1、工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 151 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 3 4 由动点 P 向圆 x2y 2 2 引两条切线 PA，PB，切点分别为 A 和 B，且APB60，则动点 P 轨迹为 （A）椭圆（B）圆（C）双曲线（D）抛物线5 6 7 8 9 设 1， 2， 3， 4 是齐次线性方程组 Ax0 的基础解系，则 Ax0 的基础解系还可以是 （A） 12， 2 3， 34， 4 1（B） 1 2， 2 3 4， 12 3（C） 1 2， 2 3， 3 4， 4 1（D） 1 2， 2 3，
2、 3 4， 4 110 若 =( )（A）9（B） 10（C） 11（D）1211 一个四面体的体积为 V，若过四面体交于每个顶点的三条棱的中点作截面，沿所作的四个截面切下该四面体的 4 个“角”(4 个小四面体)，则余下部分的体积为 (图所示为一个“角”的情形)12 设某种证件的号码由 7 位数字组成，每个数字可以是数字 0，1，2，9 中的任一个数字，则证件号码由 7 个完全不同的数字组成的概率是 （A）（B）（C）（D）13 14 15 16 17 设向量组 1， 2， 3 线性无关，向量 1 能由 1， 2， 3 线性表出，向量 2 不能由 1， 2， 3 线性表出，则必有 （A） 1
3、， 2， 1 线性相关（B） 1， 2， 1 线性无关（C） 1， 2， 2 线性相关（D） 1， 2， 2 线性无关18 19 20 某单位招聘员工，报名表来自两个地区，各有 10 份和 15 份，其中女生的报名表分别有 3 份和 7 份今随机地选择一个地区，然后从该地区的报名表中抽出两份，抽到的两份都是女生报名表的概率是 21 22 设 A 是 mN 矩阵，b 是 NM 矩阵，则对于线性方程组(AB)x 0，下列结论必成立的是 （A）当 nm 时，仅有零解（B）当 nm 时，必有非零解（C）当 mn 时，仅有零解（D）当 mn 时，必有非零解23 某洗衣机生产厂家，为了检测其产品无故障的启
4、动次数，从生产的一批洗衣机中任意抽取了 5 台，如果测得的每台无故障启动次数分别为11300，11000，10700，10000，9500，那么这批洗衣机的平均无故障启动次数大约为 （A）10300（B） 10400（C） 10500（D）1060024 若 f(x)在a，b上具有连续的导数，且 f(a)f(b)0，又，则 （A）（B） 1（C） 0 （D）25 工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 151 答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 2 【正确答案】 A【试题解析】 3 【正
5、确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 B【试题解析】 如图所示，圆半径为 ，直角PAO 中 OA ， APO30 ，故 PO 即动点 P 到原点距离为常数 ，其轨迹为圆 x2y 28 故选 B5 【正确答案】 A【试题解析】 6 【正确答案】 D【试题解析】 7 【正确答案】 A【试题解析】 8 【正确答案】 B【试题解析】 9 【正确答案】 D【试题解析】 由题目条件知 Ax0 的基础解系中含有 4 个线性无关的解向量，而B 中仅有 3 个解向量，个数不符合要求，故不选 B 容易观察到选项 A，C 中的向量满足 ( 12)( 2 3)(34)(4 1)0， ( 1 2)(2 3)(3
6、4)一( 4 1)0 这表明 A，C 中的解向量都线性相关，虽然 A，C 含有 4个解向量但 A，C 都不是 Ax0 的基础解系 由排除法，正确选项为 D 故选D10 【正确答案】 C【试题解析】 11 【正确答案】 C【试题解析】 如图所示切下一个“角”，切下的小四面体各棱长和高均为对应的大四面体各棱长和高的 所以小四面体的体积为大四面体体积的 余下部分的体积为 故选 C12 【正确答案】 D【试题解析】 所有不同号码的号码数目是 107，即基本事件的总数，其中 7 个数字完全不相同的排列数是 P10710987654 故选 D 注意基本事件的总数是107 而不是 10 1每一位数字的取法都
7、有 10 种可能10!相当于各位不重复的 10 位数字号码总数在“从袋中取不同号码(颜色)的球”等问题中，也有“敢后放回”和“取后不放回”的区别此外，还要注意“7 个不同数字”在这里是排列问题，不是组合问题13 【正确答案】 C【试题解析】 14 【正确答案】 A【试题解析】 15 【正确答案】 A【试题解析】 16 【正确答案】 D【试题解析】 17 【正确答案】 D【试题解析】 1 能由 1， 2， 3 线性表出，只能断定向量组 1， 2， 3， 1 线性相关，不能确定 1， 2， 1 是否线性相关和线性无关例如 1(1，0，0)T， 2(0，1，0) T， 3(0，0，1) T，当 1(
8、0， 0，2) T 时， 1， 2， 1 线性无关，当 1(2，0，0) T 时， 1， 2， 1 线性相关，因此不选(A)和(B) 又设1 (1，0，0，0) T， 2(0，1，0，0) T， 3(0， 0，1，0) T， 2(0，0，0，1) T，则 1， 2， 2 线性无关，因此不选(C) ，由排除法选(D) 事实上，因 1， 2， 3线性无关， 2 不能由 1， 2， 3 线性表出，所以 1， 2， 2 线性无关，从而部分组 1， 2， 2 线性无关 故选 D18 【正确答案】 D【试题解析】 19 【正确答案】 D【试题解析】 20 【正确答案】 B【试题解析】 设两个地区分别为甲、
9、乙两地，选到甲地的概率为 ，从甲地的报名表中抽出两份，抽到的两份都是女生报名表的颦率是 选到乙地的概率为 ，从乙地的报名表中抽出两份，抽到的两份都是女生报名表的概率是. 所求概率为 故选 B21 【正确答案】 D【试题解析】 22 【正确答案】 D【试题解析】 判断齐次线性方程组(AB)x0 解的情况，就是要讨论系数矩阵 AB的秩与未知量个数的关系本题中，AB 是 mm 矩阵，未知量个数为 m因 r(AB)r(A)minm，n，所以当 mn 时，minm，n nm，因而 r(AB)nm，因此方程(AB)x0 有非零解，(D)正确而当，n m 时，r(AB)r(A)minm，nm ， r(AB)m，不能断定 r(AB)m必成立，还是 r(AB)m 必成立，两种都有可能，因此(A)、(B)错故选 D23 【正确答案】 C【试题解析】 这 5 台洗衣机的平均无故障启动次数为 故选 C24 【正确答案】 D【试题解析】 故选 D25 【正确答案】 D【试题解析】
