1、工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 168 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 = （A）（B） 2（C）（D）32 如果(m 2+mi)(1+mi)是实数，那么实数 m= （A）0（B） 1（C）一 1（D）1 或一 13 A 车以 110kmh 的速度由甲地驶往乙地，同时 B，C 两车分别以 90kmh 和70kmh 的速度自乙地驶向甲地途中 A 车与 B 车相遇 1 h 后才与 C 车相遇，甲、乙两地的距离为 km （A）3800（B） 3600（C） 2000（D）18004 某公司参加一次植树活动，平
2、均每人要植树 6 棵若只有女员工完成，每人应植树 10 棵；若只有男员工完成，每人应植树 棵（A）12（B） 13（C） 14（D）155 某公司的员工中，拥有本科毕业证、计算机等级证、汽车驾驶证的人数分别为130，110，90又知只有一种证的人数为 140，三证齐全的人数为 30，则恰有双证的人数为 （A）45（B） 50（C） 52（D）656 甲、乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标的概率为 ，乙每次击中目标的概率为 ，则甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率是 7 实数 a，b 满足 ab0 ，集合 A=0，a，b)，B=xx=uv，u，vA) ，则集合B 的子集共有 个（A）2（B）
3、 4（C） 8（D）1 68 已知不等式 ax2+bx+20 的解集是( )，则 a 一 b 等于 （A）一 4（B） 14（C）一 10（D）109 设函数 f(x)(xR)为奇函数，且 f(1)= ，f(x+2)=f(x)+f(2)，则 f(5)= （A）0（B） 1（C）（D）510 数列a n前 n 项和为 Sn已知点(n， )(nN*)均在直线 y=3x 一 2 上，则a n是 （A）首项为 1 的等差数列（B）首项为 2 的等差数列（C）首项为 1 的等比数列（D）首项为 2 的等比数列11 ABC 中，已知 AB=20，AC=16 ，BC=12以 AB 上的高 CD 为直径作一圆
4、，圆与 AC 交于 M，与 BC 交于 N，则 MN= （A）10（B） 15（C）（D）12 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 a，b，c 成等比数列，且c=2a，则 cosB 等于 13 由直线 l：y=x+1 上一点向圆 C：(x-3) 2+y2=1 作切线，则切线长的最小值为 （A）1（B）（C）（D）314 椭圆 +y2=1 的两个焦点为 F1、F 2，过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，其一个交点为 P，则PF 2= 15 某直角三角形中，斜边上的中线长为 25，周长为 12，则此三角形面积为 （A）125（B） 12（C）（D）616 设 f(x)=
5、 ，则 （A） f(x)不存在（B） f(x)存在，但 gf(x)在 x=0 处不连续（C）在 x=0 处 gf(x)连续但不可导（D）在 x=0 处 gf(x)可导17 设 f(x)和 g(x)是如图所示的两个逐段线性函数，u(x)=fg(x)，则 u(2)= （A）2（B）一 2（C） 1（D）一 118 设 f(x)在 x=1 处有连续导数，又 =2，则 （A）x=1 是曲线 y=f(x)的拐点的横坐标（B） x=1 是 y=f(x)的极小值点（C） x=1 是 y=f(x)的极大值点（D）x=1 既不是 y=f(x)的极值点，又不是曲线 y=f(x)拐点的横坐标19 设曲线 f(x)=
