1、工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 111 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 （A）（B）（C） 20（D）2 甲、乙同学帮助学校图书馆清点一批图书，已知甲同学清点 200 本图书与乙同学清点 300 本图书所用的时间相同，且甲同学平均每分钟比乙同学少清点 10 本，则甲同学平均每分钟清点图书的数量是 本（A）10（B） 20（C） 30（D）403 一卡车从甲地驶向乙地，每小时行驶 60km另一卡车从乙地驶向甲地，每小时行驶 55km两车同时出发，在离中点 10km 处相遇，甲乙两地之间的距离为 Km（A）
2、115（B） 230（C） 345（D）4604 若实数 a， b，c 满足 abc0，且 abc0，则 （A）2（B） 1（C） 1（D）25 已知(1 2x) n 展开式中所有系数之和等于 81，则展开式中 x3 项的系数等于 （A）4（B） 8（C） 16（D）326 设某种证件的号码由 7 位数字组成，每个数字可以是数字 0，1，2，9 中的任一个数字，则证件号码由 7 个完全不同的数字组成的概率是 （A）（B）（C）（D）7 函数 (x1)的反函数是 （A）yx 22x2(x1)（B） yx 22x2(x1)（C） yx 22x(x1)（D）yx 22x(x1)8 设 和 是二次方程
3、 ax2bxc0 的两个根，则 （A）（B）（C）（D）9 yf(x)是定义在(，)上周期为 4 的函数，且 f(0)3，f(1)2，f(2)4，f(3)0， （A）0（B） 4（C） 4（D）610 已知 a1，a 2，a 3，是各项为正数的等比数列已知 a6a424，a 1a764，则其前项的和等于 （A）256（B） 255（C） 86（D）8511 一圆的圆心在直线 y8 上该圆与坐标轴交于(3，0)和(9，0)点，则圆心到坐标原点的距离为 （A）8（B）（C） 10（D）12 设 ， ，tan 和 tan 是方程 的两个不等的实根，则 等于 （A）（B）（C）（D）13 设 F 为抛
4、物线 y22px(p0)的焦点，点 A，B 和 C 均在抛物线上若 （A）3p（B） 4p（C）（D）2p14 若椭圆 C：x 2ny 21(n0)与直线 l：y1x 交于 A，B 两点，过原点与线段AB 中点连线的斜率为 2，则椭圆 C 的焦点为 （A）(1，0) 和(1，0)（B） (0，1)和(0 ，1)（C）（D）15 一个点到圆的最大距离是 12cm，最小距离是 8cm，则圆的半径是 cm （A）2（B） 10（C） 2 或 10（D）4 或 2016 设函数 f(x)在 x0 处连续，下列命题错误的是 （A）若 存在，则 f(0)0（B）若 存在，则 f(0)0（C）若 存在，则
5、f(0)0（D）若 存在，则 f(0)017 f(x)为可导函数，它在 x0 的某邻域内满足 f(1x)2f(1 x)3xo(x)，其中o(x)是当 x0 时比 x 高阶的无穷小量，则曲线 yf(x)在 x1 处的切线方程为 （A）yx2（B） yx1（C） yx1（D）yx218 设 (0x1)，则 （A） 不是 f(x)的极值点， 是 f(x)的拐点（B） 是 f(x)的极值点， 不是 f(x)的拐点（C） 是 f(x)的极值点， 是 f(x)的拐点（D） 不是 f(x)的极值点， 不是 f(x)的拐点19 f(x)在( 一，) 上连续，且 f(x)0，则 F(x) (x2t2)f(t)d
6、t 的单调性为 （A）在( ，) 上单调增加（B）在 (，)上单调减少（C）在 (，0)上单调增加，在(0，) 上单调减少（D）在( ，0) 上单调减少，在(0，)上单调增加20 已知 xlnz 是 f(x)的一个原函数，且 ，则 a （A）（B）（C） 1（D）21 曲线 ye xsinx(0x3)与 x 轴所围成的面积可表示为 （A）（B）（C）（D）22 若行列式 的元素 a21 的代数余子式 A2110，则。的值等于 （A）0（B） 3（C）（D）无法确定23 已知 AB 2B，其中 n 阶方阵 A 的秩为 （A）0（B） 1（C） n1（D）n24 设向量组 1， 2， 3 线性无关
7、，向量 1 能由 1， 2， 3 线性表出，向量 。不能由 1， 2， 3 线性表出，则必有 （A） 1， 2， 1 线性相关（B） 1， 2， 1 线性无关（C） 1， 2， 2 线性相关（D） 1， 2， 2 线性无关25 线性方程组 当 （A）m1 时，线性方程组有无穷多解（B） m1 时，线性方程组有无穷多解（C） m1 时，线性方程组无解（D）m1 时，线性方程组无解工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 111 答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 故选D2 【正确答案】 B【
8、试题解析】 设甲同学平均每分钟清点图书 x 本，则乙同学平均每分钟清点图书x10 本，依题意，得 ，解得 x=20 故选 B3 【正确答案】 D【试题解析】 相遇时从甲地开往乙地的卡车比从乙地驶向甲地的卡车多走102 20km，两车速度相差 5kmh ，因此相遇时两车各走了 2054(h)两车相向而行，各走 4h 相遇，因此甲、乙两地之间距离为(6055)4 460(kin)故选 D4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 ab c0，abc0，所以实数 a，b，c 中有一个正数、两个负数不妨设 a0，则 11112。故选A5 【正确答案】 D【试题解析】 设(12x) na 0a 1xa 2x
