1、第 1 页 共 9 页2018 年全国卷数学模拟试题（一）文科数学试题本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷第 1 至第 12 题，第卷第 13 至第 23 题。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。注意事项 : 1、 答卷前， 先将自己的姓名、 准考证号填写在试题卷和答题卡上， 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4、选考题
2、的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。第 卷 选择题（共 60 分）一、选择题 （ 5 12 60 分 ， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）1设集合 * 2 | 2 0A x N x x ， 2 3B ， ，则 A B （ ）A. 1,2 B. 13， C. 1,2,3 D. 1,0,1,2,32.已知 5)21( zi （ i 为虚数单位） ，则复数 z 的虚部为（ ）A. 2i B. 1 C. 2 D.
3、2 3. 已知命题：命题 : 1p x ；命题 :q x a ，且 p 是 q 的必要不充分条件，则 a 的取值范围（ ）A. 2a B. 2a C. a D. 0a4已知 1sin3 3，则 cos6的值是（ ）A. 13 B. 13C. 2 23D. 2 235. 若变量 ,x y 满足约束条件211y xx yx,则 1yx 的最大值是（ ）A 1 B 0 C 2 D 126. 运行如图所示的程序框图，是开始结束输入 x1i i否输出 x2017i11x xi =1 第 2 页 共 9 页当输入 12x 时，输出的 x 为（ ）A 2 B 2 C 1 D 127. 设 0.60.3a ，
4、 0.60.5b ，3log 4c , 则 ( ) A b a c B a b cC c b a D c b a8. 函数图像 sinlnxyx 大致图像为（ ）9把函数 2 2sin cos6 6y x x的图像向右平移 ( 0) 个单位就得到了一个奇函数的图像，则 的最小值是（ ）A. 12B. 6C. 3D. 51210.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的的外接球的体积是（ ）A. 14 B. 28 C. 7 143 D. 7 146 学 _科 _网 Z_11. 在 ABC 中， 角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ， 且 2
5、 2 2b a bc ， 23A ， 则角 C 等于 ( ) A.6B. 4或 34C. 34D.4O y x -1 1B O y x -1 1 A y O x -1 1 C y O x -1 1 D 第 3 页 共 9 页12. 已知函数 ( ) ln sinf x x a x 在区间 ,6 4上是单调增函数，则实数 a 的取值范围为( )A 4 3( , B 4 2( , C 4 2 4 3 , D 4 2 , )第 卷 非选择题（共 90 分）二、填空题 : 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 将答案填写在答题卡的横线上 .13. 已知 | | 2a ， | | 1b
6、， a 与 b 的夹角为 3 ，则 | 2 |a b =_14. 若数列 na 为等差数列， nS 为其前 n 项和，且 1 52 1a a ，则 17S _ 15 在如图所示的三棱锥 P ABC 中， ， PA 底面 ABC ， AB AC ，D 是 PC 的中点 AB 2， AC 2 3 ， PA 2. 则异面直线 PB与 AD 所成角的余弦值为 _16若函数22 2log 14 8af x x a x a a ( 0a ，且 1)a 在实数 R 上有三个不同的零点，则实数 a _三、解答题： 本大题共 6 小题，满分 70 分 . 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17. （本小题满
7、分 12 分） ABCV 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知3 cos sin 3b C b C a . （）求角 B 的大小；（）若 3b ，求 ABC 的面积的最大值 . 18. （本小题满分 12 分）已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且对任意正整数 n ，都有4 3 2n na S 成立记 2logn nb a （）求数列 na 和 nb 的通项公式；（）设14( 1) ( 3)n n nc b b ，数列 nc 的前 n 项和为 nT ，求证：1 33 4nT DPACB第 4 页 共 9 页19 （本小题满分 12 分）已知函数 3( )
8、( 3 6)( )xf x e ax x a R （ e为自然对数的底数）（）若函数 ( )f x 的图像在 1x 处的切线与直线 0x y 垂直，求 a 的值；（）对 (0, 4x 总有 ( )f x 0 成立，求实数 a 的取值范围20 （本小题满分 12 分）如图，菱形 ABCD 与等边 PAD 所在的平面相互垂直，2, 60AD DAB ，点 E， F 分别为 PC 和 AB 的中点 （）求证： EF平面 PAD （）证明： AD PB；（）求三棱锥 P FDE 的体积 来源 学科网 ZXXK 21 （本小题满分 12 分）已知 ( ) ( )xf x e ax a R （ e为自然对
