1、工程硕士（ GCT）数学模拟试卷 84及答案与解析 一、选择题（ 25题，每小题 4分，共 100分） 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 1. （ A） 0 （ B） n （ C） -n （ D） 2n 2 已知关于 x的一元二次方程 8x2+(m+1)x+m-7=0有两个负数根，那么实数 m的取值范围是 ( )。 （ A） m 7 （ B） m 7 （ C） m 1 （ D） m 1 3 一元二次方程 x2-x-3=0的两个根的倒数和等于 ( )。 4 （ A） (-,-5) 1,3 （ B） (-,-5) (1,3) （ C） (-5,3) （ D） (-,8) 5
2、 若 x=a2-bc， y=b2-ac， z=c2-ab,a,b,c是不完全相等的任意实数，则 x,y,z ( )。 （ A）至少有一个大于 0 （ B）都大于 0 （ C）至少有一个小于 0 （ D）都不小于 0 6 一批产品共有 100件，其中 90件是合格品， 10件是次品，从这批产品中任取 3件，求其中有次品的概率为 ( )。 （ A） 0.7265 （ B） 0.24768 （ C） 0.2735 （ D） 0.7425 7 8 下列函数中 ，存在反函数的是 ( )。 9 函数 f(x)=sin(x+)cos(x+)( 0)以 2为最小正周期，且在 x=2处取得最大值，则 的一个值是
3、 ( )。 10 复数 z=1+cos+i sin( 2)的模为 ( )。 11 光线经过点 P(2,3)射在直线 x+y+1=0上，反射后经过点 Q(3,-2)，反射线所在直线的方程是 ( )。 （ A） 7x-y-11=0 （ B） x-7y-17=0 （ C） 5x+y-13=0 （ D） 7x+5y+13=0 12 设 a、 b、 c是任意的 非零平面向量，且相互不共线，则下列命题 (1) (a.b)c-(c.a)b=0 (2) |a|-|b| |a-b| (3) (b.c)a-(c.a)b不与 c垂直 (4) (3a+2b).(3a-2b)=9|a|2-4|b|2 中，是真命题的有
4、( )。 （ A） (1),(2) （ B） (2),(3) （ C） (3),(4) （ D） (2),(4) 13 等腰三角形一腰所在的直线 l1的方程是 x-2y=0，底边所在直线 l2的方程是x+y-1=0，点 (-2,0)在另一腰上， 则这腰所在直线 l3的方程为 ( )。 （ A） 2x-y+4=0 （ B） 2x+2y=0 （ C） 2x+y+4=0 （ D） 2x-2y+4=0 14 长方体的全面积为 11， 12条棱长度之和为 24，则该长方体的一条对角线的长度为 ( )。 15 16 其中 a， b为常数，则 a,b为 ( )。 （ A） a=1， b=1 （ B） a=-
5、1， b=1 （ C） a=1， b=-1 （ D） a=-1， b=-1 17 17.设函数 f(x)在 x=2点处连续， 处切线的斜率为 ( )。 18 19 设三次多 项式 f(x)=ax3+bx2+cx+d满足 ,那么，当 x为 ( )时， f(x)达到极大值。 （ A） 1 （ B） -1 （ C） 2 （ D） -2 20 设 A为 4阶矩阵，且 |A|=2，把 A按列分块为 A=(A1,A2,A3,A4)，其中 Aj(j=1,2,3,4)是 A的第 j列，则 |-A2,-A1,-A4,-A3|=( )。 （ A） -2 （ B） 2 （ C） 1 （ D） 0 21 且 PmAP
6、n=A，则正整数 m,n分别为 ( )。 （ A） m=5， n=4 （ B） m=5， n=5 （ C） m=4， n=5 （ D） m=4， n=4 22 （ A） -6 （ B） -9 （ C） -18 （ D） 18 23 设 A， B为 3阶矩阵，且满足方程 A-1BA=6A+BA， 则 B=( )。 24 A为 Mn矩阵，且 m n,Ax=0是 Ax=b的导出组，则下述结论正确的是 ( )。 （ A） Ax=b必有无穷多组解 （ B） Ax=0必有无穷多组解 （ C） Ax=0只有零解 （ D） Ax=b必无解 25 齐次线性方程组 的系数矩阵为 A，若有 3阶非零矩阵 B使AB=
