1、2014届广东省仲元中学、中山一中等六校高三第一次联考文数学卷（带解析） 选择题 已知全集 ，集合 ， ，那么（ ） A B C D 答案： D 试题分析： ， ， ，故选 D. 考点： 1.集合的基本运算； 2.一元二次不等式的解法 椭圆 的左右焦点分别为 、 ，点 是椭圆上任意一点，则的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由椭圆定义知， ，且椭圆 的长轴长为 ，焦距为 ，所以 ， 令 ，则 ，令 ，由二次函数的性质可知，函数 在 处取得最大值，即，函数 在 或 处取得最小值，由于，故 ，即 的取值范围是 ，故选 D. 考点： 1.椭圆的定义； 2.二次函数的最值 若下边
2、的程序框图输出的 是 ，则条件 可为 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：第一次循环， ， ；第二次循环， ； 第三次循环， ， ；第四次循环， ，； 第五次循环， ， ；第六次循环， ，此时跳出循环体，故条件 可为 ，故选 B. 考点：算法与程序框图 在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 ，则 （ ） A B C D 答案： B 试题分析： ，所以 ，由余弦定理得， ， ，故选 B. 考点： 1.边角互化； 2.余弦定理 已知数列 的前 项和 ，则 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：由于 ， ，且，所以 ，故选 C. 考点： 1。等差数列的前 项和； 2.等
3、差数列的性质 设变量 、 满足约束条件： ，则 的最小值为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：作不等式组 所表示的可行域如下图所示，作直线，则 为直线 在 轴上的截距，联立 与 ，解得 ， ，即点 ，当直线 经过可行域内上的点 时，直线 在 轴上的截距最小，此时 取最小值，即 ，故选 C. 考点：简单的线性规划问题 下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：由三视图知，该几何体是由一个球体和一个圆柱体拼接而成，由题中的数据知，该几何体的体积为 ，故选 B. 考点： 1.三视图； 2.球体与圆柱的体积 已知 是虚数单位，
4、则复数 的虚部为 （ ） A B C D 答案： D 试题分析： ，故复数 的虚部为 ，故选 D. 考点： 1.复数的四则运算； 2.复数的概念 已知命题 ， ，那么 是（ ） A ， B ， C ， D ， 答案： A 试题分析：由特称命题的否定知命题 “ ， ”的否定为“ ， ”，故选 A. 考点：特称命题的否定 函数 是 （ ） A最小正周期为 的偶函数 B最小正周期为 的奇函数 C最小正周期为 的偶函数 D最小正周期为 的奇函数 答案： A 试题分析： ， ，故函数是最小正周期为 的偶函数，故选 A. 考点： 1.诱导公式； 2.三角函数的周期性； 3.三角函数的奇偶性 填空题 （几何
5、证明选讲选做题）如右图，从圆 外一点 引圆的切线 和割线，已知 ， ，圆 的半径为 3，则圆心 到直线 的距离为 . 答案： . 试题分析：由切割线定理得 ， 故点 到直线 的距离 . 考点： 1.切割线定理； 2.勾股定理 （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，设曲线 与的交点分别为 、 ，则线段 的垂直平分线的极坐标方程为 . 答案： 或 . 试题分析：将曲线 的方程化为标准式方程得 ，同理可得曲线的标准方程为 ，于是点 ， ，直线 的方程为 ，由于圆 与圆交于 、 两点，由圆的对称性知，线段 的垂直平分线为直线 ，故线段 的垂直平分线的极坐标方程为 或 . 考点： 1.极坐标方程与直角