9、数的底数） （）讨论 ( )f x 的单调性；（）若 ( )f x 有两个零点 1 2,x x ，（ 1） 求 a的取值范围；（ 2）在（ 1）的条件下，求证： 1 2 2lnx x a 请考生在第 22、 23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请涂写清题号。22（本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中， 直线 l 的参数方程为1232x a ty t(t a为参数 , 为常数 ） 以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 24cossin 来源 :学 .科 .网 （）写出 l 的普通方程和
10、 C 的直角坐标方程；（）设直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点，当 8 7=3AB 时，求 a 的值23. （本小题满分 10 分）选修 4 5 ：不等式选讲已知函数 ( ) 2 2 3f x x a x ， ( ) 1 3g x x（）解不等式： ( ) 2g x ；（） 若对任意的 1x R ， 都有 2x R， 使得 1 2( ) ( )f x g x 成立， 求实数 a 的取值范围 . EFDCABP第 5 页 共 9 页文科数学试题参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D B A A D A B D C A B12. 令 1(
11、) cos 0f x a xx ， ,6 4x， 1cosa x x 在 ,6 4上恒成立，设 1( )cosh x x x ，则 2cos sin( )( cos )x x xh xx x ，再令 ( ) cos sinp x x x x ，则 ( ) 2sin cosp x x x x ， ( ) 0p x 在 ,6 4上恒成立， ( )p x 在 ,6 4上为增函数， 2 2 2( ) ( ) ( 1) 04 2 4 2 2 4p x p ( ) 0h x 在 ,6 4上恒成立， ( )h x 在 ,6 4上减函数， 1 4 2( )4 24 2a h二、填空题 :13. 2 3 14.
12、 17 15. 2416. 4三、解答题：17. 【解析】 （） 3 cos sin 3b C b C a ，由正弦定理得， 3sin cos sin sinB C B C 3sin A . , 2 分 A B C ， 3sin cos sin sinB C B C 3sin B C . 即 3sin cos sin sinB C B C 3sin cos 3cos sinB C B C . , 4 分第 6 页 共 9 页sin sinB C 3 cos sinB C sin 0C ， sin 3cosB B . cos 0B ， tan 3B . 0,B ，3B . , 6 分（） 3b
13、，3B ，由余弦定理得：2 2 2 2 2 12 cos 2 22b a c ac B a c ac ac ac ac ，3ac ，当且仅当 a c 时取“ =” , 9 分 1 1 3 3 3sin 32 2 2 4ABCS ac b .即ABC 的面积的最大值为 3 34 ., 12 分18. 【解析】 （）在 4 3 2n na S 中，令 1n 得 1 2a ., 1 分因为对任意正整数 n，都有 4 3 2n na S 成立， 2n 时， 1 14 3 2n na S ，两式作差得， 14 4 3n n na a a ，所以 14n na a ， , 4 分又 1 0a ，所以数列
14、na 是以 1 2a 为首项， 4 为公比的等比数列，即 12 4nna ，, 5 分 2 12 2log log 2 2 1nn nb a n , 6 分（） 2 1nb n ，14 4 1 1 1 1( 1) ( 3) (2 1 1) (2 1 3) ( 2) 2 2n n nc b b n n n n n n. , 7 分 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 112 3 2 2 4 2 3 5 2 1 1 2 2nT n n n n.1 1 1 112 2 1 2n n3 1 1 14 2 1 2n n, 10 分对任意 *n N ， 34nT , 11 分又 0nc ，
15、所以， nT 为关于 n的增函数，所以 1 1 13nT T c ，综上， 1 33 4nT , 12 分19. 【解析】 （） 3 2 3 2( ) ( 3 6) (3 3) ( 3 3 3)x x xf x e ax x e ax e ax ax x, 2 分 (1) ( 3 ) 4f e a a ea , 3 分第 7 页 共 9 页函数 ( )f x 的图像在 1x 处的切线与直线 0x y 垂直 14 14ea a e , 5 分（） (0, 4x 时 3 3 33 6( ) ( 3 6) 0 3 6 0x xf x e ax x ax x ax , 7 分设 33 6( ) xg
