1、工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 153 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 3 方程 的根的个数是( )。（A）0（B） 1（C） 2（D）34 向量组 1( 1，2， 1，1) T， 2(1，3，2，1) T， 3 一(0，1，1，0)T， 4(1，4，3，4) T 的极大线性无关组是 （A） 1， 2， 2（B） 1， 2， 2（C） 1， 2（D） 3， 45 一元二次方程 x2-x-3=0 的两个根的倒数和等于( )。 6 7 下列函数中，既是奇函数又在1，1上单调递减的函数是 （A）f(x)s
2、inx（B） f(x) x1（C） f(x) (axa x)(a0，a1)（D）8 9 设圆柱体的底半径和高之比为：1：2，若体积增大到原来的 8 倍，底半径和高的比值仍为 1：2，则底半径增大到原来的( )。（A）4 倍（B） 3 倍（C） 25 倍（D）2 倍10 11 12 设 A 是三阶矩阵，且A ，则(2A) 1A * （A）（B） 2（C） 5（D）13 14 15 16 如图，矩形 ABCD 中，由 8 个面积均为 1 的小正方形组成的 L 型模板如图放置，则矩形 ABCD 的周长为( ) 17 18 19 20 下列 4 个式子中，对一切非零实数 x 都成立的是 （A）（B）
3、lnx22lnx（C） arcsin(sinx)x（D）21 22 已知向量 ( 1，1， k)T 是矩阵 的逆矩阵 A1 的特征向量，则 k （A）2（B） 1（C） 0（D）123 设 f(x)和 g(x)是如图所示的两个逐段线性函数，u(x) fg(x)，则 u(2) （A）2（B） 2（C） 1（D）124 设 n 维列向量 1， 2， m(mn)线性无关 (1)若 n 维列向量组1， 2， m 线性无关，则向量组 1， 2， m 可由向量组 1， 2， m线性表出； (2)若 n 维列向量组 1， 2， m 线性无关，则向量组1， 2， m 可由向量组 1， 2， m 线性表出； (
4、3)若 n 维列向量1， 2， m 线性无关，则向量组 1， 2， m 与向量 1， 2， m 等价；(4)n 维列向量 1， 2， m 线性无关的充分必要条件是矩阵A( 1， 2， m)的秩等于矩阵 B( 1， 2， m)的秩 上述命题中，正确命题的个数为 个（A）1（B） 2（C） 3（D）425 某产品由甲、乙两种物品混合而成，甲、乙两种物品所占比例分别为 x 和 y，若甲物品的价格在 60 元的基础上上涨 10，乙物品的价格在 40 元的基础上下降10时，该产品的成本保持不变，那么 x 和 y 分别等于 （A）50，50（B） 40，60（C） 60，40（D）45，55工程硕士（GC
5、T ）数学模拟试卷 153 答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 2 【正确答案】 D【试题解析】 3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 B【试题解析】 A( 1， 2， 3， 4)( 1， 2， 3， 4)，显然r(1， 2， 3， 4)r(A)r(B) 3， 1， 2， 4 为向量组 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组 故选 B5 【正确答案】 D【试题解析】 设方程的两根为 x1,x2， 6 【正确答案】 A【试题解析】 7 【正确答案】 D【试题解析】
6、先考查奇偶性易见 A 奇，B 非奇非偶， C 偶再看 D： 所以 A，D 为奇函数再考查它们的单调性f(x)sinx 在 上单调增，而 157， 1，1 ，所以 f(x)在 1，1上单调增故排除 A 故选 D 事实上，若令因 x(2， )时 g(x)单调减，而 ylnx 在定义域上单调增所以复合函数 lng(x)是单调减的8 【正确答案】 D【试题解析】 9 【正确答案】 D【试题解析】 设圆柱的底面半径为 r，高为 h，则 h=2r，体积 V=r2h=2r3 由题意，有 8V=2r13，即 16r3=2r13，即 r1=2r 故底面的半径增大到原来的 2倍故选 D10 【正确答案】 C【试题
7、解析】 11 【正确答案】 C【试题解析】 12 【正确答案】 B【试题解析】 故选 B13 【正确答案】 B【试题解析】 14 【正确答案】 B【试题解析】 15 【正确答案】 B【试题解析】 16 【正确答案】 D【试题解析】 设BAE=，则 AB=4cos，BC=4sin+4cos 17 【正确答案】 C【试题解析】 18 【正确答案】 B【试题解析】 19 【正确答案】 D【试题解析】 20 【正确答案】 B【试题解析】 所以 A 式子左端一定是非负数，而sin x可以是负数，A 不对一切非零实数成立 由反正弦函数的性质，(c)中式子只对 时，sinx1，而 arcsin(sinx)a
8、rcsin(1) ，所以不能选 (c) D 中式子左端 ，开方运算不是对x2 的所以 D 也不成立 只有 B 对一切非零实数 x 成立 故选 B21 【正确答案】 B【试题解析】 22 【正确答案】 D【试题解析】 设 是 所相应的特征值，则 A1 ，于是 A ，即故选 D23 【正确答案】 D【试题解析】 根据题设可得，当 x0，3 时，f(x)x3，g(x)x，故当 x2时，g(2)20 ，3于是得 u(2)是 f(x)在0，3上的直线斜率，即 u(2)1故选 D24 【正确答案】 A【试题解析】 设 1(1，0，0) T， 2(0，1，0) T， 1(1，0，0)T， 2(0，0，1)T
9、，则 1， 2 线性无关， 1， 2 也线性无关但 2 不能由 1， 2线性表出， 2 也不能由 1， 2 线性表出，因此命题(1)，命题(2)都是错误的，从而命题(3)也是错误的由排除法，只有命题(4) 是正确的 故选 A 事实上，可以证明命题(4)是正确的： 必要性 若向量组 1， 2， m 线性无关则矩阵B( 1， 2， m)的秩 r(B)m，由题设向量组 1， 2， m 线性无关，因此矩阵 A( 1， 2， m)的秩 r(A)m从而有 r(A)r(B) 充分性 因 r(A)r(B)，即 r(1， 2， m)r( 1， 2， m)又 1， 2， m 线性无关，因此 r(1， 2， m)m，故 r(1， 2， m)m，即 1， 2， m 线性无关25 【正确答案】 B【试题解析】 每生产一单位的产品，需要甲物品和乙物品的量分别是 x 和 y，其成本为 60x40y当甲、乙物品的价格改变后，其成本为 66x36y，所以 60x40y66x36y，从而 ，故 x40，y60 故选 B