6、坐标方程的转化； 2.圆与圆的位置关系 已知函数 ，则 . 答案： . 试题分析： ，所以 . 考点： 1.分段函数； 2.三角函数求值 若直线 与幂函数 的图象相切于点 ，则直线 的方程为 . 答案： 或 . 试题分析：由题意知，点 在曲线 上，则有 ，故幂函数的式为 ， ，故当 时， ，故直线 的方程为 ，即或 . 考点： 1.幂函数的式； 2.利用导数求切线方程 设平面向量 ， ，则 . 答案： . 试题分析： ， ， ，. 考点： 1.平面向量的坐标运算； 2.平面向量的模的计算 解答题 已知平面直角坐标系上的三点 ， ， ，为坐标原点，向量 与向量 共线 （ 1）求 的值； （ 2）
7、求 的值 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）法一是利用两平面向量共线的基本定理得到坐标之间的关系，进而利用弦化切的方法求出 的值；法二是利用平面向量共线的基本定理结合坐标运算得到向量 与 的坐标之间的关系，然后利用除法求出 的值；（ 2）利用（ 1）中 以 及同角三角函数中的商数关系和平方关系并结合角 的范围列方程组求出 和 的值，进而求出 和 的值，最终再利用两角差的正弦公式求出 的值 . 试题：法 1：由题意得： ， ， 2分 ， ， 5分 法 2：由题意得： ， ， 2分 ， ， ， 5分 （ 2） ， ， ， 6分 由 ，解得 ， ， 8分 ； 9分 ； 10分 12分
8、 考点： 1.平面向量的坐标运算； 2.同角三角函数的基本关系； 3.二倍角； 4.两角差的正弦公式 某小组共有 、 、 、 、 五位同学，他们的身高（单位 :米）以及体重指 标（单位 :千克 /米 2）如下表所示： 身高 体重指标 （ 1）从该小组身高低于 的同学中任选 人，求选到的 人身高都在 以下的概率； （ 2）从该小组同学中任选 人，求选到的 人的身高都在 以上且体重指标都在 中的概率 答案：（ 1）选到的 人身高都在 以下的概率为 ； （ 2）选到的 人的身高都在 以上且体重指标都在 中的概率为 . 如图 ,在底面为平行四边形的四棱柱 中， 底面 ， ， . （ 1）求证 :平面
9、平面 ； （ 2）若 ，求四棱锥 的体积 答案：（ 1）详见；（ 2）四棱锥 的体积为 . 试题分析：（ 1）要证平面 平面 ，只需要证明 平面，先利用余弦定理求出 ，再由勾股定理得到 ，结合平面 可得到 ，由这两个条件可以证明 平面 ，最终利用平面与平面垂直的判定定理可以证明平面 平面 ； （ 2）先由已知条件结合（ 1）中的数据得到 的长度，先由（ 1）中的结论平面 得出四边形 为矩形，从而可以计算出矩形 的面积，然后取 的中点，连接 ，利用（ 1）中的结论结合平面与平面垂直的性质定理得到 平面 ，并计算出 的长度，最终利 用锥体体积公式计算出四棱锥 的体积；解法二是将四棱锥 分解为两个三
10、棱锥 和三棱锥 ，利用两个三棱锥等底同高得到两个三棱锥的体积相等，从而得到 ，在计算三棱锥 的体积时，利用等体积法计算三棱锥 的体积，此时 为高， 为底，从而计算出三棱锥 的体积，最终得到四棱锥 的体积 . 试题：（ 1）证明： 在 中，由余弦定理得：， 所以 ，所以 ，即 ， 3分 又四边形 为平行四边形，所以 ， 又 底面 ， 底面 ，所以 ， 4分 又 ，所以 平面 ， 5分 又 平面 ，所以平面 平面 6分 （ 2）法一：连结 ， ， 平面 ，所以 ， 8分 所以四边形 的面积 ， 10分 取 的中点 ，连结 ，则 ，且 ， 又平面 平面 ， 设 是各项都为正数的等比数列， 是等差数列
