1、工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 162 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 集合0 ，1 ，2，3 的子集的个数为 ( )（A）14（B） 15（C） 16（D）182 的值是( )（A）（B）（C）（D）3 如图 1 所示，大长方形被平行于边的直线分成了 9 个小长方形，其中位于角上的3 个小长方形的面积已经标出，则角上第 4 个小长方形的面积等于( )（A）22（B） 20（C） 18（D）11254 方程 的解为( )（A）（B）（C）（D）5 甲乙两人沿同一路线骑车(匀速)从 A 区到 B 区，甲需
2、用 30 分钟，乙需用 40 分钟如果乙比甲早出发 5 分钟去 B 区，则甲出发后经( )分钟可以追上乙（A）10（B） 15（C） 20（D）256 一个圆柱形状的量杯中放有一根长为 12 厘米的细搅棒(搅棒直径不计),当搅棒的下端接触量杯下底时，上端最少可露出杯口边缘 2 厘米，最多能露出 4 厘米，则这个量杯的容积为( ) 立方厘米（A）72（B） 96（C） 288（D）3847 复数 z=i+i2+i3+i4+i5+i6+i7，则x+i=( )（A）2（B）（C）（D）18 设二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为 x=1，图像经过(2，0)则 ( )（A）3（B） 2（C
3、）一 2（D）一 39 两个不等的实数 a 与 b，均满足方程 x23x=1，则 的值等于( )（A）一 18（B） 18（C）一 36（D）3610 A，B，C ，D ，E 五支篮球队相互进行循环赛，现已知 A 队已赛过 4 场，B 队已赛过 3 场，C 队已赛过 2 场,D 队邑赛过 1 场，则此时 E 队已赛过( )（A）1 场（B） 2 场（C） 3 场（D）4 场11 过点 P(0，2)作圆 x2+y2=1 的切线 PA 和肋，A 和 B 是两个切点，则 AB 所在直线的方程为( ) （A）（B）（C）（D）12 如图 2 所示，正方形 ABCD 的面积为 1，E 和 F 分别是 A
4、B 和 BC 的中心，则图中阴影部分面积为( ) （A）（B）（C）（D）13 已知两平行平面 ， 之间的距离为 d(d0)，l 是平面 内的一条直线，则在平面 内与直线 l 平行且距离为 2d 的直线有( )（A）0 条（B） 1 条（C） 2 条（D）4 条14 正圆锥的全面积是侧面积的 倍，则该圆锥侧面展开后的扇形所对的圆心角为( )（A）（B）（C）（D）15 已知 的解集为( )（A）（B）（C）（D）(0,1)16 若 ，则必定( )（A）f(1)=4（B） f(x)在 x=1 处无定义（C）在 x=1 的某邻域(x1)中，f(x)2（D）在 x=1 的某邻域(x1)中，f(x)4
5、17 设 ，则 =( )（A）-1（B） 1（C）（D）18 设函数 f(x)可导，且 f(0)=1，f( 一 lnx)=x，则 f(1)=( )（A）2 一 e 1（B） 1 一 e1（C） 1+e1（D）e 119 图 3 中的三条曲线分别是 的图形，按此排序，它们与图中所标示 y1(x)，y 2(x)，y 3(x)的对应关系是( )（A）y 1(x)， y2(x)，y 3(x)（B） y1(x)，y 3(x)，y 2(x)（C） y3(x)，y 1(x)，y 2(x)（D）y 3(x)， y2(x)，y 1(x)20 有两个独立报警器，当紧急情况发生时，它们发出信号的概率是 095 和0
6、92，则紧急情况出现时，至少有一个报警器发出信号的概率是( )（A）0920（B） 0935（C） 0950（D）099621 已知 f(x)在0，1上连续， f(x)0，记，则( )（A）I 123（B） I312（C） I231（D）I 23222 行列式 展开式中的常数项为( )（A）4（B） 2（C） 1（D）023 A*是 的伴随矩阵，若三阶矩阵 X 满足 A*X=A，则 X 的第 3 行的行向量是( ) （A）(2;1;1)（B） (1;2;1)（C）（D）24 设 ，则当 =( )时,方程组 AX=b 无解.（A）一 2（B）一 1（C） 1（D）225 1 与-1 是矩阵 的特
7、征值，当 t=( )时，矩阵 A 可对角化。（A）一 1（B） 0（C） 1（D）2工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 162 答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 若集合中有 n 个元素，则集合子集的个数为 2n所以集合0，1，2，3的子集的个数为 24=162 【正确答案】 B【试题解析】 将分子中相邻的两个数两两结合，结果是一个等差数列，利用求和公式得到分子，即 12 一 22+32 一 42+52 一 62+72 一 82+92 一 102=一 37111519= 5(一 31
