1、工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 169 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 P 是数轴上的一定点，坐标为一 1，Q 是数轴上的一动点，若要求 Q 与 P 的距离不超过 1，则点 Q 的坐标 x 的取值范围为 （A）x-1 1（B） x-11（C） x+11（D）x+112 已知 a，b， c 是从小到大的 3 个相邻奇数若 ab132，bc342，且 b 是合数，则 = 3 某洗衣机生产厂家，为了检测其产品无故障的启动次数，从生产的一批洗衣机中任意抽取了 5 台，如果测得的每台无故障启动次数分别为11300
2、，11000，10700，10000，9500，那么这批洗衣机的平均无故障启动次数大约为 （A）10300（B） 10400（C） 10500（D）106004 某产品由甲、乙两种物品混合而成，甲、乙两种物品所占比例分别为 x 和 y若甲物品的价格在 60 元的基础上上涨 10，乙物品的价格在 40 元的基础上下降10时，该产品的成本保持不变，那么 x 和 y 分别等于 （A）50，50（B） 40，60（C） 60，40（D）45，5 55 已知函数 f(x)是定义在(一，+)上的偶函数，且在0，+)上单调递增若实数a 满足 f(log2a)f(1)，则 a 的取值范围是 （A）1 ，2（B
3、） (0， （C） ，2（D）0 ，26 某车间生产的一种零件中，一等品的概率是 09生产这种零件 4 件，恰有 2件一等品的概率是 （A）00081（B） 00486（C） 00972（D）0067 已知 aR，i 为虚数单位若 ，则 a= 。8 有下列 3 个不等式：x 一 1(x 一 1)2， ， 4x2 x+1则 （A）和的解集相同（B） 和的解集相同（C） 和的解集相同（D），和的解集各不相同9 已知方程(x 22x+p)(x2 一 2x+q)=0 的四个根构成一个首项为 的等差数列，则p-q = 10 已经数列满足 a1=1，且 n2 时有 a n=1+a1+a2+an-1 则当
4、n1 时，a n= （A）2 n（B） n(n+1)（C） 2n-1（D）2 n 一 111 记PQR 的面积为 SPQR 已知 AABC 的重心是 G，P 是 AABC 内的一点，（A）在GAB 内（B）在 GBC 内（C）在 GCA 内（D）与 G 点重合12 ABC 为锐角三角形已知 sinB= ，BC=5，则ABC 的面积等于 （A）5（B）（C）（D）1013 若一个平行四边形的周长为 10，相邻边的乘积为 6，则此平行四边形的对角线平方之和为 （A）36（B） 26（C） 25（D）1314 如果直线 l：x 一 2y+2=0 过椭圆 =1(ab 0) 的左焦点 F 和短轴上的顶点
5、(0，b)，则该椭圆的离心率等于 15 棱长为 1 的正方体各顶点都在同一个球面上，则该球面的面积等于 （A）2（B）（C） 3（D）416 设 f(x)具有连续导数，且 ，则 （A）f(0)=0 且 f(0)=2（B） f(0)=0 且 f(0)=1（C） f(0)=一 1 且 f(0)=2（D）f(0)=一 1 且 f(0)=117 设 则 （A）f(x)在 x=0 处间断（B） f(x)在 x=0 处连续但不可导（C） f(x)在 x=0 处可导，但导数在 x=0 处不连续（D）f(x)在 x=0 处有连续导数18 设函数 f(x)在区间1， +)内二阶可导，且 f(1)=f(1)=0，
6、当 x1 时，f“(x)0，则 g(x)= （A）在(1 ，+)内单调增加（B）在 (1，+)内单调减少（C）存在 (1，+) ，使得 g()=0（D）存在 (1，+)，使得 g()=019 I(x)= lntdt 在e，e 2上的最大值为 （A）0（B） 1（C） 2ln2（D）20 若 lnx 是 f(x)的一个原函数，则 xf(e-x)dx= （A）xe -x+e-x+C（B）一 xe-x 一 e-x+C（C） xex 一 ex+C（D）一 xex+ex+C21 （A）（B） a（C） 2a（D）022 设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A2+A=0若 A 的秩为 3，则 A 的特征值为
