1、工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 114 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 两条长度相同的绳索，一条截掉 16m，另一条接上 14m 后，长绳长度正好是短绳的 4 倍，则两条绳索原来的长度是 m（A）20（B） 24（C） 26（D）302 a，b，c 是满足 abc1 的 3 个正整数，如果它们的算术平均值是 ，几何平均值是 4，那么 6 的值等于 （A）2（B） 4（C） 8（D）不能确定3 设直线 L 的方程为 ykxa，且 L 在 x 轴上的截距是其在 y 轴上截距的2 倍，则直线 L 与两坐标轴所
2、围图形的面积是 （A）a 2（B） 2a2（C） 2k2（D）4k 24 一个底面半径是 10cm，高是 30cm 的圆柱形容器中，水深 6cm将一个长和宽都是 ，高是 10cm 的长方体铁块竖直放在该容器中，水面的高度为 cm（A）6（B） 8（C） 10（D）125 某区乒乓球队的队员中有 11 人是甲校学生，4 人是乙校学生，5 人是丙校学生，现从这 20 人中随机选出 2 人配对双打，则此 2 人不属于同一学校的所有选法共有 种（A）71（B） 119（C） 190（D）2006 经统计，某校教工食堂一个售饭窗口每天中午排队买饭的教工人数及相应的概率如下：一周 5 个工作日中，有 2
3、天或 2 天以上中午出现超过 15 位教工排队买饭的概率是 （A）（B）（C）（D）7 已知集合 ，Nxx 22x30)，则 M，N 满足关系 （A）（B） MN（C）（D）8 下列命题中的假命题是 （A）对一切 x0，y0，（B）对一切 x0，y0，x 2y 222x2y（C）对一切 x0，y0，（D）对一切 x0，y0，x 3y 32xy29 已知 a1，函数 ylog2x 在区间a ，a1上的最大值是最小值的 2 倍，则 a （A）2（B）（C）（D）10 已知 (n1，2，)数列a n各项之和等于 （A）（B）（C）（D）11 过圆 x2y 2r 2 上的点 P(x0，Y 0)作圆的切
4、线，切线被 x 轴和 y 轴截下的线段长度的取值范围是 （A）(r， )（B） (2r，)（C）（D）12 如图所示，在正方形网格中，A，B，C 是三个格子点设 BAC，则tan （A）（B）（C）（D）13 光线从点 A(1，1) 出发，经 y 轴反射到曲线 C：(x5) 2(y7) 24 的最短路程是 （A）（B）（C） 8（D）914 已知 F1， F2 是椭圆的两个焦点，满足 的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 （A）(0 ，1)（B）（C）（D）15 菱形 ABCD 的周长为 20cm，对角线 AC 的长为 8cm，则此菱形内切圆的周长与回积分别是 （A）（B）（C）（D）1
5、6 在(，) 上连续， ，则 a，b 满足 （A）a0， b0（B） a0，b0（C） a0，b0（D）n0，b017 设函数 f(x)在(，)内可导，当 x0 时满足， ，则f(1) （A）1（B）（C）（D）18 有一容器如图所示，假定以匀速向容器内注水，h(t)为容器中水平面高度随时间变化的规律，刚能正确反映 h(t)变化状态的曲线是 （A）（B）（C）（D）19 设 a1，则在 0，a上方程 根的个数为 （A）0（B） 1（C） 2（D）320 曲线 x2(y1) 21， 。与直线 y2 在第一象限所围成图形面积为 （A）（B）（C）（D）21 ，则（A）I 1I 2 I3（B） I2
6、I 1I 3（C） I3I 2I 1（D）I 3I 1 I222 设 D ，则 A21A 22A 23 的值等于 （A）0（B） 18（C） 4（D）1223 A 是 n 阶可逆矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，则(A *)* （A）A n1A（B） A n2A（C） A n1 A（D）A n2 A24 1 (1，0 ，0，0) T， 2(2，1，1，1) T， 3(0，1，1，a) T， (3，2，b，2) T， 不能由 1， 2， 3 线性表出，则 （A）b2（B） a1（C） b2（D）a125 下列矩阵中，不能与对角矩阵相似的是 （A）（B）（C）（D）工程硕士（GCT ）数学模拟试卷
7、114 答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 设两条绳索原来的长度是 xm，则 x144(x16)，解得x26m 故选 C2 【正确答案】 B【试题解析】 已知 ，即 abc14 ， 即abc64c 1，c 除得尽 64，因此 c 最小为 2bf，b 除得尽 64，因此 b 最小为 4a6，a 除得尽 64，因此 a 最小为 8又 a6c64248 ，因此正好a8，b4， c2故选 B3 【正确答案】 A【试题解析】 如图所示，直线 ykxa 与 x 轴交点为 ，与 y 轴交于(0，
8、a)由题意， 故选 A4 【正确答案】 B【试题解析】 容器中水的体积是 1026600(cm 3)由于(10025)10750600，所以水面没有没过铁块 设水面的高度为 h，则有25h600100h，从而水面的高度为 h 8(cm) 故选 B5 【正确答案】 B【试题解析】 从 20 个人中选出 2 人的所有选法为 C202190 种，2 人来自同一学校的所有选法为 C112C 42C 525561071 种所以 2 人不是同一学校的选法共有 19071119 种 故选 B6 【正确答案】 C【试题解析】 一个窗口排队人数超过 15 的概率为 0250200505，5个工作日中，没有一天中