7、0，则 ( )。 （ A） =-1且 |B|=0 （ B） =-1且 |B|0 （ C） =3且， |B|=0 （ D） =3且 |B|0 工程硕士（ GCT）数学模拟试卷 84答案与解析 一、选择题（ 25题，每小题 4分，共 100分） 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 【正确答案】 A 【试题解析】 故正确答案为 A。 2 【正确答案】 A 【试题解析】 设方程的两根为 x1和 x2， 解得 m 7，故正确答案为A。 3 【正确答案】 D 【试题解析】 设方程的两根为 x1,x2， 4 【正确答案】 A 【试题解析】 直接对不等式求解显然很麻烦，我们用 “根排序法
8、 ”会很轻松。对原不等式作同解变形 令 (x-1)(x-3)(x+5)=0，有 x1=-5，x2=1， x3=3，将 x1， x2， x3从左到右依小到大进行排序，得 -5 +1 +3 - + - + 由上面的排序可得不等式的解集是 (-,-5) 1,3，故正确答案为 A。 5 【正确答案】 A 【试题解析】 解法一：因为 a， b， c不全相等，所以有 x、 y、 z中至少有一个大于 0。 解法二：不妨令 a=0， b=1， c=2很快排除 B、 D项，再令 a=1， b=0，c=-1又排除 C项，故正确答案为 A。 6 【正确答案】 C 【试题解析】 设 A=有次品 ， Ai=有 i 件次
9、品 ， i=1， 2， 3，故 A=A1 A2 A3，并且 A1、 A2、 A3，是两两互斥的，由概率的古典定义有 于是 P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=0.2735。 7 【正确答案】 B 【试题解析】 不等式左边分母从 n+1连续变化到 2n，共有 n项， n=k 时，分母从 k+1变化到 2k； n=k+1时，分母从 k+2 变化到 2k+2，即前面减少一项，后面增加两项，故正确答案为 B。 8 【正确答案】 C 【试题解析】 9 【正确答案】 A 【试题解析】 10 【正确答案】 B 【试题解析】 故正确答案为 B。 11 【正确答案】 B 【试题解析】 因入射角等于反射
10、角，所以入射线所在直线与反射线所在直线关于直线 x+y+1=0对称， P关于 x+y+1=0的对称点 P在反射线所在直线上，容易求得P(-4,-3)。反射线所在直线过点 P(-4,-3)和 Q(3,-2)，其方程为 x-7y-17=0。 故正确答案为 B。 12 【正确答案】 D 【试题 解析】 (1) 中左边是 c-b的形式，因为 c和 b不共线，不会是零向量。 (2) 中 a,b 不共线， |a|,|b|,|a-b|刮可组成三角形的 3条边，不等式成立。 (3) 中式子与向量 c的内积为零，它们是相互垂直的向量。 (4) 中由向量内积运算，知其成立，故正确答案为 D。 13 【正确答案】
11、A 【试题解析】 14 【正确答案】 C 【试题解析】 设长方体的棱长为 a、 b、 c，则 4(a+b+c)=24， 2(ab+bc+ac)=11。 故15 【正确答案】 B 【试题解析】 16 【正确答案】 C 【试题解析】 由已知条件有 由于当 x 时，分母 x+1 ，所以分子中只有满足 1-a=0且 a+b=0，才能保证此函数为无穷小量，解得 a=1， b=-a=-1，故正确答案为 C。 17 【正确答案】 D 【试题解析】 将极限等式变形为 18 【正确答案】 A 【试题解析】 19 【正确答案】 B 【试题解析】 故正确答案为 B。 20 【正确答案】 B 【试题解析】 利用行列式
12、的性质有 |-A2,-A1,-A4,-A3|=(-1)4|A2,A1,A4,A3| =|A2,A1,A4,A3|=-|A1,A2,A4,A3| =|A1,A2,A3,A4|=|A|=2 故正确答案为 B。 21 【正确答案】 D 【试题解析】 P2=P.P=E，因此当 m， n 均为偶数时， PmAPn=E.A.E=A，故正确答案为 D。 22 【正确答案】 C 【试题解析】 根据行列式的性质，有故正确答案为 C。 23 【正确答案】 A 【试题解析】 对于矩阵方程应先化简，不要急于带入已知数据，由于 A可逆，用A-1右乘方程的两端，有 A-1B=6E+B。进而得 故正确答案为 A。 24 【正确答案】 B 【试题解析】 由 m n 可得 Ax=0中方程个数小于未知量个数 (即 r(A) n)，所以Ax=0存在非零解，从而 Ax=0必有无穷多组解。 Ax=b有解 ，在此题中没有提供 r(A)与 r(A|b)是否相等的信息，因此，无法判断 Ax=b 解的情况。 故正确答案为 B。 25 【正确答案】 A 【试题解析】 又 B0， AB=0，说明 |A|=0，且 |B|=0。显然=-1时， |A|=0，故正确答案为 A。