6、 ，则 （A）曲线 f(x)，g(x) 都有垂直渐近线（B）曲线 f(x)，g(x) 都无垂直渐近线（C）曲线 f(x)有垂直渐近线，曲线 g(x)无垂直渐近线（D）曲线 f(x)无垂直渐近线，曲线 g(x)有垂直渐近线20 设函数 y=f(x)可导，f(x)0，f(x)0，则当x0 时 （A） xx+xf(t)dtf(x)x0（B） f(x)x xx+xf(t)dt0（C） xx+xf(t)dtf(x)x0（D）f(x) x xx+xf(t)dt021 曲线 y=x2 与直线 x=0， x=1，y=t(0 t1)所围图形的面积情况为 22 已知 A 是 n 阶矩阵，且满足关系式 A2+3A+
7、4I=0则(A+I) -1= （A）A -1+I（B） I+ A（C）一 I 一 A（D）A+4I23 A 是三阶可逆矩阵，且各列元素之和均为 2，则 （A）A 必有特征值 2（B） A-1 必有特征值 2（C） A 必有特征值一 2（D）A -1 必有特征值一 224 设向量 可由 1， 2， s 线性表出，但不能由向量组 (I)： 1， 2， s-1线性表出，记向量组(II)： 1， 2， s-1， ，则 s （A）不能由(I)，也不能由 ()线性表出（B）不能由(I)，但可由( ) 线性表出（C）可由 (I)，也可由() 线性表出（D）可由(I)，但不能由 ()线性表出25 设 A 是
8、mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则对于线性方程组(AB)x=0，下列结论必成立的是 （A）当 nm 时，仅有零解（B）当 nm 时，必有非零解（C）当 mn 时，仅有零解（D）当 mn 时，必有非零解工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 168 答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 故选(D)2 【正确答案】 C【试题解析】 因为(m 2+i)(1+mi)=m2 一 m+(1+m3)i 是实数，所以 1+m3=0，即 m=一 1 故选(C) 3 【正确答案】 D【试题解析】 设甲、乙两地
9、的距离为 l(km)，根据题意得 其中，200 为 A，B 两车的相对速度，180 为 A，C 两车的相对速度由上式得知l=1800(km) 故选(D) 4 【正确答案】 D【试题解析】 假设该公司参加植树的员工总人数为 x，其中女员工人数为 y由题设得 6x=10y，即 y= =15 故选(D)5 【正确答案】 B【试题解析】 设恰有双证的人数为 x，则根据题意可知140+2x+330=130+110+90，解得 x=50故选(B) 6 【正确答案】 B【试题解析】 甲恰好比乙多击中目标 2 次的情况是：甲击中 2 次而乙没有击中，或甲击中 3 次而乙只击中 1 次 甲击中目标 2 次而乙没
10、有击中目标的概率为 甲击中目标 3 次而乙只击中目标 1 次的概率为 所以甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率为 故选(B)7 【正确答案】 D【试题解析】 集合 B 的元素共有 4 个(不是 33，也不是 C32)，即B=0，ab，a 2，b 2B 的子集数目是 24=16 故选(D)8 【正确答案】 C【试题解析】 如果 a=0，不等式成为一次不等式或退化为 20，其解集不会是(一)由二次函数和不等式的性质，有 故选(C)9 【正确答案】 C【试题解析】 由条件，f(x)为奇函数，f(1)= ，f(x+2)=f(x)+f(2)，所以 f(1)=f(一1+2)=f(一 1)+f(2)=一 f(
11、1)+f(2)即得 f(2)=2f(1)=2 一 1， f(5)=f(3+2)=f(3)+f(2)=f(1+2)+f(2) =f(1)+2f(2)= 故选(C)10 【正确答案】 A【试题解析】 点 =3n 一 2，即 Sn=3n22n当n2 时 an=Sn 一 Sn-1=(3n2 一 2n)一3(n 一 1)2 一 2(n 一 1)=6n 一 5当 n=1 时 a1=S1=312=21=1=615所以有 an=6n-5(nN*)，a n是首项为 1，公差为 6 的等差数列 故选(A) 11 【正确答案】 C【试题解析】 由ABC 的边长，可知它是一个直角三角形(见图)且又CMD 和CND 均