9、午出现超过 15 位教工排队买饭的概率是 05 5，只有一天中午出现超过 15 位教工排队买饭的概率是 C510505 4，所以有 2 天或 2 天以上中午出现超过 15 位教工排队买饭的概率是 105 5C510505 4 。 故选 C7 【正确答案】 A【试题解析】 由不等式 ，可知 x1，不等式两边乘(1x) 2，得 4(1x)(1x)2。整理得 x22x30，与 x1 联立，解集为3，1)所以 M(x3x1 不等式 x22x30 的解集为03，1所以 Nx3x1于是有 故选 A8 【正确答案】 D【试题解析】 对一切 x0，y0，由均值不等式 ，所以 A 是真命题又由 x2y 22(2
10、x2y) (x1) 2(y1) 20，故 B 也是真命题为 分析C，不妨设 xy0式子可变形为 ，等价地化为 ，所以C 也为真命题由排除法可选 D 事实上，可令 ，有 t(0，)D 的式子可化为 t212t而 t 212tt 2t1t(t1)(t 2t1)(tt 1)(tt2)(t1)，其中， ，则 t312t0故D 为假命题 故选 D9 【正确答案】 C【试题解析】 函数 ylog 2x 在定义域内是增函数，在 a，a1上当 xa1 时最大，当 xa 时最小，所以由题意得 log 2(a1)2log 2a即 n1a 2解方程 a2a10，求得 故选 C10 【正确答案】 C【试题解析】 n
11、为奇数时， 所以只要考虑 n 为偶数时各项的和而 所以数列a n各项的和等于 故选 C11 【正确答案】 B【试题解析】 圆上(x 0，y 0)点的切线方程是 x0xy 0yr 2，若切线与 x 轴和 y 轴都有交点，交点为 线段 AB 之长当x 0Jy 0时等号成立，即AB最小值为 2r 故选 B12 【正确答案】 C【试题解析】 设过 A 点水平的网格线与 BC 交于点 D记BAD 1，CAD 2，则有 1 2如图所示，从网格图上可知 tan1所以。 故选 C13 【正确答案】 A【试题解析】 C 是以(5，7)为中心，半径等于 2 的圆光线从 A 出发，经 y 轴反射到圆 C 上的某点
12、B(入射角等于反射角)，其路程等于从 A 关于 y 轴的对称点 A(1， 1)到圆 C 上点 B 的路程所以求最短的路程，就是作 A(1，1)与圆心(5，7)的连线，连线与圆的交点 D(最接近 A的交点 )，A到 D 的距离即为所求，即 故选 A14 【正确答案】 C【试题解析】 设椭圆方程为 ，ab0，则 F1(c，0)，F 2(c，0)因，所以 MF1MF2，即点 M 在以 O 为圆心，直径为 2c 的圆上点M 总在椭圆内部，即有 cb 由 a2b 2c 2，得 a22c 2。所以有 故选 C15 【正确答案】 D【试题解析】 如图所示，设菱形中心为 O菱形周长为 20cm，因此边长为5c
13、m又 AC 为 8cm，所以 菱形内切圆半径等于直角三角形 AOD 中 AD 边上的高，所以内切圆半径，内切圆面积 故选 D16 【正确答案】 C【试题解析】 因，从而应有b0，由此可得不选 A 和 D 又因 f(x)在( ， )上连续，必须有 aebx0因 ebx0，所以应使 aebx0，这样应有 a0故选 C17 【正确答案】 A【试题解析】 对 关于 x 求导得取 x一 1，代入上式得 3f(1)6f(1) 3， 3f(1)3， 即 f(1)1 故选 A18 【正确答案】 C【试题解析】 h(t) 表示 h(t)的增加速度，从图的图形上看，容器的截面积的变化规律是： 小大小大因为以匀速注
14、水，所以高度 h(t)的增加速度规律是：大小大小，显然 C 能反映这一规律 故选 C19 【正确答案】 B【试题解析】 设 ，则 F(x)在0，a上可导，且，这表明 F(x)在0 ，a上严格单调递增，从而可得F(x)0 在0，a内最多有一个实根 又 由连续函数在闭区间上的零点存在定理知存在 x0(0，a) ，使得 F(x0)0 综合上述，F(x) 0 在0，a上有且仅有一个实根 故选诜 B20 【正确答案】 A【试题解析】 如图所示，所求面积为曲线 ，y2，y 轴所围成图形面积与半径为 1 的半圆面积之差，所以 故选 A21 【正确答案】 A【试题解析】 当 ，所以有 由定积分性质有 I1I
15、2I 3 故选 A22 【正确答案】 C【试题解析】 设 ，则 A 中元素的 A21，A 22，A 23 与 D 中元素的这三个代数余子式相同因此 故选 C23 【正确答案】 B【试题解析】 由于 AA*AI，所以 ，且A *A n1又因为 A*(A*)*A * I，所以(A *)*A *(A *)1 A n2A 故选 B24 【正确答案】 A【试题解析】 设 x11x 22x 33 ，对( 1， 2， 3，)做行初等变换有当 b2 时，线性方程组x11x 22x 33 无解，所以 不能由 1， 2， 3 线性表出注意 b2 时，a1 或 a1， 都可由 1， 2， 3 线性表出故选 A25 【正确答案】 B【试题解析】 选项 A，有三个不同的特征值，所以可以对角化对于选项 B，设B 中矩阵为 B，则 矩阵 B 的特征值为 1 20， 34 对于二重特征值 0，有 ，r(BI)2，所以齐次线性方程组(BI)x0 的基础解系中只有一个向量，即 0 只有一个线性无关的特征向量，因此 B 没有 3 个线性无关的特征向量从而 B 不能对角化。 注选项 C 中的矩阵是对称矩阵，所以可以对角化 设选项 D 中的矩阵为 D，则 对于二重特征值 0，有 r(DI)1，所以二重特征值 0 对应于两个线性无关的特征向量，故 D 中的矩阵可以对角化
