1、工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 125 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 （A）（B）（C） 20（D）2 甲、乙同学帮助学校图书馆清点一批图书，已知甲同学清点 200 本图书与乙同学清点 300 本图书所用的时间相同，且甲同学平均每分钟比乙同学少清点 10 本，则甲同学平均每分钟清点图书的数量是 本（A）10（B） 20（C） 30（D）403 一卡车从甲地驶向乙地，每小时行驶 60km另一卡车从乙地驶向甲地，每小时行驶 55km两车同时出发，在离中点 10km 处相遇，甲乙两地之问的距离为 1Km（A
2、）115（B） 230（C） 345（D）4604 若实数 a， b，c 满足 abc0，且 abc0，则 （A）2（B） 1（C） 1（D）25 已知复数 z 满足 ，则z 4 （A）1（B） 2（C） 4（D）166 设某种证件的号码由 7 位数字组成，每个数字可以是数字 0，1，2，9 中的任一个数字，则证件号码由 7 个完全不同的数字组成的概率是 7 函数 (x1)的反函数是 （A）yx 22x2(x1)（B） yx 22x2(x1)（C） yx 22x(x1)（D）yx 22x(x1)8 设 和 是二次方程 ax2bxc0 的两个根，则 9 yf(x)是定义在(一，)上周期为 4 的
3、函数，且 f(0)3，f(1)2，f(2)4，f(3)0，则 （A）0（B） 4（C） -4（D）610 在 之间插入 3 个数，使这 5 个数成等比数列，则插入的 3 个数的乘积为 （A）144（B） 216（C） 256（D）51211 一圆的圆心在直线 y8 上该圆与坐标轴交于(3，0)和(9，0)点，则圆心到坐标原点的距离为 （A）8（B）（C） 10（D）12 设 ， ，tan 和 tan 是方程 x2 一 40 的两个不等的实根，则 等于 13 设 F 为抛物线 y22pz(p0)的焦点，点 A，B 和 C 均在抛物线上若 （A）3p（B） 4p（C）（D）2p14 已知椭圆的焦点
4、为 F1 与 F2，两条准线与长轴所在直线交点分别为 M 与 N，若MN2F 1F2，则椭圆离心率的取值范围为 15 一个点到圆的最大距离是 12cm，最小距离是 8cm，则圆的半径是 cm （A）2（B） 10（C） 2 或 10（D）4 或 2016 设函数 yf(x)由方程 xylny1 确定，则 17 f(x)为可导函数，它在 x0 的某邻域内满足 f(1x)2f(1 一 x)3xo(x)，其中 o(x)是当 xo 时比 x 高阶的无穷小量，则曲线 yf(x)在 x1 处的切线方程为 （A）yx2（B） yx1（C） yx1（D）yx218 设 (0x1)，则 19 f(x)在( 一，
5、) 上连续，且 f(x)0，则 F(x) (x2 一 t2)f(t)dt 的单调性为 （A）在(一 ，) 上单调增加（B）在 (一，)上单调减少（C）在 (一，0)上单调增加，在(0，) 上单调减少（D）在( ，0) 上单调减少，在(0，)上单调增加20 已知 xlnx 是 f(x)的一个原函数，且 ，则 a （A）（B）（C） 1（D）21 曲线 ye x sinx(0x3)与 x 轴所围成的面积可表示为 22 若行列式 的元素 a21 的代数余子式 A2110，则 a 的值等于 .（A）0（B） 3（C）（D）无法确定23 已知 AB 2 一 B，其中 n 阶方阵 A 的秩为 （A）0（B
6、） 1（C） n1（D）n 24 设向量组 1， 2， 3 线性无关，向量 1 能由 1， 2， 3 线性表出，向量 2 不能由 1， 2， 3 线性表出，则必有 （A） 1， 2， 1 线性相关（B） 1， 2， 1 线性无关（C） 1， 2， 2 线性相关（D） 1， 2， 2 线性无关25 线性方程组 当 （A）m1 时，线性方程组有无穷多解（B） m1 时，线性方程组有无穷多解（C） m1 时，线性方程组无解（D）m1 时，线性方程组无解工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 125 答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题
7、目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 故选D2 【正确答案】 B【试题解析】 设甲同学平均每分钟清点图书 x 本，则乙同学平均每分钟清点图书x10 本，依题意，得 ，解得 x20 故选 B3 【正确答案】 D【试题解析】 相遇时从甲地开往乙地的卡车比从乙地驶向甲地的卡车多走102 20km，两车速度相差 5kmh ，因此相遇时两车各走了 2054(h)两车相向而行，各走 4h 相遇，因此甲、乙两地之间距离为(6055)4 460(km)故选 D4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 ab c0，abc0，所以实数 a，b，c 中有一个正数、两个负数不妨设 a0，则 11112。故选A5 【
