1、工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 120 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 （A）（B） 2（C）（D）32 某足球邀请赛共有 6 支球队参加先将 6 支球队分成两组，每组 3 队进行单循环赛，每组前两名进入第二阶段，进行淘汰赛决出冠、亚军本次邀请赛的比赛场次共有 场（A）5（B） 6（C） 9（D）103 A 车以 110kmh 的速度由甲地驶往乙地，同时 B，C 两车分别以 90kmh 和70kmh 的速度自乙地驶向甲地途中 A 车与 B 车相遇 1h 后才与 C 车相遇，甲、乙两地的距离为 km （A
2、）3800（B） 3600（C） 2000（D）18004 某公司参加一次植树活动，平均每人要植树 6 棵若只有女员工完成，每人应植树 10 棵；若只有男员工完成，每人应植树 棵（A）12（B） 13（C） 14（D）155 某公司的员工中，拥有本科毕业证、计算机等级证、汽车驾驶证的人数分别为130，110，90又知只有一种证的人数为 140，三证齐全的人数为 30，则恰有双证的人数为 （A）45（B） 50（C） 52（D）656 甲、乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标的概率为 ，乙每次击中目标的概率为 ，则甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率是 7 实数 a，b 满足 ab0 ，集合
3、A0 ，a，b，Bxxuv，u，vA)，则集合 B 的子集共有 个（A）2（B） 4（C） 8（D）168 已知不等式 ax2bx2 0 的解集是 ，则 a 一 b 等于 （A）4（B） 14（C） -10（D）109 设函数 f(x)(xR)为奇函数，且 f(1) ，f(x 2) f(x) f(2)，则 f(5) （A）0（B） 1（C）（D）510 数列a n前 n 项和为 Sn已知点 (nN*)均在直线 y3x2 上，则a n是 （A）首项为 1 的等差数列（B）首项为 2 的等差数列（C）首项为 1 的等比数列（D）首项为 2 的等比数列11 ABC 中，已知 AB20，AC16，BC
4、12以 AB 上的高 CD 为直径作一圆，圆与 AC 交于 M，与 BC 交于 N，则 MN （A）10（B） 15（C）（D）12 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 a，b，c 成等比数列，且c2a，则 cosB 等于 13 由直线 l：yx1 上一点向圆 C：(x3) 2y 2 1 作切线，则切线长的最小值为 （A）1（B）（C）（D）314 椭圆 的两个焦点为 F1、F 2，过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，其一个交点为 P，则PF 2 （A）（B）（C）（D）415 15某直角三角形中，斜边上的中线长为 25，周长为 12，则此三角形面积为 （A）125
5、（B） 12（C）（D）616 设 则 （A） 不存在（B） 存在，但 gf(x)在 x0 处不连续（C）在 x0 处 gf(x)连续但不可导（D）在 x0 处 gf(x)可导17 设 f(x)和 g(x)是如图所示的两个逐段线性函数，u(x) fg(x)，则 u(2) （A）2（B） 2（C） 1（D）-118 设 f(x)在 x1 处有连续导数，又 ，则 （A）x1 是曲线 yf(x)的拐点的横坐标（B） x1 是 yf(x)的极小值点（C） x1 是 yf(x)的极大值点（D）x1 既不是 yf(x)的极值点，又不是曲线 yf(x)拐点的横坐标19 设曲线 ，则 （A）曲线 f(x)，g
