1、工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 108 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 有一正的既约分数，如果其分子加上 24，分母加上 54 后，其分数值不变，那么，此既约分数的分子与分母的乘积等于 （A）24（B） 30（C） 32（D）362 若 m，n(mn)是关于 x 的方程 1(xa)(xb)0 的两个根，且 ab，则a，b，m，n 的大小关系是 （A）ma bn （B） amnb （C） ambn （D）ma nb3 如果 是半径为 R 的球， 是以 的大圆为底面、顶点在 表面上的一个圆锥，那么 的体积是
2、 体积的 （A） （B） （C） （D）4 两个码头相距 198km，如果一艘客轮顺流而下行完全程需要 6h，逆流而上行完全程需要 9h，那么该艘客轮的航速和这条河的水流速度分别是 kmh（A）275 和 55 （B） 275 和 11 （C） 264 和 55 （D）264 和 115 的展开式的二项式系数之和为 64，则展开式中常数项为 （A）20（B） 20（C） 160（D）1606 某种测验可以随时在网络上报名参加，某人通过这种测验的概率是 若他连续两次参加测验，则其中恰有一次通过的概率是 （A） （B） （C） （D）7 已知 a 为正整数，且关于 x 的方程 lg(42x 2)l
3、g(ax) 1 有实数根，则 a等于 （A）1（B） 1 或 2（C） 2（D）2 或 38 若关于 z 的不等式 x2x16 的解集是 ，则 b 的取值范围是 （A）(3 ，) （B） 3，) （C） (，3 （D）(， 3)9 已知 f(x)3ax 2a1，若存在 x0(1，1) ，使 f(x0)0，则实数 a 的取值范围是 （A） （B） (，1)（C） (，一 1)( ， ) （D）( ，)10 已知a n为等比数列，首项 a12，公比 q2，其前 n 项之和为 Sn，前 n 项之积为 Tn， （A）0（B） 1（C） （D）211 若方程 有实数解，则 b 的取值范围是 （A）3，3
4、（B）（C）（D）12 ABC 中，AB3，BC ，西，AC4，则 AC 上的高等于 （A）（B）（C）（D）13 坐标平面内，与点 A(1，2)距离为 2，且与点 B(4，0)距离为 3 的直线共有 条（A）1（B） 2（C） 3（D）414 F1，F 2 是双曲线 的焦点，点 P 在双曲线上，若 P 到 F1 的距离等于 9，则 P 到 F2 的距离等于 （A）1（B） 17（C） 1 或 17（D）1815 两圆的半径之比为 3：1，则大圆的内接正三角形与小圆的外切正三角形的面积之比为 （A）3；2（B） 9：4（C） 3：1 （D）9：116 函数 在区间 上有界（A）(2，1) （B
5、） (1，2) （C） (2，3)（D）(3 ，4)17 曲线 y2 2x 在 x2 处的切线方程是 （A）xln2y1（B） xyln21（C） xln2y2ln2 （D）xln2y12ln218 已知某厂生产 x 件产品的成本为 c(x)1000150x (元)，要使平均成本最小所应生产的产品的件数为 件（A）50（B） 100（C） 150（D）20019 I (2sinx2sinx)dx，则 （A）I0 （B） I0 （C） I0 （D）I220 曲线 yx 23x2 与 x 轴、y 轴及 x3 所围成图形的面积为 （A）（B）（C）（D）21 设 f(x)是以 1 为周期的连续函数，
6、F(x) xf(xt)dt，则 F(x) （A）0（B） xf(0) （C） （D）x22 设 ，AI T，BI2 T，其中 I 是 4 阶单位矩阵，则AB （A）I（B） I（C） 0（D）A23 已知 A 为三阶方阵，A *为其伴随矩阵，且有A2I0，A 2I 0，2AI 0，则 A* （A）4（B） 4（C） 2（D）224 设向量组 1， 2， 3 的 r(1， 2， 3)3， 4 能由 1， 2， 3 线性表示， 5 不能由 1， 2， 3 线性表示，则 r(12， 3， 31， 54) （A）1（B） 2（C） 3（D）425 设 A 是 4 阶矩阵，A *为 A 的伴随矩阵， 1