8、正确答案】 A【试题解析】 故选 A6 【正确答案】 D【试题解析】 所有不同号码的号码数目是 107，即基本事件的总数，其中 7 个数字完全不相同的排列数是 P10710987654 故选 D 注意 基本事件的总数是 107 而不是 10!每一位数字的取法都有 10 种可能10!相当于各位不重复的 10位数字号码总数在“从袋中取不同号码(颜色)的球”等问题中，也有“取后放回”和“取后不放回”的区别此外，还要注意“7 个不同数字”在这里是排列问题，不是组合问题7 【正确答案】 B【试题解析】 函数 的定义域是1，)，值域也是1，)由y1 两边平方，解得 x(y1) 21，即 xy 22y2得原
9、来函数的反函数是 yx 2 一 2x2，其定义域即原来函数的值域为1，) 故选 B8 【正确答案】 C【试题解析】 故选 C9 【正确答案】 D【试题解析】 因12(3)40，10242，541，1(1)43，而f(x)是周期为 4 的周期函数，所以 f(12)f(0)3，f(10)f(2)4，f(5)f(1)2，f(1)f(3)0。从而得 故选 D10 【正确答案】 B【试题解析】 这 5 个数成等比数列，设其公比为 q不妨设插入的 3 个数为，故 a6插入的 3 个数的乘积为 a3216 故选 B11 【正确答案】 C【试题解析】 设 A(3，0)，B(9，0)AB 是圆的一条弦，圆心在此
10、弦的垂直平分线x6 上所以圆心坐标为(6，8)，它到原点距离为 故选C12 【正确答案】 B【试题解析】 由二次方程根与系数的关系有 tantan ， (*) tantan4， (*)所以 (*) 由条件可推出 (一 ，)，似乎(A)，(B) ，(C)都有可能但由(*)式，tan 和 tan 同号，即 和 同属 后者和(*)式矛盾所以， ，(0，) ，由(*)式，应选(B) 故选 B13 【正确答案】 A【试题解析】 抛物线 y22px 焦点为 设A(xA，y A)， B(xB，y B)，C(x C，y C)，由 投影到 x 轴有故选 A14 【正确答案】 D【试题解析】 设椭圆为 (ab0)
11、，则长轴在 z 轴，焦点为 F1(一 c，0)，F2(c，0) ，准线为 故选 D15 【正确答案】 C【试题解析】 点到圆的最小距离是 8cm，因此点不在圆周上，如图所示当点在圆外时，圆直径等于点到圆的最大距离减去最小距离，因此圆直径为12cm8cm 4cm ，半径为 2cm当点在圆内时，圆直径等于点到圆的最大距离加上最小距离，因此圆直径为 12cm8cm 20cm，半径为 10cm，所以圆半径为2cm 或 10cm 故选 C16 【正确答案】 D【试题解析】 观察方程 xylny1 可得当 x1 时 y1 对方程 xylny1 两边对 x 求导，得故选D17 【正确答案】 C【试题解析】
12、因此 f(1)1，所以，曲线的切线方程为 y 一 0x1故选 C18 【正确答案】 B【试题解析】 故选 B19 【正确答案】 A【试题解析】 因此在(一，)上 F(x)0从而 F(x)在(一，) 上是单调增加的 故选 A20 【正确答案】 A【试题解析】 由题设(xlnx)f(x) ，所以故选 A21 【正确答案】 C【试题解析】 当 0x 或 2x3 时 y0；当 x2 时，y0 所以ye x sinx(0x3)与 x 轴围成的面积为故选 C22 【正确答案】 B【试题解析】 由 ，可知 a3 故选B23 【正确答案】 B【试题解析】 由于 AB 2 一 BB(B 一 I)，而 r(B)n
13、， r(B 一 I)1， 所以 r(A)r(B 一 I) 1 故选 B24 【正确答案】 D【试题解析】 1 能由 1， 2， 3 线性表出，只能断定向量组 1， 2， 3， 1 线性相关，不能确定 1， 2， 1 是否线性相关和线性无关例如 1(1，0，0)T， 2(0，1，0) T， 3(0，0，1) T，当 1(0， 0，2) T 时， 1， 2， 1 线性无关，当 1(2，0，0) T 时， 1， 2， 1 线性相关，因此不选(A)和(B) 又设1 (1，0，0，0) T， 2(0，1，0，0) T， 3(0， 0，1，0) T， 2(0，0，0，1) T，则 1， 2， 2 线性无关，因此不选(C) ，由排除法选(D) 事实上，因 1， 2， 3线性无关， 2 不能由 1， 2， 3 线性表出，所以 1， 2， 2 线性无关，从而部分组 1， 2， 2 线性无关 故选 D25 【正确答案】 B【试题解析】 由此可见，无论 m 取何值，都有 ，因此，线性方程组总是有解的，排除(C)，(D) 当 m1 时， ，线性方程组有无穷多解 故选B注 当 m1 时， ，线性方程组有唯一解