6、(x) 都有垂直渐近线（B）曲线 f(x)，g(x) 都无垂直渐近线（C）曲线 f(x)有垂直渐近线，曲线 g(x)无垂直渐近线（D）曲线 f(x)无垂直渐近线，曲线 g(x)有垂直渐近线20 设函数 yf(x)可导，f(x)0，f(x) 0，则当x0 时 21 曲线 yx 2 与直线 x0，x1，yt(0t1)所围图形的面积情况为 （A）当 时，面积最大（B）当 时，面积最小（C）当 时，面积最大（D）当 时，面积最小22 已知 A 是 n 阶矩阵，且满足关系式 A23A4I0则(A J) 1 （A）A 1 I（B）（C）（D）A4I23 A 是三阶可逆矩阵，且各列元素之和均为 2，则 （A
7、）A 必有特征值 2（B） A1 必有特征值 2（C） A 必有特征值2（D）A 1 必有特征值224 设向量 可由 1， 2， s 线性表出，但不能由向量组 (I)： 1， 2， s1线性表出，记向量组() ： 1， 2， s1 ，则 s （A）不能由(I)，也不能由 ()线性表出（B）不能由(I)，但可由( ) 线性表出（C）可由 (I)，也可由() 线性表出（D）可由(I)，但不能由 ()线性表出25 设 A 是 mN 矩阵，b 是 NM 矩阵，则对于线性方程组(AB)x 0，下列结论必成立的是 （A）当 nm 时，仅有零解（B）当 nm 时，必有非零解（C）当 mn 时，仅有零解（D）
8、当 mn 时，必有非零解工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 120 答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 故选 D2 【正确答案】 C【试题解析】 6 支球队分成两组，每组 3 队进行单循环赛，每组需进行 3 场比赛，两组共需 6 场第二阶段淘汰赛又比 3 场，因此共 9 场比赛故选 C3 【正确答案】 D【试题解析】 设甲、乙两地的距离为 Z(km)，根据题意得 ，其中，200 为 A，B 两车的相对速度，180 为 A，C 两车的相对速度由上式得知l1800(km) 故选 D4 【
9、正确答案】 D【试题解析】 假设该公司参加植树的员工总人数为 x，其中女员工人数为 y由题设得 6z10y ，即 故男员工人数为 ，所以每人应植树的棵数为故选 D5 【正确答案】 B【试题解析】 设恰有双证的人数为 z，则根据题意可知1402x33013011090，解得 x50故选 B6 【正确答案】 B【试题解析】 甲恰好比乙多击中目标 2 次的情况是：甲击中 2 次而乙没有击中，或甲击中 3 次而乙只击中 1 次 甲击中目标 2 次而乙没有击中目标的概率为 甲击中目标 3 次而乙只击中目标 1 次的概率为 所以甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率为 故选 B7 【正确答案】 D【试题解析】
10、 集合 B 的元素共有 4 个(不是 33，也不是 C32)，即B0，ab，a 2，b 2)B 的子集数目是 2416 故选 D8 【正确答案】 C【试题解析】 如果 a0，不等式成为一次不等式或退化为 20，其解集不会是由二次函数和不等式的性质，有 所以有，b2所以 a 一 b10 故选 C9 【正确答案】 C【试题解析】 由条件，f(x)为奇函数， ，f(x2)f(x) f(2)，所以 f(1)f(12)f( 1) f(2)一 f(1)f(2)即得 f(2)2f(1) 2 1， f(5)f(32)f(3)f(2)f(12)f(2) f(1) 2f(2) 故选 C10 【正确答案】 A【试题
11、解析】 点 在直线 y3x2 上，故 3n2，即 Sn3n 22n 当n2 时 anS n 一 Sn1 (3n2n)一3(n1) 22(n1) 6n5当 n1 时 a1S 131 2211615所以有 an6n 5(n N*)，a n是首项为 1，公差为 6 的等差数列 故选 A11 【正确答案】 C【试题解析】 由ABC 的边长，可知它是一个直角三角形(见图)且故选 C12 【正确答案】 B【试题解析】 a，b ，c 成等比数列满足 b2ac又 c2a，所以 b22a 2，由余弦定理 故选 B13 【正确答案】 C【试题解析】 如图所示，圆 C 的半径为 1，圆心为 C(3，0)设 A 为
