致图象为（ ） 答案： D 试题分析：因为 ，所以函数 是偶函数，又 是定义在 上的奇函数，所以 是奇函数，即可以排除选项 与 ，当 时， ，所示此时 ，所以排除选项 .故选 考点：函数的奇偶性；函数的图像 . 已知 是等差数列， ， ，那么该数列的前 13项和等于（ ） A 156 B 132 C 110 D 1
4、00 答案： A 试题分析：因为 是等差数列， ， ，所以，得 因为 所以 故选 考点：等差数列的性质；等差数列的求和 . 已知圆 与直线 及 都相切，圆心在直线 上，则圆 的方程为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由圆的几何性质得直线 与 的距离为圆 的直径 ， 又圆心在直线 上，所以设圆心 因为圆 与直线 及 都相切，所以 ，解得 故圆 的方程为 故选 考点：圆的标准方程 . 若 ， ， ，且 ，那么 与 的夹角为（ ） A B C D 答案： B 试题分析： ， ， ， ，故选 . 考点：向量的数量积 . 已知复数 （ ），且有 ， 是 z的共轭复数，那么 的值为（ ） A
5、B C D 答案： B 试题分析： ， ， ， ， ， ，故选 考点：复数的运算；共轭复数 . 填空题 给出以下五个命题： 命题 “ ， ”的否定是： “ ”. 已知函数 的图象经过点 P（ ， 1），则函数图象上过点 P的切线斜率等于 是直线 和直线 垂直的充要条件 . 函数 在区间（ 0， 1）上存在零点 . 已知向量 与向量 的夹角为锐角，那么实数 m的取值范围是（ ） 其中正确命题的序号是 . 答案： 试题分析： ：命题 “ ， ”的否定是： “ ”，故 错； ：由题知 ，解得 ，所以 ，则 ，所以，故 正确； 易知两直线的斜率都存在时才能有垂直关系，所以 ，即得 ，故 正确； 因为
6、， ，且函数在区间 上是连续不断的，所以函数 在区间 上存在零点，故 正确； 因为向量 与向量 ，当 时， 和 同向，所以 错； 故正确的命题有： 考点：命题的真假判断 . 执行右图所示的程序框图，若输入 ，则输出 y的值为 . 答案： 试题分析：经过第一循环得到 经过第二循环得到 经过第三循环得到 经过第四循环得到 经过第五循环得到 ，此时循环结束，输出 ， 故答案：为 考点：程序框图的识别 . 某长方体的对角线长是 4，有一条棱长为 1，那么该长方体的最大体积为 . 答案： 试题分析：设长方体的三个棱长分别为 ， ， 1，则 ，即， 该长方体的体积为 ，当且仅当 时取等号， 所以该长方体的
7、最大体积为 故答案：为 考点：基本不等式 . 已知 x， y的值如下表所示： x 2 3 4 y 5 4 6 如果 y与 x呈线性相关且回归直线方程为 ，那么 b= . 答案： .5 试题分析： 因为 y与 x呈线性相关且回归直线方程为 ，所以 即 ，解得 故答案：为 0.5. 考点：线性回归方程 . 抛物线 的焦点坐标为 . 答案： 试题分析：抛物线 可化为 ，焦点在 轴上 ， 抛物线 的焦点坐标为 故答案：为 考点：抛物线的几何性质 . 解答题 已知 ， ，若 ，求： （ 1） 的最小正周期及对称轴方程 . （ 2） 的单调递增区间 . （ 3）当 时，函数 的值域 . 答案：（ 1） ，
8、 ；（ 2） ；（ 3）. 试题分析：由向量运算得 ，降幂得最后使用辅助角公式得 . （ 1）由周期公式及正弦函数的性质即可求得函数 的最小正周期和对称轴方程； （ 2）由正弦函数的性质即可求出函数 的单调增区间； （ 3）令 ，所以原式化为 ，然后利用 的有界性即可求出函数 在区间 的值域 . 试题： ， ， 所以函数 的最小正周期为 ， 令 ，解得 ，所以函数 对称轴方程为 （ 2）因为 ，所以函数 的单调增区间为函数的单调减区间，令 ，即得，所以函数 的单调增区间为（ 3）令 ，所以原式化为 ， 当 ，所以 ，即得 ， 所以函数 在区间 的值域为 . 考点：平面向量数量积的运算；正弦函数
9、的定义域和值域；正弦函数的单调性 . 如图，四棱锥 P-ABCD的底面是正方形， PD 面 ABCD， E是 PD上一点 . （ 1）求证： AC BE. （ 2）若 PD=AD=1，且 的余弦值为 ，求三棱锥 E-PBC的体积 . 答案：（ 1）证明见；（ 2） . 试题分析：（ 1）连接 ，易证 ，又 面 ，得 ，所以 面 ，故 得证； （ 2）设 ，则 又 ，因为，在 中，由余弦定理解得 ，即 为 中点，所以，易求出三棱锥 的体积，进而求出三棱锥 E-PBC的体积 . 试题：（ 1）连接 ，因为 是正方形，所以 ， 又 面 ，得 ， 又 面 ， 面 ， ，所以 面 ， 因为 面 ，故 得
