1、高三数学应知应会过关检测讲义 三角函数与解三角形 1 三角函数与解三角形 一、 考试说明要求 二、应知应 会知识和方法： 1 （ 1） 已知 4sin5 ，并且 是第二象限角，则 cos 等于 解 ： 35 （ 2）设 02x ，且 1 s i n 2 s i n c o sx x x ，则 x的取值范围是 解： 4， 54 （ 3） 已知 tan 3 ，且 32 ，则 cos sin 解 ： 105 （ 4） 若 c o s 2 s i n 5aa ，则 atan 解： 2 说明 ： 考 查同角三角函数的基本关系式。注意：（ 1）平方关系式中的符号选取；（ 2）公式的变形使用；（ 3）商数关
2、系中的弦 切互化 功能 2 （ 1） 35sin( )4的值是 . 解 ： 22 序 号 内 容 要 求 A B C 1 三角函数的有关概念 2 同角三角函数的基本关系式 3 正弦、余弦的诱导公式 4 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 5 函数 s i n ( )y A x的图象和性质 6 两角和（ 差 ）的正弦、余弦和 正切 7 二倍角的正弦、余弦和 正切 8 几个三角恒等式 9 正弦定理、余弦定理及其应用 高三数学应知应会过关检测讲义 三角函数与解三角形 2 （ 2） 化简 c o s 2 s i ns i n t a n 32 = 解 ： cos （ 3） 设 5sin7a ，
3、2cos7b ， 2tan7c ，则 a、 b、 c的大小关系是 解： bac 说明 ： 考查 正弦、余弦的诱导公式 ，理解诱导公式的作用是将任意角的三角函数转化 0 90， 内的角的三角函数 .注意 记忆方法 “奇变偶不变，符号看象限”的含义 2 （ 1） 在同一平面直角坐标系中，函数 )20)(232c o s ( ， xxy的图象和 直线21y的交点个数是 解： 2 （ 2） 若动直线 xa 与函数 ( ) sinf x x 和 ( ) cosg x x 的图像分别交于 MN，两点，则 MN 的最大值为 解： 2 说明 ： 考查 正弦函数、余弦函数的图象和性质 注意利用函数图像解决问题
4、3 （ 1） 函数 3 s in ( 2 )3yx的 最小正周期为 ； 图象的对称中心是_ ； 对称轴方程是 _ ；当 x 0， 2 时，函数的值域是 （ 2） 把函数 s i n 23yx的图像 向右平移6个单位，所得到的图像的函数解析式为 sin 2yx ，再将图像上的所有点的横坐标变为原来的 12倍（纵坐标不变），则所得到的图像的函数解析式为 解 ： ； sin 4yx （ 3） 函数 2( ) s i n 3 s i n c o sf x x x x 在区间 ,42上的最大值是 解： 32 （ 4） 已知 ( ) s i n ( 0 )3 6 3f x x f f ，且 ()fx在区间
5、63，高三数学应知应会过关检测讲义 三角函数与解三角形 3 有最小值，无最大值，则 _ 解： 143 （ 5）已知函数 ( ) c o s ( 2 ) 2 s i n ( ) s i n ( )3 4 4f x x x x ，则 函数 ()fx的最小正周期 是 ； 图象的对称轴方程 是 ； 函数 ()fx 在区间 , 12 2 上的值域 是 说明 ： 考查函数 s i n ( )y A x的图像及参数 ,A 对函数图像变化的影响和函数 s i n ( )y A x的图像 与正弦曲线的关系 要特别 关注其中 角 的整体 代换 思想 ，将问题转化为 对 sinyx 或 cosyx 的图象的研究 3
6、（ 1） 已知 34c o s ( ) , s i n ( )2 5 2 5 ，且 ,022 ，则cos( ) （ 2） tan ， tan 是方程 22 6 0xx 的两个根，则 t a n ( ) _ _ _ _ _ _ _ _ _ 解： 18 （ 3）若 c o s 2 22s i n ( )4 ，则 sin cos 解： 12（ 4）23 sin 702 cos 10 解： 2 （ 5） 已知 cos( -6) sin 4 35， 则 7sin( )6 的值是 说明 ： 熟练运用两角和与差的三角公式，二倍角公式进行化简与求值 在恒等变形时， 追求已知角和未知角、一般角和特殊角的沟通 4