12、l：yx1上任一点，作网的切线 AB，切点为 B，则 AB 2AC 21要使AB最小，只要使AC最小即可显然，当 ACl 时 AC最小，而圆心 C 到 l 的距离 AB最小故选 C14 【正确答案】 C【试题解析】 a2，b 1，所以 设 P(x0，y 0)，则 x0 ，代入椭圆方程得 ，由PF 1PF 22a，得 PF 22aPF 1 故选 C15 【正确答案】 D【试题解析】 设直角三角形 ABC 中，D 为 AC 的中点，如图所示BD25，BDCDAD，所以 ACADCD2255 又三角形周长为 12，因此 ABBC12 一 AC1257。 (ABBC) 27 249又(AB BC)2A
13、B 22AB.BC BC 2AC 22AB.BC ，所以故选 D16 【正确答案】 D【试题解析】 故选 D17 【正确答案】 D【试题解析】 根据题设可得，当 x0，3 时，f(x)x3，g(x)x，故当 x2时，g(2)20 ，3于是得 u(2)是 f(x)在0，3上的直线斜率，即 u(2)1故选 D注意 本题只需讨论 (0， 3内的情形，不需花时间讨论3，6上 f(x)与 g(x)的表达式；从几何上讨论简单得多，如果求出 fg(x)，再求 u(2)就复杂了18 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x)在 x1 处连续及 可得 f(1)0又 f“(1)，所以 x1 是函数 yf(x)的极
14、小值点，而不是曲线 yf(x)拐点的横坐标 故选 B 注意 由题设 和极限的保号性质可知，存在 0，当 1 一 x1 时，f(x)0；当 1x1 时，f(x)0由取得极值的第一充分条件可得 x1 是函数 yf(x)的极小值点19 【正确答案】 C【试题解析】 ，所以x0 是 f(x)的垂直渐近线 ，所以 x0 不是 g(x)的垂直渐近线 由此可得出 f(x)有垂直渐近线，g(x) 无垂直渐近线 故选 C 注意 ，因此 f(x)，g(x) 都无水平渐近线 在中只要有一个极值为，就可得出 xx 0 是 f(x)的垂直渐近线20 【正确答案】 D【试题解析】 由积分中值定理知，存在 x0(x，x)，
15、使得 因 f(x)0，所以 f(x)是严格单调递增函数，因而 f(x0)f(x)，于是 故选 D21 【正确答案】 B【试题解析】 由题意得，曲线 yx 2 与 3 条直线所围图形面积令 S0 得唯一的驻点是唯一的极小值点因此它是最小值点，即当 t 时，S 取最小值 故选 B22 【正确答案】 C【试题解析】 由 A23A4I0，可得(AI)(A2I) A 23A2I2I ，即故选 C23 【正确答案】 A【试题解析】 设由此可知2 是 AT 的一个特征值又 AT 与 A 有相同的特征值，所以 2 是 A 的特征值，而 是 A1 的一个特征值 故选 A 本题也可以直接利用特征值的计算公式求解由
16、于所以2 是A 一 I0 的解 故选 A24 【正确答案】 B【试题解析】 由 可由 1， 2， s 线性表出，但不能由 1， 2， s1 表出，可得 k 11，k 22，k ss，k s0，所以 这表明 s 可由向量组()线性表出，但 s 不能由向量组(I)线性表出，否则 也可由向量组(I)线性表出，这与题设矛盾 故选 B 用特殊值代入法设 (0，2)T， 1(1，0) T， 2(0，1) T，题目中的 s 为 2易知， 可由 1， 2 线性表出，但不由向量组(I)： 1 线性表出，向量组 ()为 ， 1，显然 ，即 2可由向量组() 线性表出，但不解由向量组(I)即 1 线性表出( 因 1， 2 线性无关)。25 【正确答案】 D【试题解析】 判断齐次线性方程组(AB)x0 解的情况，就是要讨论系数矩阵 AB的秩与未知量个数的关系本题中，AB 是 mm 矩阵，未知量个数为 m因 r(AB)r(A)minm，n，所以当 mn 时，minm，n nm，因而 r(AB)nm，因此方程(AB)x0 有非零解，(D)正确而当，n m 时，r(AB)r(A)minm，nm ， r(AB)m，不能断定 r(AB)m必成立，还是 r(AB)m 必成立，两种都有可能，因此(A)、(B)错故选 D
