1、工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 105 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 实数 a，b 满足 ab0，集合 A=0，a ，b ，B=x|x=uv，u，v A，则集合 B 的子集共有( )个。（A）2（B） 4（C） 8（D）163 两个码头相距 198 km，如果一艘客轮顺流而下行完全程需要 6 h，逆流而上行完全程需要 9 h，那么该艘客轮的航速和这条河的水流速度分别是( )kmh。（A）275 和 55（B） 275 和 11（C） 264 和 55（D）264 和 114 要使方程 3x2+(m
2、5)x+m 2m-2=0 的两个实根分别满足 012（A）20；m 24 2+m0故选 A 5 【正确答案】 C【试题解析】 根据题意，有因为方程的根为整数，所以=p 2+41580p=p(p+44529)为完全平方式 又因为 p 为质数，所以 p=29故选 C6 【正确答案】 A【试题解析】 由已知可得(z+1)( +1)1，即 |z+1|21，即|z+1|1，那么 z 在复平面上的对应点就在以(1，0)为圆心，以 1 为半径的圆内(包括圆周)，而|z 1z|表示点 z1(1，2)到上述圆内一点的距离，显然其最大值应为故选 A.7 【正确答案】 D【试题解析】 设圆柱的底面半径为 r，高为
3、h，则 h=2r，体积 V=r2h=2r3 由题意，有 8V=2r13，即 16r3=2r13，即 r1=2r 故底面的半径增大到原来的 2倍故选 D8 【正确答案】 B【试题解析】 9 【正确答案】 C【试题解析】 平面内任两点均可连成一线，故直线按照题意进行，可进行分类考虑 1) 只取一个红点和一个蓝点连线，共有 条 2)取两个红点连成的直线，共有 条，共计有 29 条故选 C10 【正确答案】 D【试题解析】 10 个座位中座 6 个人，有 种做法，指定的 4 个座位被坐满有种可能 11 【正确答案】 B【试题解析】 由圆 x2+y2ax+by=0(a ，b0)， 所以直线与圆相切故选
4、B12 【正确答案】 C【试题解析】 因为 AB=10，AD=6，所以 DB=4 那么对于第三个图形而言有：AB=2 又ABFADE，所以根据相似三角形的比例关系有：即 BF=2，FC=4 所以 SCEF= 44=8故选 C13 【正确答案】 B【试题解析】 该方程的曲线为双曲线，所以(m1)(m+1)0，得 m1 或 m1 时，a2=m1，b 2=m+1，所以 c2=a2+b2=2m 同理，当m2=m1，b 2=m+1，c 2=2m 14 【正确答案】 B【试题解析】 设 当 x1 时，f(x)0，所以只需讨论在0，1上 的情形 f(0)=10，f(x)在0，1上连续，由零点存 在定理，f(
5、x)=0 在(0，1)内至少有一个实根 又当 x(0，1)时，说明 f(x)在(0，1)内是单调增加的 因此 f(x)=0 在 (0，1)内只有唯一的实根，从而 在0，+)内只有一个实根故选 B15 【正确答案】 B【试题解析】 在 x1 处，f(x)由单调递减变为单调递增，因此曲线 f(x)由凸变凹，于是(x 1，f(x 1)是曲线的拐点；在 x2 处，f(x 2)的符号由负变为正，因此 x2 是 f(x)的极小值点故选 D.16 【正确答案】 A【试题解析】 先求两条曲线交点的横坐标，又因曲线所围成的图形关于)，轴对称，所以17 【正确答案】 A【试题解析】 18 【正确答案】 B【试题解
6、析】 注意到 F(0)=10，因此，F(x)0，从而有 F(x)在( ，+) 严格单 调递增，由此，F(x)=O 最多有一实根 综上所述，F(x)=0 在( ，+)上有且仅有一个实根，故选 B 注意：讨论 F(x)=0 的根的个数时，一般从下面两方面考虑： (1)F(x)在什么区间上满足零点存在定理，(2)F(x)在该区间上的单调性19 【正确答案】 B【试题解析】 又因为 f(1sin(t)=f(1+sint)=f(1sint)，上式最后一步利用了题设条件 f(1x)=f(1+x)所以 f(1sint)是奇函数，奇函数在对称区间上的积分为零，即故选 B20 【正确答案】 C【试题解析】 21 【正确答案】 D【试题解析】 故选 D22 【正确答案】 B【试题解析】 由 mn 可得 Ax=0 中方程个数小于未知量个数(即 r(A) r(A)=r(A|b)，此题中没有提供 r(A)与 r(A|b)是否相等的信 息，因此，无法判断 Ax=b解的情况故选 B23 【正确答案】 A【试题解析】 当 a=2 或 a=4 时，r( 1， 2， 3)=3因此，a=2 是向量组线性无关的充分但非必要条件故选 A24 【正确答案】 D【试题解析】 25 【正确答案】 D【试题解析】 非齐次线性方程组 AX= 有两个不同的解，即它有无穷多解 此时线性方程组 AX=有无穷多解故选 D
