1、2016 年考研（数学二）真题试卷及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 a1=x(cos 一 1)，a 2= ，a 3= 一 1当 x0 +时，以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是_（A）a 1，a 2，a 3（B） a2，a 3，a 1（C） a2，a 1，a 3（D）a 3，a 2，a 12 已知函数 f(x)= 则厂(x)的一个原函数是_（A）F(x)=（B） F(x)=（C） F(x)=（D） F(x)=3 反常积分 ， 的敛散性为 _（A）收敛， 收敛（B） 收敛，发散（C） 发散，收敛（D）发散， 发散4 设函数厂(x)在(一，+
2、)内连续，其导函数的图形如图所示，则_（A）函数 f(x)有 2 个极值点，曲线 y=f(x)有 2 个拐点（B）函数 f(x)有 2 个极值点，曲线 y=f(x)有 3 个拐点（C）函数 f(x)有 3 个极值点，曲线 y=f(x)有 1 个拐点（D）函数 f(x)有 3 个极值点，曲线 y=f(x)有 2 个拐点5 设函数 fi(x)(i=1，2)具有二阶连续导数，且 fi(x0)i(x)(i=1，2)在点(x 0，y 0)处具有公切线 y=g(x)，且在该点处曲线 y=f1(x)的曲率大于曲线 y=f2(x)的曲率，则在 x0 的某个领域内，有_（A）f 1(x)f2(x)g(T)（B）
3、 f2(x)f1(x)g(x)（C） f1(x)g(x)f2(x)（D）f 2(x)g(x)f1(x)6 已知函数 f(x，y)= ，则_（A）f x 一 fy=0（B） fx+fy=0（C） fxf y=f（D）f x+fx=f7 设 A，B 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是_（A）A T 与 BT 相似（B） A1 与 B-1 相似（C） A+AT 与 B+BT 相似（D）A+A -1 与 B+B-1 相似8 设二次型 f(x1，X 2，X 3)=a( )+2x1x2+2x2x3+2x1x3 的正、负惯性指数分别为 1，2，则_（A）a1（B） a0) ，求 f(x)并
4、求 f(x)的最小值17 已知函数 z=z(x，y)由方程(x 2+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0 确定，求 z=z(x， y)的极值18 设 D 是由直线 y=1,y=x,y=x 围成的有界区域，计算二重积分dxdy.19 已知 y1(x)=ex，y 2(x)=u(x)ex 是二阶微分方程(2x 一 1) 一(2x+1)y+2y=0 的两个解，若 u( 1)=e，u(0)=一 1，求 u(x)，并写出该微分方程的通解20 设 D 是由曲线 y= (0x1)与 (0f )围成的平面区域，求D 绕 X 轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积21 已知函数 f(x)在0， 上连续，在(0， )
5、内是函数 的一个原函数，且f(0)=0() 求 f(x)在区间0， 上的平均值；()证明 f(x)在区间(0， )内存在唯一零点22 设矩阵 A= ，且方程组 Ax= 无解()求 a的值；() 求方程组 ATAx=AT 的通解 23 已知矩阵 A= ()求 A99；(II) 设 3 阶矩阵 B=(a1，a 2，a 3)满足B2=BA记 B100=(1， 2， 3)，将 1， 2， 3 分别表示为 a1，a 2，a 3 的线性组合2016 年考研（数学二）真题试卷答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B2 【正确答案】 D3 【正确答案】 B4
6、 【正确答案】 B5 【正确答案】 A6 【正确答案】 D7 【正确答案】 C8 【正确答案】 C二、填空题9 【正确答案】 y=x+ 10 【正确答案】 sinlcosl 11 【正确答案】 y 一 y=2xx212 【正确答案】 5.2 n1 13 【正确答案】 14 【正确答案】 2三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 因为 (cos2x+2xsinx) ，且所以(cos2x+2xsinx) 16 【正确答案】 当 0 当 x1 时，f(x)=，所以 f(x)= 而故 f(x)=由于 f(x)=0 求得唯一驻点 x= ，f( )0，从而 x= 为f(x)的
7、最小值点,最小值为 f( )=17 【正确答案】 在(x 2+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0 两边分别对 x 和 y 求偏导数，得令 =0， =0，得 将代入方程(x 2+y2)z+1nz+2(x+y+1)=0，得 lnz +2=0，可知 z=1 从而对中两式两边分别再对 x，y 求偏导数，得 从而 A=由于 ACB20，A18 【正确答案】 因为区域 D 关于 y 轴对称，所以 dxdy=019 【正确答案】 将 y2(x)=u(x)ex 代入原方程并整理得(2x 一 1) +(2x 一 3) =0令(x)=z，则 (2x 一 1)z+(2x 一 3)z=0，解得 z= (2x 一
8、1)e-x，从而 u(x)= (2x 一1)e-xdx=一 (2x 一 1)e-x+2e-x+ 由 u(1)=e，u(0)=一 1，得 =1， =0，所以u(x)=一 (2x+1)e-x 所以原微分方程的通解为 y=C1ex 一 C2(2x+1)20 【正确答案】 设 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V，表面积为 S，则S=2+ dt21 【正确答案】 (I)f(x)在区间 0， 上的平均值 ()由题意，得 (x)= 当 0 时，因为 f(x) )内无零点，且 f( )00， ，使得 f(x0)= 0，由于当x(0， 时，f(x) 0( 根据连续函数介值定理，存在 ( ，x 0) (
9、 )，使得 f()=0又因为当 时，f(x)0，所以 f(x)在( )内至多只有一个零点22 【正确答案】 () 对矩阵(A:)施以初等行变换由方程组Ax= 无解知，秩(A B)秩 A，即a 2+2a=0，且 a20，解得 a=0()对矩阵施以初等行变换所以，方程组 ATAx=AT 的通解 x= (k 为任意常数)23 【正确答案】 () 因为 所以 A的特征值为 1=1， 2=2， 3=0.当 1=1 时，解方程组(E A)x=0，得特征向量 1=(1，1，0) T；当 2=2 时，解方程组(2EA)x=0，得特征向量2=(1，2，0) T；当 3=0 时，解方程组 Ax=0，得特征向量 3=(3，2，2) T.所以()因为 B2=BA，所以B100=B98B2=B99A=B97B2A=B98A2=BA99 即( 1， 2， 3)=(a1，a 2，a 3)=所以