7、（ 1） 在 ABC 中， 7 , 4 3 , 1 3a b c ， 则最 小内 角 度数 为 _ 解 ： 30 高三数学应知应会过关检测讲义 三角函数与解三角形 4 （ 2） 在 ABC 中，已知 2a ， 2c ， 30A ， 则 C 解 ： 45 或 135 （ 3） 已知c Cb Ba A c o sc o ss in ，则 ABC 的形状是 解 ： 等腰直角三角形 （ 4） 在 ABC 中 ， a 比 c 长 4， b 比 c 长 2， 且最大角的余弦值是21， 则 ABC的面积等于 _ 解 ： 15 34 （ 5）设 ABC 的内角 A， B， C 的 对边分别为 a， b， c，
8、 且 A 60 ， c 3b，则 ac的值是 说明 ：在三角形中，如果知道两角及一边或两边及一边的对角，用正弦定理；如果知道两边及夹 角或三边，用余弦定理。如果在同一个式子中，既有角又有边，常运用正、余弦定理进行边与角的互换，实现单一化，以利于解题。 5（ 1） 求函数 247 4 s i n c o s 4 c o s 4 c o sy x x x x 的最大值与最小值 解： 最大值为 10；最小值为 6 （ 2） 在 ABC 中，内角 A， B， C对边的边长分别是 a， b， c 已知 2c ，3C 若 ABC 的面积等于 3 ，求 ,ab； 若 sin 2 sinBA ，求 ABC 的
9、面积 解 ： 2, 2ab； 233ABCS 三、 反馈练习 1 “6”是“ 1sin2 ”的 充分不必要 条件 (填 “ 充分不必要 ” 、 “ 必要不充分 ” 、 “ 充要 ” 、 “ 既不充分也不必要 ”) 2 设向 量 ( c o s , s i n )a ， ( c o s , s i n )b ，其中 0 ， 若| 2 | | 2 |a b a b ，则 2 . 3.函数 ( ) 2 s in ( 3 1)f x x(xR) 的最小正周期为 23 4已知曲线 ( ) s in 1f x x x在点 ( , 1)22处的切线与直线 10ax y 互相 垂直，则实数 a 1 5 已知
10、函数 ( ) s i n ( ) ( 0 )3f x x ，若 ( ) ( )62ff，且 ()fx在区间 ( , )62高三数学应知应会过关检测讲义 三角函数与解三角形 5 内 有最大值 ， 无最小值，则 12 6 函数 ( ) c o s ( s i n c o s ) ( )f x x x x x R的最小正周期是 7 3sin5 ， 3cos5 ，其中 (0, )2、，则 _2_ 8.函数 s i n 3 c o sy x x ()xR 的值域为 2， 2 9.满足 4 1s i n s i n c o s c o s5 5 2xx的锐角 x 715 10.若函数2t a n 0()l
11、 o g ( ) 0xxfxxx ， ， ，则 324ff 1 . 11. 如 图 ，点 A 、 B 在 函数 ta n42yx的 图 象上 ,则 直线 AB 的方程为 20xy . 12若 函数 ( ) s i n ( ) ( 0 , 0 )f x A x A 的部分图象如图所示，则 的值为 4. 13已知向量 ( s i n , c o s ) , ( 1 , 2 )xx ab，且 /ab，则 tanx 12. 14已知扇形的圆心角为 2 （定值），半径为 R （定值），分 别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为 21 tan2 R ，则按图二作出的矩形面积的最大值
12、为 2 tan2R . 15在三角形 ABC 中，已知 2 A B A C A B A C ，设 CAB ， BB A y x 1 O （第 11 题） x 5 O 1 y 2 2 第 12 题图 2 2 图一 第 14 题图 图二 高三数学应知应会过关检测讲义 三角函数与解三角形 6 （ 1）求角 的值； （ 2）若 43c o s ( - ) =7，其中 5( , )36 ，求 cos 的值 . 解：（ 1）由 2 A B A C A B A C ，得 2 c o sA B A C A B A C 所以 1cos2 ，又因为 0 为三角形 ABC 的内角，所以3 ， 6分 （ 2）由（ 1