9、2a nxn，令 x1 得 3n a0a 1 a2a n， 根据条件可知 a 0a 1a n81， 故 3n81，解得n4，所以(12x) 4 的展开式中 x3 项为 C43(2x)332x 3 故选 D6 【正确答案】 D【试题解析】 所有不同号码的号码数目是 107，即基本事件的总数，其中 7 个数字完全不相同的排列数是 P10710987654 故选 D 注意基本事件的总数是107 而不是 10 1每一位数字的取法都有 10 种可能10!相当于各位不重复的 10 位数字号码总数在“从袋中取不同号码(颜色)的球”等问题中，也有“敢后放回”和“取后不放回”的区别此外，还要注意“7 个不同数字
10、”在这里是排列问题，不是组合问题7 【正确答案】 B【试题解析】 函数 的定义域是1，)，值域也是1，)由y1 可两边平方，解得 x(y1) 21，即 xy 22y2得原来函数的反函数是 yx 22x2，其定义域即原来函数的值域为1，)故选 B8 【正确答案】 C【试题解析】 由根与系数的关系知， 故 故选 C9 【正确答案】 D【试题解析】 因2012(503)40，201050242，541，1(1)4 3，而 f(x)是周期为 4 的周期函数，所以 f( 2012)f(0)3，f(2010)f(2)4， f(5)f(1)2，f( 1)f(3) 0从而得 故选 D10 【正确答案】 B【试
11、题解析】 a 6a4a 1q3(q21)，a 1a7(a 1q3)2，由 a1a764 可解出a1q38 从已知条件可得 a10，q 0，所以 a1q38又由 a6a424，得8(q21)24，解得 q2，a1于是 故选 B11 【正确答案】 C【试题解析】 设 A(3，0)，B(9，0)AB 是圆的一条弦，圆心在此弦的垂直平分线x6 上所以圆心坐标为(6，8)，它到原点距离为 故选 C12 【正确答案】 B【试题解析】 由二次方程根与系数的关系有 tantan (*) tantan4， (*)所以 (*) 由条件可推出 (，)，似乎 A，B，C 都有可能但由(*)式，tan 和 tan 同号
12、，即 和 同属。后者和(*)式矛盾所以 ， ， (0，) ，由(*)式，应选 B故选 B13 【正确答案】 A【试题解析】 抛物线 y22px 的焦点为 F ，准线方程为 设A(xA，x A)， B(xB，y B)，C(x C，y C)，由 投影到 x 轴有 ，即 由抛物线的定义有 故选 A14 【正确答案】 B【试题解析】 将 y1x 代入 x2ny 21，得方程 (1n)x 22nxn 10设A(x1， y1)，B(x 2,y2)，则，得 ，焦点在 y轴上c 2a 2b2211，所以焦点坐标为(0，1)和(0，1) 故选 B15 【正确答案】 C【试题解析】 点到圆的最小距离是 8cm，因
13、此点不在圆周上，如图所示当点在圆外时，圆直径等于点到圆的最大距离减去最小距离，因此圆直径为 12cm8cm4cm ，半径为 2cm当点在圆内时，圆直径等于点到圆的最大距离加上最小距离，因此圆直径为 12cm8cm 20cm，半径为 10cm，所以圆半径为 2cm 或10cm 故选 C16 【正确答案】 D【试题解析】 若 又由题设 f(x)在 x0处连续，故 ，从而选项 A 正确 若又由 f(x)在 x0 处连续，故 f(0) f(0) f(x)f(x)0， 即 f(0)0，所以选项B 正确 若 ，由 f(x)在 x0处的连续性可得 f(0)0，从而 ，因此 C 正确由排除法，正确选项为 D
14、故选 D17 【正确答案】 C【试题解析】 由 另一方面 因此 f(1)1，所以，曲线的切线方程为 y0x1 故选 C18 【正确答案】 B【试题解析】 而f“(x)2x，故 由取得极值的必要条件、充分条件及取得拐点的必要条件， 是 f(x)的极值点 不是 f(x)的拐点。 故选 B19 【正确答案】 A【试题解析】 当 x0 时，因此在(，)上 F(x)0从而 F(x)在(一， )上是单调增加的 故选 A20 【正确答案】 A【试题解析】 由题设(xlnx)f(x) ，所以 故选 A21 【正确答案】 C【试题解析】 当 0x 或 2x3 时 y0；当 x2 时，y0 所以 ye x sin
15、x(0x3n)与 x 轴围成的面积为 故选 C22 【正确答案】 B【试题解析】 A 21(1) (21) (6a8)10，可知 a3 故选 B23 【正确答案】 B【试题解析】 由于 AB 2BB(BI)，而 r(B) n， r(BI) 1。 所以 r(A)r(BI)1 故选 B24 【正确答案】 D【试题解析】 1 能由 1， 2， 3 线性表出，只能断定向量组 1， 2， 3， 2 线性相关，不能确定 1， 2， 1 是否线性相关和线性无关例如 1(1，0，0)T， 2(0，1，0) T， 3(0，0，1) T，当 1(0， 0，2) T 时， 1， 2， 1 线性无关，当 1(2，0，
16、0) T 时， 1， 2， 1 线性相关，因此不选 A 和 B 又设1 (1，0，0，0) T， 2(0，1，0，0) T， 3(0， 0，1，0) T， 2(0，0，0，1) T，则 1， 2， 2 线性无关，因此不选 C，由排除法选 D 事实上，因 1， 2， 3 线性无关， 2 不能由 1， 2， 3 线性表出，所以 1， 2， 3， 2 线性无关，从而部分组 1， 2， 2 线性无关 故选 D25 【正确答案】 B【试题解析】 由此可见，无论 m 取何值，都有 ，因此，线性方程组总是有解的，排除C，D 当 m1 时， ，线性方程组有无穷多解 故选 B注 当m1 时， ，线性方程组有唯一解