16、xx ， (0, 4x ，3 26 43 (3 6) 3 6 18( ) x x x xg xx x. , 9 分令 ( ) 0g x 得 3x ；令 ( ) 0g x 得 3x (0,3)x 时， ( )g x 为增函数， (3, 4x 时， ( )g x 为减函数， , 11 分 9 6 3( ) (3)8 8g x g 38a , 12 分20. 【解析】 （）取 PD 的中点 G，连结 GE 和 GA，则 12GE CD ， 12AF CD GE AF四边形 AFEG 为平行四边形， GA EF AG 平面 PAD,EF 平面 PAD EF平面 PAD , 4 分（）取 AD 中点 O
17、 ，连结 ,OP OB ，因为 PAD 为等边三角形，所以 PO AD 因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AB AD，又因为 60DAB ，所以 ABD 为等边三角形，所以 BO AD 因为 OP OB O ，所以 AD 平面 PBO ，因为 PB 平面 PBO ，所以 AD PB , 8 分（）连结 FC， PE=EC， 12P FDE C FDE E FDC P FDCV V V V四边形 ABCD 为 菱形，且 2, 60AD DAB ， 23= = 2 = 34DFC DBC DBAS S S平面 PAD 平面 ABCD ，平面 PAD 平面 ABCD AD ， PO 平面 PAD
18、， PO 平面 ABCD ， PO 为三棱锥 P DFC 的高 , 10 分EFDCABPG O 第 8 页 共 9 页 2 2 2 2 2 2 2 22 1 3, 2 1 3PO PA OA BO AB OA ， 1 1= 3 3 13 3P FDC DFCV S PO 1 12 2P FDE P FDCV V, 12 分21. 【解析】 （） ( )f x 的定义域为 R， ( ) xf x e a ， , 1 分（ 1）当 0a 时， ( ) 0f x 在 R上恒成立， ( )f x 在 R上为增函数； , 2 分（ 2）当 0a 时，令 ( ) 0f x 得 lnx a ，令 ( )
19、0f x 得 lnx a ， ( )f x 的递增区间为 (ln , )a ，递减区间为 ( ,ln )a ； , 4 分（） （ 1）由（）知，当 0a 时， ( )f x 在 R上为增函数， ( )f x 不合题意；当 0a 时， ( )f x 的递增区间为 (ln , )a ，递减区间为 ( ,ln )a ，又 (0) 0f e ， 当 x 时 ， ( )f x ， ( )f x 有 两 个 零 点 1 2,x x ， 则m i n( ) ( l n ) l n ( 1 l n ) 0f x f a a a a a a，解得 a e； , 7 分（ 2） 由 （） （ 1） ， 当 a
20、e时， ( )f x 有两个零点 1 2,x x ， 且 ( )f x 在 (ln , )a 上递增， 在( ,ln )a 上递减，依题意， 1 2( ) ( ) 0f x f x ，不妨设 1 2lnx a x 要证 1 2 2lnx x a，即证 1 22lnx a x ，又 1 2lnx a x ，所以 1 22ln lnx a x a ，而 ( )f x 在 ( ,ln )a 上递减，即证 1 2( ) (2ln )f x f a x ， , 9 分又 1 2( ) ( ) 0f x f x ，即证 2 2( ) (2ln )f x f a x ， （ 2 lnx a ） 构造函数2(
21、 ) ( ) (2ln ) 2 2 ln ( ln )x xag x f x f a x e ax a a x ae ， , 10 分22( ) 2 2 2 0xxag x e a a ae ， ( )g x 在 (ln , )a 单调递增， ( ) (ln ) 0g x g a ，从而 ( ) (2ln )f x f a x ， 2 2( ) (2ln )f x f a x ， （ 2 lnx a ） ，命题成立 , 12 分第 9 页 共 9 页22. 【解析】 （）依题意由直线 l ：1232x a ty t得3 13 3( )2 2y t t x a ，即 3 3 0x y a , 3
22、 分由 C 极坐标方程为 24cossin 得2 2sin 4 cos ，所以 C 的直角坐标方程为 2 4y x , 5 分（）依题意，直线 l 过点 (2,0) ，直线 l 的参数方程与 C 的直角坐标方程联立212324x a ty ty x得 23 8 16 0t t a ， 164 64 3 03a a1 21 283163t tt t a， , 7 分22 2 21 2 1 2 1 28 16 64 64 8 7( ) 4 ( ) 4 ( )3 3 9 3 3t t t t t t a a； 2a , 10 分23. 【解析】 （）由 ( ) 2g x 得 1 3 4 4 1 3 4 1 1 7x x x7 1 7 6 8x x . , 5 分（） ( )g x 的值域为 3, ) ， 对任意的 1x R ， 都有 2x R ， 使得 1 2( ) ( )f x g x成立 min min( ) ( ) 3f x g x ， , 7 分 ( ) 2 2 3 (2 ) (2 3) 3f x x a x x a x a 3 3 3a 0 6a 所以实数 a 的取值范围是 0 6a a . , 10 分
