1、2013届河北省衡水中学高三第三次模拟考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若集合 ，那么 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为 ， ，所以 考点：集合的运算。 点评：一般地，对于给定的两个集合 A 和集合 B 的交集是指含有所有既属于 A 又属于 B 的元素，而没有其他元素的集合。 若双曲线 与椭圆 （ mb0 ）的离心率之积大于 1，则以 为边长的三角形一定是（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D钝角三角形 答案： D 试题分析：双曲线 的离心率 ，椭圆（ mb0 ）的离心率 ，由题意得，化为 ，所以三角形为钝角三角形。 考点：双曲线、椭圆的性质；余弦定理。
2、 点评：在三角形中， a、 b、 c是它的三边长度，则当 时，三角形为钝角三角形；当 时，三角形为锐角三角形；当 时，三角形为直角三角形。 如图， 的外接圆的圆心为 , , 则 等于（ ） A B C 2 D 3 答案： B 试题分析：连结 、 ，则外接圆的半径 。在 中，由余弦定理得， ，解得 ，则在 中， 。由余弦定理得，解得 。又在 中， ，所以。 考点：余弦定理：向量的数量积及其运算。 点评：本题的入手是将 化为 ，即设法将未知量化为已知量。 如图，在直角梯形 ABCD中， ， 动点 P在以点 C为圆心，且与直线 BD相切的圆内运动，设 ，则 +的取值范围是 （ ） A B C D 答
3、案： D 试题分析：以 A为原点， AB为 x轴， AD为 y轴建立直角坐标系。则 A（ 0，0）， D（ 0， 1）， B（ 3， 0）， C（ 1， 1）。过 B、 D两点的直线的方程为 ，点 C到直线的距离 ，则圆的方程为。由 得，则 。因为点 在园内，所以，可解得 。 考点：直线的方程；点到直线的距离；圆的方程；向量的坐标运算。 点评：本题是一道综合题，难道较大。后面 +的取值范围可结合椭圆与目标函数 来求。 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：几何体是一个立方体挖掉一个倒置的圆锥的图形，所以其体积就为：。 考点：柱体、椎体的体积；三视图
4、。 点评：本题是基础题，关键是把三视图还原成几何体。 已知 满足 ，若 的最大值为 ，最小值为，则 a的范围为 （ ） A B C D 或 答案： C 试题分析：求出三条直线 每两条的交点 、 和 ，将三交点代入 得三个 z值： 、 和 ，则其中有一个是最大值和一个最小值，又因为最大值为 ，最小值为 ，所以，解得 。 考点：线性规划。 点评：线性规划一般作为选择题和填空题，因而可用特殊法。大家用常规方法求这类题目会发现，目标函数取得最值一定是在交点处，所以本题先将不等式变成直线，求出交点，再代入目标函数，得到的值就有最大者跟最小值。 平面 与球 O相交于周长为 的 ,A、 B为 上两点，若 A
5、OB=，且 A、 B的球面距离为 ，则 的长度为（ ） A.1 B. C. D.2 答案： A 试题分析：令球的半径为 R，则其过球心的截面（圆）的周长为 ，又因为A、 B两点的球面距离为 ，且 AOB= ，所以可得 ，解得。又由题意得， 的半径为 ，所以由勾股定理得， 的长度为 。 考点：球面距离。 点评：立体几何空间想象能力要求较高。 若 ,且 ，则实数 m的值为（ ） A 1 B -1 C -3 D 1或 -3 答案： D 试题分析：令 ，由 得 ，再令 ，由 得 ，又，则 ，解得 或 -3. 考点：二项式展开式 点评：此类题目取特殊值是关键。 已知直线 和直线 ，抛物线 上一动点 到直
6、线 和直线 的距离之和的最小值是 （ ） A 2 B 3 CD 答案： A 试题分析：抛物线 的准线为直线 ，因而抛物线上动点 到直线的距离等于该点到抛物线焦点的距离，则抛物线上动点 到直线 和直线 的距离之和等于该点到直线 和焦点的距离之和，而该点到直线 和焦点的距离之和的最小值就是抛物线焦点 到直线 的距离。 考点：抛物线的性质；点到直线的距离。 点评：本题抓住抛物线的特点是关键。 已知 为偶函数，则 可以取的一个值为（ ） A B C - D - 答案： D 试题分析：函数 ，当 时，这时满足 ，是偶函数。 考点：三角恒等变换；偶函数。 点评：本题应用公式： ，其中， 。 若 为等差数列
