1、工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 116 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 （A）（B）（C）（D）2 如果一个三角形的三边之比为 2：2：3，那么这个三角形 （A）一定有一个角是直角（B）一定有一个角是钝角（C）所有的角都是锐角（D）三个角的大小不能确定3 长度是 800m 的队伍的行军速度为 100mmin，在队尾的某人以 3 倍于行军的速度赶到排头，并立即返回队尾所用的时间是 min。（A）2（B）（C） 4（D）64 一水池有两个进水管 A，B，一个出水管 C若单开 A 管，12h 可灌满水池，单开
2、 B 管， 9h 可灌满水池，单开 C 管，满池的水 8h 可放完现 A，B，C 三管齐开，则水池灌满水需要 （A）13h24min（B） 13h48min（C） 14h24min（D）14h48min5 4 对夫妇围成一圈，每对夫妇夫妻两人都相邻的排法有 种（A）16（B） 24（C） 96（D）3846 某班共有 41 名学生，其中有 2 名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字老师随机请 2 名同学解答问题，习惯用左手写字和习惯用右手写字的同学各有 1 人被选中的概率是 （A）（B）（C）（D）7 已知 f(x)是定义在(，)上的奇函数，且 yf(x)的图像关于直线 对称，则 f(
3、1)f(2) f(3)f(4) f(5) （A）0（B） 1（C） 3（D）58 已知 x0，y0，且 2x3y6，则 （A）有最大值 1（B）有最小值 1（C）有最大值（D）无最大、最小值9 设 是方程 x910 的一个根，则 2 3a 8 （A）8（B） 0 或 8（C） 1（D）1 或 810 已知等差数列a n满足 a1a 2a 1010，则有 （A）a 1a 1010（B） a2a 1000（C） a3a 990（D）a 515111 若过点 P(0，1)的直线 l 与双曲线 x2y21 有且仅有一个公共点，则直线 l 斜率所取值的集合为 （A） 1， 1（B）（C）（D）12 已知
4、 ，则 tan2x （A）（B）（C）（D）13 过直线 上的点作圆 x2y 21 的切线，此点与切点间长度的最小值是 （A）（B）（C） 2（D）14 一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，其方程为 x22y(0y20)杯内放入一个球，如图所示，要使球触及酒杯底部，则球半径的取值范围是 （A）(0 ，1（B）（C）（D）15 一个四面体的体积为 V，若过四面体交于每个顶点的三条棱的中点作截面，沿所作的四个截面切下该四面体的 4 个“角”(4 个小四面体)，则余下部分的体积为 （A）（B）（C）（D）16 （A）0（B） 1（C） 2（D）不存在17 设常数 k0，方程 在(0，)内根的个数为 （
5、A）0（B） 1（C） 2（D）318 图中给出了 f(x)的图形，设有以下结论： f(x)的单调递增区间是(2，4)(6，9)； f(x)的单调递增区间是(1，3)(5，7)(8，9) ； x1，x 3，x5，x 7 是 f(x)的极值点； x1，x3，x5，x7 是曲线yf(x)的拐点横坐标则以上结论中正确的是 （A），（B） ，（C） ，（D），19 设 （A）0（B） 1（C）（D）20 设 g(x)为连续函数，且满足 （A）0（B） 0（C） 0（D）无法确定21 设 f(x)是连续函数，且严格单调递减，0 ，I 1，则 （A）I 1I 2（B） I1I 2（C） I1I 2（D）I
6、 1 与 I2 的关系不确定22 设 A 是三阶矩阵，且A ，则(2A) 1A * （A）（B） 2（C） 5（D）23 设矩阵 A ，B 为某个三阶非零矩阵，且 AB0，则 t 的值等于 （A）0（B） 3（C） 3（D）无法确定24 向量组 1(1 ，1，2) T， 2(3，t，1) T， 3(0，2，t) T 线性无关的充分必要条件是 （A）t5 或 t2（B） t5 且 t2（C） t5 或 t2（D）A，B，C 均不正确25 A 是 mn 矩阵，r(A)r，B 是 m 阶可逆方阵， C 是 m 阶不可逆方阵，且 r(c)r，则 （A）BAx0 的基础解系由 nm 个向量组成（B） B
7、Ax 0 的基础解系由 nr 个向量组成（C） CAx 0 的基础解系由 nm 个向量组成（D）CAx0 的基础解系由 nr 个向量组成工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 116 答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 故选 B2 【正确答案】 B【试题解析】 设三角形的三边长分别为 2a，2a，3a(a0)因为(2a) 2(2a)28a 2(3a) 2，所以长为 3n 的边所对的角是钝角。 故选 B3 【正确答案】 D【试题解析】 如图所示，设某人赶到排头所用的时间为 t1，则有 30
8、0t1 800100t 1，t 14(min)再设某人从排头返回队尾所用的时间为 t2，则有 100t1 300t1 800，t 22(min)因此总共用了 6min 故选D4 【正确答案】 C【试题解析】 由题意，A 管每小时灌入满池水量的 ，B 管每小时灌入满池水量的 ，C 管每小时放出满池水量的 三管齐开，则每小时灌入满池水量的，因此水池满水需要 故选 C5 【正确答案】 C【试题解析】 将每对夫妇看作一个整体，4 个排队有 4!24 种不同排法围成首尾相接的圈后，ABCD，DABC，CDAB BCDA 这 4 种排法没有区别，所以 4 个人围成一圈共有 种不同排法 由于每对夫妇夫妻两人