12、为直角，四边形 CNDM 为矩形，所以 MN=CD= 故选(C)12 【正确答案】 B【试题解析】 a，b ，c 成等比数列，满足 b2=ac又 c=2a，所以 b2=2a2，由余弦定理 故选(B)13 【正确答案】 C【试题解析】 如图所示，圆 C 的半径为 1，圆心为 C(3，0)设 A 为 l：y=x+1 上任一点，作圆的切线 AB，切点为 B，则 AB 2=AC 2 一 1要使AB 最小，只要使AC最小即可显然，当 ACl 时 AC最小，而圆心 C 到 l 的距离AB最小 故选(C)14 【正确答案】 C【试题解析】 a=2，b=1，所以 c=，代入椭圆方程得 y02=，由PF 1+P
13、F 2=2a，得 PF 2=2a-PF 1=4一 故选(C) 15 【正确答案】 D【试题解析】 设直角三角形 ABC 中，D 为 AC 的中点，如图所示BD=2 5，BD=CD=AD，所以 AC=AD+CD=225=5 又三角形周长为12，因此 AB+BC=12 一 AC=125=7， (AB+BC) 2=72=49 又(AB+BC)2=AB2+2ABBC+BC 2=AC2+2ABBC ，所以故选(D)16 【正确答案】 D【试题解析】 故选(D)17 【正确答案】 D【试题解析】 根据题设可得，当 x0，3 时，f(x)= 一 x+3，g(x)=x，故当 x=2 时，g(2)=20，3于是
14、得 u(2)是 f(x)在0，3上的直线斜率，即 u(2)=一 1故选(D) 18 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x)在 x=1 处连续及 =2 可得 f(1)=0又 f“(1)=20，所以 x=1 是函数 y=f(x)的极小值点，而不是曲线 y=f(x)拐点的横坐标 故选(B)19 【正确答案】 C【试题解析】 ，所以 x=0是 f(x)的垂直渐近线 所以 x=0 不是 g(x)的垂直渐近线 由此可得出 f(x)有垂直渐近线，g(x) 无垂直渐近线 故选(C)20 【正确答案】 D【试题解析】 由积分中值定理知，存在 x0(x，x+x)，使得 xx+xf(t)dt=f(x0)x 因
15、f(x)0，所以 f(x)是严格单调递增函数，因而 f(x0)f(x)，于是 f(x 0)xf(x)x， 即 xx+xf(t)dtf(x)x 又 f(x)0，所以 xx+xf(t)dt0，因此有 f(x)x xx+xf(t)dt0 故选(D)21 【正确答案】 B【试题解析】 由题意得，曲线 y=x2 与 3 条直线所围图形面积故选(B) 22 【正确答案】 C【试题解析】 由 A2+3A+4I=0，可得(A+I)(A+2I)=A 2+3A+2I=一 2I，即故选(C)23 【正确答案】 A【试题解析】 设由此可知 =2 是AT 的一个特征值又 AT 与 A 有相同的特征值，所以 =2 是 A
16、 的特征值，而 是A-1 的一个特征值 故选(A)24 【正确答案】 B【试题解析】 由 可由 1， 2， s，线性表出，但不能由 1， 2， s-1 表出，可得 =k 11+k22+kss， k s0，所以 这表明 s 可由向量组(II)线性表出，但 不能由向量组(I) 线性表出，否则 也可由向量组(I) 线性表出，这与题设矛盾故选(B)25 【正确答案】 D【试题解析】 判断齐次线性方程组(AB)x=0 解的情况，就是要讨论系数矩阵 AB的秩与未知量个数的关系本题中，AB 是 mm 矩阵，未知量个数为 m因 r(AB)r(A)minm，n，所以当 mn 时，minm，n=nm，因而 r(AB)nm，因此方程(AB)x=0 有非零解，(D)正确而当 nm 时，r(AB)r(A)minm，n=m ，r(AB)m，不能断定 r(AB)=m 必成立，还是 r(AB)m 必成立，两种都有可能，因此(A)、(B)错故选(D)