7、 的前 n项和， ， ，则 与 的等比中项为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：在等差数列中， ，解得 ， ，则 与 的等比中项为 。 考点：等比中项；等差数列的性质。 点评：本题应用等差数列的性质： 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查 20000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图，为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，按月收入用分层抽样方法抽样，若从月收入 （元）段中抽取了 30人，则在这 20000人中共抽取的人数为（ ） A 200 B 20000 C 100 D 40 答案： A 试题分析：月收入在 （元）中的频率是 ，又从月收入 （元）段中抽取了 3
8、0人，则在这 20000人中共抽取的人数为 。 考点：分层抽样。 点评：本题是基础题目，关键要会看频率分布直方图。 填空题 如图，在矩形 中， 为 中点，抛物线的一部分在矩形内， 点 为抛物线顶点，点 在抛物线上，在矩形内随机地放一点，则此点落在阴影部分的概率为 . 答案： /3 试题分析：以 O为原点， AC所在直线为 y 轴，其垂直平分线为 x轴建立直角坐标系，则 。令抛物线的方程为 ，因其过点 ，点代入方程可得抛物线的方程为 。取 x 轴上方的图形，抛物线可化为 ，则 x轴上方抛物线与 x轴形成图形的面积为 ，所以此点落在阴影部分的概率为 。 考点：定积分；微积分基本定理。 点评：求定积
9、分需注意，式子是方程的，必须化为函数。 执行右边的程序框图，输出的 T= . 答案： 试题分析： S=0,T=0,n=0。 TS（否）， S=S+5=5， n=n+2=2， T=T+n=2。 TS（否）， S=S+5=10， n=n+2=4， T=T+n=6。 TS（否）， S=S+5=15，n=n+2=6， T=T+n=12。 TS（否）， S=S+5=20， n=n+2=8， T=T+n=20。 TS（否）， S=S+5=25， n=n+2=10， T=T+n=30。这时 TS，输出 T=30。 考点：程序框图。 点评：常考题，方法是一步步写，有时要找出规律。 如果随机变量 ,且 则 .
10、答案： .1 试题分析：由随机变量 知，总体密度曲线关于 对称，所以， 。 考点：正态曲线。 点评：随机变量 中， 表示正态曲线的对称轴。 现将 10 个扶贫款的名额分配给某乡镇不同的四个村，要求一个村 1 个名额，一个村 2个名额，一个村 3个名额，一个村 4个名额，则不同的分配方案种数为 . 答案： 试题分析：将 10个扶贫款的名额分成四份，四份的名额依次是 1个、 2个、 3个和 4个，则组合数是 。 考点：排列和组合。 点评：本题注意不要再将四份进行全排列，因为每个村的名额是确定的。 解答题 （本小题满分 10分） 已知向量：，函数，若 相邻两对称轴间的距离为 （ ）求 的值，并求 的
11、最大值及相应 x的集合； （ ）在 ABC中， 分别是 A， B， C所对的边， ABC的面积，求边 的长。 答案：（ ） ， 有最大值为 2， （ ）试题分析：解：（ ） 3 分 又题意可得 4 分 当 =1时， 有最大值为 2， 6 分 （ ） 7 分 8 分 9 分 由余弦定理得： a2=16+25-245cos =21 12 分 考点：向量数量积的坐标运算；三角恒等变换；正弦函数的最值；三角形的面积及余弦定理。 点评：本题是基础题，按照题意一步步可得结果。 （本小题满分 12分）设数列 的前 项和为 已知 ， （ ）设 ，求数列 的通项公式； （ ）若 ， ，求 的取值范围 答案：（