11、，且 ， . （ 1）求数列 ， 的通项公式； （ 2）设数列 的前 项和为 ，求数列 的前 项和 . 答案：（ 1） ， ；（ 2） . 试题分析：（ 1）在 已知的条件下，利用等比数列 的公比 和等差数列 的公差 构建二元方程组，求解出 和 ，然后再利用等差数列和等比数列的通项公式得到数列 和 的通项公式； （ 2）先利用等比数列的求和公式求出数列 的前 项和 ，从而得到数列 的通项公式 ，从而利用分组求和法分别求出数列 的前 项和和数列 的前 项和，再将两个前 项和相减，在求数列 的前 项和时，利用错位相减法，求数列 的前 项和时，直接利用等差数列的求和公式即可 . 试题：（ 1）设数列
12、 的公比为 ，数列 的公差为 ， 依题意得： ， 2分 消去 得 ， 3分 ，由 可解得 4分 5分 （ 2）由（ 1）得 ，所以有： 7分 令 则 - 得： 10分 12分 又 ， 13分 14分 考点： 1.等差数列与等比数列的通项公式； 2.等比数列与等差数列求和； 3.错位相减法； 4.分组求和法 已知抛物线 与双曲线 有公共焦点 ，点 是曲线 在第一象限的交点，且 （ 1）求双曲线 的方程； （ 2）以双曲线 的另一焦点 为圆心的圆 与直线 相切，圆.过点 作互相垂直且分别与圆 、圆 相交的直线和 ，设 被圆 截得的弦长为 ， 被圆 截得的弦长为 ，问： 是否为定值？如果是，请求出这
13、个定值；如果不是，请说明理由 答案：（ 1）双曲线 的方程为 ；（ 2） 是定值，且 . 试题分析：（ 1）先利用抛物线的定义求出点 的横坐标，然后将点 的横坐标代入抛物线的方程并结合点 所在的象限得到点 的坐标，先计算出 的长度，然后利用双曲线的定义计算出 的值，由 确定 的值，从而得到双曲线 的方程；（ 2）对直线 的斜率存在与否分两种情况讨论，对直线的斜率不存在时进行验证，在直线 的斜率存在时，先假设直线 的方程，然后根据直线 与 的位置关系得到直线 的方程，并求出圆心到两直线的距离，根据圆的半径长、直线截圆的弦长和圆心距三者之间的关系求出两直线截圆 的弦长 、 ，并进行验证 是否为定值
14、 . 试题：（ 1） 抛物线 的焦点为 ， 双曲线 的焦点为 、 ， 1分 设 在抛物线 上，且 ， 由抛物线的定义得， ， ， ， ， 3分 ， 4分 又 点 在双曲线 上，由双曲线定义得： ， ， 双曲线 的方程为： 6分 （ 2） 为定值下面给出说明 设圆 的方程为： ， 圆 与直线 相切， 圆 的半径为 ，故圆 ： 7分 显然当直线 的斜率不存在时不符合题意， 8分 设 的方程为 ，即 ， 设 的方程为 ，即 ， 点 到直线 的距离为 ， 点 到直线 的距离为 ， 10分 直线 被圆 截得的弦长 ， &n 已知 为函数 图象上一点， 为坐标原点，记直线 的斜率 （ 1）若函数 在区间
15、上存在极值，求实数 的取值范围； （ 2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围； （ 3）求证： 答案：（ 1）实数 的取值范围是 ；（ 2）实数 的取值范围是 ；（ 3）详见 . 试题分析：（ 1）先利用导数求出函数 的式，并利用导数求出函数 的极值点，并将极值点限制在区间 内，得出有关 的不等式，求解出实数 的取值范围；（ 2）利用参数分离法将问题 在区间上恒成立转化为不等式 在区间 上恒成立，构造新函数 ，从而将问题转化为 ，借助导数求函数 的最小值，从而得到实数 的取值范围；（ 3）取 ，由（ 2）中的结论 ，即 在 上恒成立，从而得到在 上恒成立，令 ，代入上述不等式得到 ，结合累加法即可证明不等式. 试题：（ 1）由题意 ， 1分 所以 2分 当 时， ；当 时， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 故 在 处取得极大值 3分 因为函数 在区间 （其中 ）上存在极值， 所以 ，得 即实数 的取值范围是 4分 （ 2）由 得 ，令 ， 则 6分 令 ，则 ， 因为 所以 ,故 在 上单调递增 7分 所以 ,从而 在 上单调递增 , 所以实数 的取值范围是 9分 （ 3）由 (2) 知 恒成立 , 即 11分 令 则 ， 12分 所以 ，