13、）知： 3sin2 ，且 (0, )2 ，所以 1s in ( )78 分 故 c o s c o s ( ) c o s ( ) c o s s i n ( ) s i n 4 3 1 1 3 3 37 2 7 2 1 4 . 14 分 16. （ 本题满分 14分 ） 已知向 量 1sin2A ，m与 3 s i n 3 c o sAA，n 共线，其中 A 是 ABC 的内角 （ 1）求角 A 的大小； （ 2）若 BC=2，求 ABC 面积 S 的最大值， 并判断 S 取得最大值时 ABC 的形状 . 【解】 （ 1）因为 m/n,所以 3s i n ( s i n 3 c o s )
14、02A A A . 2 分 所以 31 c o s 2 3s i n 2 02 2 2A A ，即 3 1s i n 2 c o s 2 122AA， 3 分 即 s in 2 16A . 4 分 因为 (0,)A , 所以 11 26 6 6A ，. 5分 故 262A ， 3A. 7 分 （ 2） 由余弦定理，得 224 b c b c . 8 分 高三数学应知应会过关检测讲义 三角函数与解三角形 7 又 31 s i n24ABCS b c A b c ， 9 分 而 22 2 4 2 4b c b c b c b c b c ，（当且仅当 bc 时等号成立） 11 分 所以 331 s
15、 i n 4 32 4 4ABCS b c A b c . 12 分 当 ABC的面积取最大值时， bc .又 3A， 故此时 ABC为等边三角形 . 14 分 17（本小题满分 14 分） 如图，在四边形 ABCD 中， CA CD 12AB 1， AB AC 1， sin BCD 35 （ 1）求 BC 的长； （ 2）求四边形 ABCD 的面积； （ 3） 求 sin D 的值 解 （ 1）由条件，得 AC CD 1， AB 2 AB AC 1， 1 2 cos BAC 1则 cos BAC 12 BAC（ 0， ）， BAC 3 2 分 BC2 AB2 AC2 2ABACcos BAC
16、 4 1 2 2 12 3 BC 3 5 分 （ 2）由（ 1）得 BC2 AC2 AB2 ACB 2 6 分 sin BCD s i n ( ) c o s2 A C D A C D 35 ACD （ 0， ）， 4sin5ACD 8 分 S ACD 12 1 1 45 25 S 四边形 ABCD S ABC S ACD 3225 10 分 （ 3）在 ACD 中， AD2 AC2 DC2 2ACDCcos ACD 1 1 2 1 1 35 45 AD 255 12 分 s in s inA D A CA C D D， 1 4 2 5s i n s i n 55255ACD A C DAD
17、14 分 18（ 本小题满分 14 分 ） D C B A （第 15 题） 高三数学应知应会过关检测讲义 三角函数与解三角形 8 在 ABC 中，角 A B C、 、 所对的对边长分别为 a b c、 、 ； （ 1）设向量 )sin,(sin CBx ，向量 )cos,(cos CBy ，向量 )c os,(c os CBz ，若 )/( yxz ，求 tan tanBC 的值； （ 2）已知 228a c b，且 s i n c o s 3 c o s s i n 0A C A C，求 b 解：（ 1） )c o ss in,c o s( s in CCBByx ， 由 )/( yxz
18、，得 c o s ( s i n c o s ) c o s ( s i n c o s ) 0C B B B C C ， （ 4分） 即 s i n c o s c o s s i n 2 c o s c o sB C B C B C 所以 s i n s i n s i n c o s c o s s i nt a n t a n 2c o s c o s c o s c o sB C B C B CBC B C B C ； （ 7 分） （ 2） 由已知可得 ， s i n c o s 3 c o s s i nA C A C ， 则由正弦定理及余弦定理有： 2 2 2 2 2 2322
19、a b c b c aaca b b c ， （ 10分） 化简并整理得： 2 2 22a c b ，又由已知 228a c b，所以 228bb ， 解得 4 0 ( )bb或 舍 ，所以 4b （ 14分） 19（本小题满分 14分） 在 ABC中， a， b， c分别是角 A、 B、 C所对的边，且 b2=ac，向量 c o s ( ) 1AC，m 和 (1 cos )B ，n 满足 32mn.（ 1）求 sin sinAC的值；（ 2）求证：三角形 ABC为等边三角形 【 解 】（ 1） 由 32mn得， 3c o s ( ) c o s2A C B ， 2分 又 B= (A+C)，