10、证； （ 2）设 ，则 又 中，由余弦定理求得： ，即 为 中点，所以 所以 考点：直线与平面垂直的性质；空间几何体的体积 . 某省对省内养殖场 “瘦肉精 ”使用情况进行检查，在全省的养殖场随机抽取M个养殖场的猪作为样本，得到 M个养殖场 “瘦肉精 ”检测阳性猪的头数，根据此数据作出了频率分布表和频率分布直方图如下： 分组 频数 频率 10 0.25 24 n m P 2 0.05 合计 M 1 （ 1）求出表中 M， P以及图中 a的值 . （ 2）若该省有这样规模的养殖场 240个，试估计该省 “瘦肉精 ”检测呈阳性的猪的头数在区间 内的养殖场的个数 . （ 3）在所取样本中，出现 “瘦肉
11、精 ”呈阳性猪的头数不少于 20头的养殖场中任选 2个，求至多一个养殖场出现 “瘦肉精 ”阳性猪头数在区间 内的概率 . 答案：（ 1） ；（ 2） 60；（ 3） . 试题分析：（ 1）由频率等于频数除以样本容量，结合表格中的数据即可求出的值； （ 2）由样本去估算总体，养殖场有 240个，分组 10， 15内的频率是 0.25，所以估计全省在此区间内养殖场的个数为 个 （ 3）通过列举法即可求出至多一个养殖场出现 “瘦肉精 ”阳 性猪头数在区间内的概率 . 试题：（ 1）由 知： （ 2） 养殖场有 240个，分组 10， 15内的频率是 0.25 估计全省在此区间内养殖场的个数为 个 （
12、 3）设在区间 内的养殖场为 ，在区间 内的为 任选 2个养殖场共 （ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ） （ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）共 15种情况，而两个养殖场都在区间 内只有一种 故所求概率 考点：古典概型及其计算公式；频率分布直方图 . 设函数 （ 1）若函数 在 处取得极值 -2，求 a， b的值 . （ 2）若函数 在区间（ -1， 1）内单调递增，求 b的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）由题知 ，函数 在 处取得极值 -2，所以 ，解方程即可求出 的值； （ 2）函数 在区间 内单调递增，即 在区间 恒成立，因为 ，所以 即 在区
13、间 恒成立，所以 ，进而求出 的取值范围 . 试题：（ 1）由题知 因为函数 在 处取得极值 -2，所以 即 （ 2）函数 在区间 内单调递增，即 在区间 恒成立， 因为 ， ，所以 即 在区间 恒成立，所以， 因为 ，所以 所以 的取值范围为 考点：函数的极值；函数的单调性 . 已知数列 的前 n项和为 ，且满足 各项为正数的数列中，对一切 ，有 ，且 ， ，. （ 1）求数列 和 的通项公式 . （ 2）设数列 的前 n项和为 ，求 . 答案：（ 1） ， ；（ 2） . 试题分析：（ 1）由 ，即可判断出数列 是等比数列，继而求出数列 的通项公式； 又对一切 ，则当 时，两式相减得 ，则
14、，此两项相减得 ，所以数列 为等差数列，由 ， 求出公差，继而求出数列 的通项公式； （ 2）由（ 1）知数列 的通项公式，使用错位相减法即可求出 . 试题：（ 1） 时 当 时， 是以 ， 的等比数列 通项公式为： 即： 又对一切 当 时 得 化简为 用 换上式中 n得： 两式相减整理得： 即 数列 为等差数列（当 时） 又 数列 （ 成等差数列） （ 2）由（ 1）得 ，由 有： 所以 两式相减 化简 考点：等差数列及等比数列的判定及其通项公式；数列求和 . 在平面直线坐标系 XOY中，给定两点 A（ 1， 0）， B（ 0， -2），点 C满足，其中 ，且 . （ 1）求点 C的轨迹方程
15、 . （ 2）设点 C的轨迹与双曲线 （ ）相交于 M， N两点，且以 MN为直径的圆经过原点，求证： 是定值 . （ 3）在（ 2）条件下，若双曲线的离心率不大于 ，求该双曲线实轴的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2）证明见；（ 3） . 试题分析：（ 1）由向量等式运算，得点 的坐标，消去参数即得点 的轨迹方程； （ 2）将直线方程与双曲线方程组成方程组，利用方程思想，求出 ，再结合向量的垂直关系得到关于 的关系，化简即可证明 是定值； （ 3）由（ 2）得 ，整理得 ，又 ，得，解得双曲线实轴长 的取值范围 . 试题：（ 1）设 ，由 则 （ 2） ， 设 M（ ） N（ ）则 ， 即 韦达定理代入化简得 （定值） （ 3） 又 代入得 该双曲线实轴的取值范围为 考点：轨迹方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题 .