8、9)=一 55分母是一个首项为 20=1，公比为 2 的等比数列，求和得 题中原式3 【正确答案】 B【试题解析】 本题主要查的是比例性质的应用由题意， ，得 x=204 【正确答案】 D【试题解析】 本题主要考查的是非负性相加知识的应用因为所以 解得5 【正确答案】 B【试题解析】 设甲出发后 x 分钟可以追上乙，由题意，知：v 乙 (x+5)=v 甲 x 因为 v乙 ：v 甲 =3：4，所以有 3(x+5)=4x，即 x=156 【正确答案】 A【试题解析】 由题意知，倾斜放置和垂直放置的细搅棒所在平面正好将量杯分成相等的两部分，量杯的高 h=124=8，l=122=10 则量杯的底面圆直
9、径，即 r=3量杯的容积为 V=r2h=328=727 【正确答案】 C【试题解析】 先将复数 z 进行化简，z=i+i 2+i3+i4+i5+i6+i7=i 一 1 一 i=一 1 则8 【正确答案】 D【试题解析】 由题意可知图像经过(0，0)所以有 可以解得 b=一2a，代入 y=f(x)=ax2 一 2ax，所以9 【正确答案】 C【试题解析】 先对 进行通分：因为 a，b 满足 x2 一 3x=1，所以a+b=3，ab=一 1 所以10 【正确答案】 B【试题解析】 由于 A 队已赛 4 场，故 A 队必须与其他四队都比赛过；D 队已赛1 场，D 队只与 A 队比赛过；B 队已赛 3
10、 场，B 队与 A、C、E 队分别比赛过；C队已赛 2 场，C 队与 A、B 队分别比赛过所以 E 队已赛 2 场11 【正确答案】 D【试题解析】 如图所示，OA=1，OP=2 ，所以 AB 所在直线的方程为12 【正确答案】 C【试题解析】 因 E，F 分别为 AB，BC 的中点，所以 DE 和 DF 交 AC 于 M，N等分 AC，故13 【正确答案】 C【试题解析】 如图可知，满足条件的有 2 条直线14 【正确答案】 B【试题解析】 设正圆锥的底面半径为 R，母线长为 l，则圆锥侧面积=Rl 圆锥全面积=R 2+Rl 因此 故所求圆心角 选B。15 【正确答案】 B【试题解析】 即为
11、：又因为 00，x1 只要 再结合016 【正确答案】 C【试题解析】 根据极限的定义可知，某一点的极限是否存在与该点有无函数无关，因此可排除 A、B 两项；f(x)=4 也满足题意，故可排除 D 对于 C 选项，因，则 ，故有在 x=1 的某邻域(x1) 中，f(x)一 20 即 f(x)2故正确答案选 C。17 【正确答案】 B【试题解析】 因为所以所以18 【正确答案】 A【试题解析】 设一 lnx=t，则 x=e-t，由 f(一 lnx)=x 得 f(t)=e-t，又则 f(x)=2 一 e-x，f(1)=2 一 e-119 【正确答案】 D【试题解析】 分别为函数 f(x)在区间x，
12、x+1和区间x，x+3上的平均值因为 y1(x)，y 2(x)，y 3(x)在区间x，x+1和区间x，x+3上均有负值，其平均值应比 f(x)的峰值小，因此 f(x)=y3(x)此时 明显小于 0，而 y2(0)明显小于 0，可知20 【正确答案】 D【试题解析】 已经说明是独立事件，设 A 表示第一个报警器发出信号的事件， B表示第二个报警器发出信号的事件，则至少有一个报警器发出信号就是 AB。因为 P(AB)=P(A)P(B)，所以 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(A)P(B)=0 95+092095092=0.99621 【正确答案】 B【试题解析
13、】 可以用特殊值法解决令 f(x)=1 满足要求，代入计算，所以选 B。22 【正确答案】 D【试题解析】 因为 所以行列式展开式中没有常数项故选 D.23 【正确答案】 C【试题解析】 则矩阵 A 可逆且 A*=A.A -1A *X=A化为AA -1X=A，两边同乘以 A，得则 X 的第 3 行的行向量为24 【正确答案】 D【试题解析】 方程组 AX=b 无解，知 r(A)r(A：b) ，对增广矩阵进行变换，若r(A)r(A：b)，则有 得 =225 【正确答案】 B【试题解析】 根据特征值的性质知，特征值之和等于矩阵 A 对角线元素之和，则得第三个特征值为：(313)一(11)=一 1，即一 1 为二重特征值要使 A 对角化，则一 1 必对应两个线性无关的特征向量，即秩 r(A+E)=1，对 A+E 进行等效变换： 即 t=0 时，矩阵 A 可对角化