12、） ， （ ） 的取值范围是试题分析：解：（ ）依题意， ，即 ， 由此得 因此，所求通项公式为 ， 4 分 （ ）由 知 ， ， 于是，当 时， ， 6 分 ， 当 时， 8 分 又 综上，所求的 的取值范围是 10 分 考点：等比数列的通项公式；最值。 点评：本题第一小题要应用到一般结论： 。 （本小题满分 12分）盒子里装有 6件包装完全相同的产品，已知其中有 2件次品，其余 4件是合格品。为了找到 2件次品，只好将盒子里的这些产品包装随机打开检查，直到两件次品被全部检查或推断出来为止。记 表示将两件次品被全部检查或推断出来所需检查次数。 （ I）求两件次品被全部检查或推断出来所需检查次
13、数恰为 4次的概率； （ II）求 的分布列和数学期望。 答案：（ I）所求概率为 （ II）分布列如表： 2 3 4 5 P 试题分析：解：（ 1）检查次数为 4次包含两类情况： 前 3次检查中有一个次品，第 4次检查出次品，其概率为 -2分 前 4次检查全部是合格品，余下两件必是次品，其概率为 ， -2分 所以所求概率为 ,-5分 (2) 的可能取值为 2,3,4,5-6分 (一个 1分 )-10分 分布列如表： 2 3 4 5 P 所以 -12分 考点：古典概型的概率； 的分布列和数学期望。 点评：本题需要跟随机变量服从二项分布相区分。要看随机变量是否服从二项分布，关键看是否是重复独立试
14、验。 （本小题满分 12分） 在四棱锥 中， ， ， 平面 ， 为 的中点， ( )求四棱锥 的体积 ； ( )若 为 的中点，求证：平面 平面 ； ( )求二面角 的大小。 答案： ( ) ( )关键证明 平面 ( ) 试题分析：解：（ ）在 中， ， ， ，1 分 在 中， ， ， ， 2 分 3 分 则 4 分 （ ） 平面 ， 5 分 又 ， ， 平面 6 分 、 分别为 、 中点， 平面 7 分 平面 ， 平面 平面 8 分 （ ）取 的中点 ，连结 ，则 ， 平面 ，过 作 于 ， 连接 ，则 为二面角 的平面角。 10 分 为 的中点， ， ， ，又 ， ， 故 即二面角 的大小
15、为 12 分。 考点：锥体的体积；直线与平面、平面与平面垂直的判定定理；平面角的二面角。 点评：对于比较规则的几何体，建立空间直角坐标系对解决问题有很好帮助，特别是求二面角。 （本小题满分 12分）已知点 F是抛物线 C： 的焦点， S是抛物线 C在第一象限内的点，且 |SF|= . （ ）求点 S的坐标； （ ）以 S为圆心的动圆与 轴分别交于两点 A、 B，延长 SA、 SB分别交抛物线 C于 M、 N两点； 判断直线 MN的斜率是否为定值，并说明理由； 延长 NM交 轴于点 E，若 |EM|= |NE|，求 cos MSN的值 . 答案：（ ） (1,1)（ ） 试题分析：解：（ 1）设
16、 ( 0)，由已知得 F ，则 |SF|=， =1， 点 S的坐标是 (1,1)-2分 （ 2） 设直线 SA的方程为 由 得 ， 。 由已知 SA=SB， 直线 SB的斜率为 ， ， -7分 设 E(t,0)， |EM|= |NE|， ， ，则 -8分 直线 SA的方程为 ，则 ，同理 -12分 考点：抛物线的性质；直线的斜率公式； 向量的坐标运算；余弦定理。 点评：本题第一小题用了抛物线的性质，这样使问题简化，当然，也可以由两点距离公式来求。第二小题关键要从题意找出直线 SA与 SB的关系。 （本小题满分 12分） 已知函数 在 处有极值 （ ）求实数 值； （ ）求函数 的单调区间； （ ）试问是否存在实数 ，使得不等式 对任意及 恒成立？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由 . 答案：（ ） （ ） 的单调减区间为 ， 的单调减区间为 （ ）存在 ，使得不等式 对任意 及 恒成立 试题分析：解：解：（ ）因为 ， 所以 2 分 由 ，可得 ， 经检验 时，函数 在 处取得极值， 所以 4 分 （ ） ， 6 分 而函数 的定义域为 ， 当 变化时， ， 的变化情况如下表： - 0 极小值 由表可知， 的单调减区间为 ， 的单调减区间为 9 分 (3) ， 时， 10分 不等式 对任意 及 恒成立，即 ， 即 对 恒成立，