9、交换位置后会得到另外一种排法，所以每对夫妇夫妻两人都相邻的排法有 6222296 种 故选 C6 【正确答案】 C【试题解析】 从 41 名学生中随机叫出 2 人的不同方式共有 ，习惯用左手写字和习惯用右手写字的同学各有 1 人被选中的方式共有 C21C391239，所以要求的概率为 故选 C7 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)是奇函数，所以 f(0)0图像关于 对称，得 f(1)f(0)0f(x)是奇函数，所以 f(1)0图像关于 对称，f(2) f(1)0由此类推得 f(1)f(2)f(3) f(4)f(5)0 故选 A8 【正确答案】 A【试题解析】 2x3y6， 因 x0，y0
10、函数 是增函数的定义域是 0y2，当 y1 时，y(2y)取得最大值 1，以 y1代入， 的最大值为 1 故选 A9 【正确答案】 D【试题解析】 a 满足方程 x910，则 a910， (a1)(1aa 2a 2)0 若 a1，则 aa 2a 88 若 a1，则 1aa 2a 80，所以aa 2a 81 故选 D10 【正确答案】 C【试题解析】 从已知条件，有 ，其中 a1 为a n的首项，d 为公差，所以有 a 150d 0 ，即有 a 510， a 1a 1012a1100d 0， a2a 1002a 1100d 0， a3a 992a 1100d 0 只有 C 是正确的 故选 C11
11、 【正确答案】 C【试题解析】 直线 l 与双曲线有一个交点，交点坐标满足 将 y 代入第二个方程，得到 x 满足的方程 (1k 2)x22kx20 (*) 当 1k20，即k1 时，方程 (*)是一次方程，有唯一的解 当 1k20 时(*)为二次方程，其判别式 4k 28(1 一 k2)84k 2当且只当 时，0，此时方程(*)有唯一的实根所有斜率 k 可取的值为 1，1， 故选C12 【正确答案】 B【试题解析】 故选B13 【正确答案】 B【试题解析】 过直线上一点(x 0，y 0)作圆的切线，由勾股定理可知，此点与切点间线段的长度为 ，由直线方程 ，所以 ，当 时，所求线段的长最短，其
12、值为 故选 B14 【正确答案】 A【试题解析】 设球半径为 r，在轴截面上截球得圆方程 x2(yr) 2r 2若球触及底部，则曲线 x22y 与下半圆 (rxr ，y0)除(0，0) 外没有其他交点，将 x22y 代入下半圆方程，整理得 y 22(r1)y0，解出 y0 和y2(r1)因 y0，若 r1，则抛物线与圆有(0 ，0) 之外的交点，所以r(0，1 故选 A15 【正确答案】 C【试题解析】 如图所示切下一个“角”，切下的小四面体各棱长和高均为对应的大四面体各棱长和高的 所以小四面体的体积为大四面体体积的 余下部分的体积为 故选 C16 【正确答案】 B【试题解析】 故选 B17
13、【正确答案】 C【试题解析】 设 ，x(0，) ，则 令 f(x)0，得 xe当 0xe 时，f(x)0，因此f(x)在(0，e上单调增加；当 ex 时，f(x) 0，因此 f(x)在(e，) 上单调减少，从而 xe 是 f(x)的唯一极大值点，因此它是最大值点，最大值 f(e)k0 由及极限的保号性质，存在 x1，0x 1e，使得 f(x1)0同理存在x2e，使得 f(x2)0 f(x)在x 1，e ，e，x 2上利用连续函数的零点存在定理，得出 f(x)在( 1，e)，(e，x 2)内各至少有一个零点的结论又 f(x)在(x 1，e)，(e ，x 2)内是单调的因而 f(x)在(x 1，
14、e)，(e，x 2)内最多各有一个零点综合上述，f(x)在(x1，e)和(e，x 2)内各有一个零点，即方程 f(x)0 在(x 1，e)及(e ，x 2)内各有一个根 故选 C18 【正确答案】 D【试题解析】 如图所示，在区间(2，4)(6，9)上， f(x)的图形在 x 轴上方，所以f(x)0因此 yf(x)在(2，4)(6，9)上单调增加又 f(x)在x1，x3，x5，x7 两侧单调性发生了变化，所以，上述四个点均为曲线yf(x)拐点的横坐标 故选 D19 【正确答案】 D【试题解析】 用分部积分法得 注意， 故选 D20 【正确答案】 C【试题解析】 故选 C21 【正确答案】 A【
15、试题解析】 由积分中值定理 因 f(x)是严格单调递减函数，而 1 2，所以 f()f() 因此 I1I2F( 1)一 F(2)0，从而 I1I 2故选 A22 【正确答案】 B【试题解析】 故选 B23 【正确答案】 C【试题解析】 AB0，所以 B 的列向量是方程组 Ax0 的解向量B 又是非零矩阵，因此至少有一列向量不是零向量，这说明 Ax0 有非零解，所以A 07(t8)7117(t 3)，所以 t3 故选 C24 【正确答案】 B【试题解析】 本题中向量的个数与维数相等，它们线性无关的充要条件是它们组成的行列式 1230，而 所以， 1230 t5且 t一 2 故选 B25 【正确答案】 B【试题解析】 Ax0 的基础解系含有 nr 个解向量，又因矩阵 B 为可逆方阵，所以 BAx0 与 Ax0 是同解线性方程组，因而，应选 B，而不选 Ar(CA)minr(A)，rC) r，因而 CAxO 的基础解系所含解向量个数大于 nr由于矩阵 C 是一个不可逆矩阵，且 r(c)r ，矩阵 A 是 mn 矩阵，r(A)r，所以 rCm，r(CA)minr(A) ，rC m，因而 CAx0 的基础解系中所含解向量个数大于 nm，所以 C 和 D 都不正确故选 B