7、， 2 是齐次线性方程组 Ax0 的两个线性无关的解，则 r(A*) （A）0（B） 1（C） 4（D）以上均不正确工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 108 答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 设这个分数为 ，P，q 为正整数，且没有公因子，则有 ，即 q(p54)P(q24)， 9q4p 因为 P，q 没有公因子，因此 P除得尽 9，q 除得尽 4，P，q 的取值只可能是 P1，3，9； q1，2，4 再由9q4p，可知 q4，p9 故选 D2 【正确答案】 A【试题解析】 将方
8、程 1(xa)(x6)0 变为 x2(ab)x ab10当 ab 时，其解满足 所以 a，b，m，n 的大小关系是 mabn 故选 A3 【正确答案】 A【试题解析】 是半径为 R 的球，其体积为 的底面为 的大圆，其面积等于 R2 的顶点在 表面上，因此 的高等于 的半径 R，于是 体积为 ，它的体积是 体积的 故选 A4 【正确答案】 A【试题解析】 两码头相距 198km，客轮顺流而行要 6h，逆流而行要 9h，因此顺流速度为 33kmh，逆流速度为 22kmh 顺流速度是客轮的航速加上水流速度，逆流速度是航速减去水流速度，因此航速为275(kmh)，水流速度为 3327555(kmh)
9、 故选 A5 【正确答案】 D【试题解析】 由 2 n64 得 n6，根据 C6k(2x)k (1) 6k2kC6kx2k6 可知常数项对应于 k3，常数项为2 3C63160 故选 D6 【正确答案】 C【试题解析】 这是一个独立重复试验的问题n 次独立重复试验中恰有 k 次发生的概率为 P n(k)C nkp3(1p)nk当 n2，k1 时， 故选 C 如果做两次测验，两次都通过的概率，则有 两次测验都不通过的概率 P2(0)也等于 7 【正确答案】 A【试题解析】 由对数方程可得 42x 210(ax)， 即 2x210x10a40，方程有实数根，所以判别式 1008(10a4)0，即
10、13280a0正整数 a 只能取 1 故选 A8 【正确答案】 C【试题解析】 令 f(x)x2x1，即 参照图可见，f(x)的最小值为 3不等式 f(x)b 的解集是 ，其充分必要条件是 b3故选 C 也可通过函数图像分析，如图所示分别作 yx2和 yx1的图像，通过叠加得 yf(x)的图像再作直线 yb 的图像就便于分析9 【正确答案】 C【试题解析】 当 a0 时，f(x 0)0 不成立；当 a0 时，yf(x)是线性函数，f(x 0)0，x 0(1，1)所以 f(1)与 f(1)异号，即 ( 3a2a1)(3a2a1) 0， (5a1)(a1)0看成 a 的二次不等式，得 a1 或 故
11、选 C10 【正确答案】 B【试题解析】 令 a1q2，得 。 故选 B11 【正确答案】 B【试题解析】 的图像是以原点为中心，半径等于 3 的上半圆yxb 的图像是斜率为 1 的直线如图，当 b3 时直线 l1：yx3 与半圆交于(3 ，0)点当 时直线 l2： 与半圆相切在 l1 与 l2 之间与它们平行的直线都与上半圆有交点(此外则无交点)，即原方程有实数解 故选B12 【正确答案】 B【试题解析】 设ABC 中 A，B， C 所对应的边的长度分别为 a，b，c，即aBC，b AC，cAB由余弦定理 所以 A 60AC 上的高hcsinA 故选 B 也可由 AABC 面积公式来求 ，其