20、得 cos(A C) cos(A+C)= 32， 4分 即 cosAcosC+sinAsinC (cosAcosC sinAsinC)=32， 所以 sinAsinC=34 6分 【证明】（ 2） 由 b2=ac及正弦定理得 2s in s in s inB A C ， 故2 3sin 4B. 高三数学应知应会过关检测讲义 三角函数与解三角形 9 8分 于是2 31c o s 1 44B ， 所以 1cos2B或 12. 因为 cosB =32 cos(A C)0， 所以 1cos2B，故 3B 11分 由余弦定理得 2 2 2 2 c o sb a c a c B ，即 2 2 2b a c
21、 a c ，又 b2=ac，所以22a c a c a c ， 得 a=c. 因为 3B，所以三角形 ABC为等边三角形 . 14 分 20设 ABC 的三个内角 A， B， C对边分别是 a， b， c，已知s i n 3 c o sabA B， （ 1）求角 B ； （ 2）若 A 是 ABC的最大内角 ，求 ACB s in3)co s ( 的取值范围 解 （ 1）在 ABC中，由正弦定理，得sin sinabAB， 2分 又因为s i n 3 c o sabA B，所以 s i n 3 c o sBB ， 4 分 所以 tan 3B , 又因为 0 B , 所以 3B 6分 （ 2）在
22、 ABC 中， B C A ， 所以 c o s ( ) 3 s i n 3 s i n c o sB C A A A = 2 sin( )6A ， 10分 由题意，得 3 A 23, 6 6A 2， 所以 sin( 6A) 1 ,1)2，即 2sin( 6A) 1,2) ， 所以 ACB s in3)co s ( 的取值范围 1,2) 14分 21 (本小题满分 14分 ) 在 ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 4cos5A， 5bc （ 1）求 sinC 的值； （ 2）求 sin(2 )AC 的值； （ 3）若 ABC的面积 3 sin sin2S B C，
23、求 a的值 解：（ 1） 2 2 2 2 c o sa b c b c A =22426 10 5cc= 218c ， 32ac 2分 高三数学应知应会过关检测讲义 三角函数与解三角形 10 4cos5A， 0 A， 3sin5A sin sinacAC， sinsin cACa= 3532cc = 210 5分 （ 2） ca ， C 为锐角， 2 72c o s 1 s i n 10CC 3 4 2 4s i n 2 2 s i n c o s 25 5 2 5A A A ， 2 1 6 7c o s 2 2 c o s 1 2 12 5 2 5AA ， 8分 sin(2 )AC = s
24、i n 2 c o s c o s 2 s i nA C A C = 2 4 7 2 7 22 5 1 0 2 5 1 0 7210 10分 （ 3） 5bc ， sin 5sin BbCc， sin 5sinBC 23 1 5 3s i n s i n s i n2 2 2 0B C C 12分 又 S= 2213s i n2 2 1 2ab c A c， 2 312 20a ， 355a 14分 22（本题满分 14分） 已知函数 2( ) 2 s i n 2 3 s i n c o s 1f x x x x 求 ()fx的最小正周期及对称中心； 若 , 63x ，求 ()fx的最大值和最小值 . 解： ( ) 3 s i n 2 c o s 2 2 s i n ( 2 )6f x x x x ()fx 的 最 小 正 周 期 为 22T ， -6分 令 s in ( 2 ) 06x ，则 ()2 1 2kx k Z ， ()fx 的 对 称 中 心 为 ( , 0 ) , ( )2 1 2k kZ； -8分 高三数学应知应会过关检测讲义 三角函数与解三角形 11 , 63x 526 6 6x 1 s i n ( 2 ) 126x 1 ( ) 2fx 当6x 时， ()fx 的最小值为 1 ；当6x 时， ()fx 的最大值为 2 。 -14分