12、中 于是有 13 【正确答案】 B【试题解析】 与定点距离为 r 的直线就是以该定点为中心、半径等于，一的圆的切线本题以 A 为中心、半径等于 2 的圆与以 B 为中心、半径等于 3 的圆相交。两圆有两条公切线故选 B14 【正确答案】 B【试题解析】 c 2a 2b 2162036，所以 c6设左焦点 F1(6，0)，右焦点F2(6，0)由 a4，双曲线的实轴长为 8，按双曲线的定义， PF2PF 12a，即PF 298，可得PF 2等于 1 或 17但是，注意到PF 19，F 1 是左焦点，而双曲线右支上的点到 F1 最短距离为 10(在右顶点取到)，所以 P 点一定在双曲线的左支上，这样
13、有PF 298，即PF 217 故选 B。15 【正确答案】 B【试题解析】 如图所示，设小圆半径为 R，由题意知大圆半径为 3R大圆的内接正三角形边长 AB 满足 3Rcos30 AB，因此 AB 23Rcos30 小圆的外切正三角形边长 CD 满足； tan30，从而得 大圆的内接正三角形面积为，小圆的外切正三角形面积为，两者之比为 9：4故选 B16 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)的间断点为 x1，x2，x3因，B，C， D 中的端点含 x2，x3，因此，f(x)在 B，C， D 的区间上无界，由排除法，选 A 事实上可证明 f(x)在(2，1)上有界，因 F(x)在2 ，1 上
14、连续，因此 F(x)在2，1上有界，从而 F(x)在(2，1)内有界在(2， 1)内 F(x)f(x)，即 f(x)在(2，1)内有界 故选 A17 【正确答案】 D【试题解析】 y2 2xln2(1)2 2xln2， k y x2 ln2，y x2 1 因此，曲线在 x2 处的切线方程为 y1ln2(x2)， 即 yxln212ln2 故选 D18 【正确答案】 B【试题解析】 平均成本 令，得 x100而 ，故 F“(100)0，所以x100 是唯一的极小值点，因而它是最小值点 故选 B19 【正确答案】 A【试题解析】 设 f(x)2 sinx2sinx，则 f(x)2 sin(x)2s
15、inx(x)2 sinx2 sinx2sinxf(x) ，这说明被积函数为奇函数，又被积函数为以 2 兀为周期的周期函数，所以 故选 A20 【正确答案】 D【试题解析】 画出曲线所围图形(见图)当 x(1，2)时，x 23x20，因此 故选 D21 【正确答案】 C【试题解析】 在 中令 xtu，则当 t1 时，ux1，t0 时，ux，dudt，因此 故选 C评注 因为 f(X)以 1 为周期，所以它在每一个周期上的定积分值相等因此。求定积分 时，积分变量是 t，x 是常数在对 F(x)求导时 x 是变量 f(x 1)f(x)f(x)f(x)022 【正确答案】 D【试题解析】 本题主要考查
16、了特殊矩阵的乘积与矩阵乘法的结合律 由于，所以 AB(I T)(I2 T)I T2 T2 TT I T2(T)TI TA 故选 D23 【正确答案】 A【试题解析】 由A2I0 及A2I0 知 A 有特征值 12， 22，由2AI 知 A 有特征值 因此A 1232 又A*AA 1，所以A * (2)4 故选 A24 【正确答案】 D【试题解析】 因 4 可由 1， 2， 3 线性表示，所以矩阵( 12， 2， 31， 54) (1， 2， 3， 5)因 r(1， 2， 3)一 3，所以 1， 2， 3线性无关又因 5 不能由 1， 2， 3 线性表出，所以 1， 2， 3， 5 线性无关，因此 r(1， 2， 3， 5)4 故选 D25 【正确答案】 A【试题解析】 设 A 是 n 阶方阵，则齐次线性方程组 Ax0 中基础解系所含解向量的个数n r(A)在本题中齐次线性方程组 Ax0 含有两个线性无关的解，因此4r(A)2，即 r(A)2 又因 A 是 4 阶矩阵，所以A中所有三阶子式全为 0，于是代数余子式 Aij 为零，从而 A*0，因此 r(A*)0 故选 A 注意，也可由A*的性质直接判定设 A 是 n 阶矩阵，则有