7、 （A）1，1，1，0（B） 1，1，一 1，0（C） 1，一 1，一 1，0（D）一 1，一 1，一 1，023 设矩阵 A= (aibj0，i，j=1，2，n)，则矩阵 A 的秩为 （A）0（B） 1（C） n（D）无法确定24 向量组 1=(一 1，一 2，一 1，1) T， 2=(1，3，2，一 1)T， 3=(0，1，1，0)T， 4=(1，4，3，一 4)T 的极大线性无关组是 （A） 1， 2， 3（B） 1， 2， 4（C） 1， 2（D） 3， 425 设 1， 2 是线性方程组 的两个不同解则该线性方程组的通解是 (其中 k1，k 2，k 为任意常数) （A）(k 1+1)
8、+k22（B） (k1 一 1)1+k22（C） (k+1)1 一 k2（D）(k 一 1)1 一 k2工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 169 答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 P 点的坐标为一 1，Q 点的坐标为 x，如图所示，P 与 Q 的距离为x 一(一 1)= x+1，又 P 与 Q 的距离不超过 1，即x+11故选(D)2 【正确答案】 D【试题解析】 由 ab132 121=11 2，ab 342361=19 。可知 11abc19 根据 b 是合数可知 a，b ，
9、c 分别是 13，15，17所以 故选(D)3 【正确答案】 C【试题解析】 这 5 台洗衣机的平均无故障启动次数为故选(C)4 【正确答案】 B【试题解析】 每生产一单位的产品，需要甲物品和乙物品的量分别是 x 和 y，其成本为 60x+40y当甲、乙物品的价格改变后，其成本为 66x+36y，所以 60x+40y=66x+36y，从而 ，故 x=40，y=60 故选(B)5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(log2a)f(1)且 f(x)是在0，+)上单调递增的偶函数，所以：当log2a0 时，log 2a1，即 1a2； 当 log2a0 时，log 2a一 1，即 a1 综上可
10、知 a 的取值范围是 ，2 故选(C) 6 【正确答案】 B【试题解析】 4 件产品中，2 件一等品，2 件非一等品的概率为 C 42(01) 2(09)2=00486 故选(B)7 【正确答案】 B【试题解析】 由题设得 2+ai=一 故选(B)8 【正确答案】 D【试题解析】 不等式化成 x2 一 3x+20，其解集为(一，1)(2，+) 不等式化成不等式组 其解集为(2，+) 不等式化成 22x2 x1，即 2xx+1 ，x1，解集为(-，1) 3 个不等式解集各不相同 故选(D)9 【正确答案】 C【试题解析】 方程的 4 个根是二次方程 x2 一 2x+p=0 和 x2 一 2x+q
11、=0 的根x1，x 2，x 3，x 4它们构成一个等差数列，设其公差为 d不妨设 x 1= ， x2=x1+d， x 3=x1+2d， x 4=x1+3d因此有 x1+x4=x2+x3而两个二次方程各自两根之和都等于 2，所以 x1 和 x4，x 2 和 x3 分别为两个方程的根，可以设 x 1+x4=2， x1x4=p， x 2+x3-2， x 2x3=q故选(C)10 【正确答案】 C【试题解析】 由已知条件 a 1=1， a 2=1+a1=2， a 3=1+a1+a2=4， a 4=1+a1+a2+a3=8 可归纳出 n1 时， an=2n-1 故选(C) 11 【正确答案】 A【试题解
12、析】 画出ABC，如图所示，对重心 G 有 1=2=3=，PAB 和 GAB 有共同的底边 AB，所以 PAB 在 AB边上的高为GAB 在 AB 边上高的一半，即 P 在GAB 平行于 AB 的中位线或其延长线上同理分析PCA 在 CA 边上的高与AGC 在 CA 边上的高相等，若连PG，则 PGAC即可判定 P 在GAB 内 故选(A) 12 【正确答案】 D【试题解析】 因为B 和 C 均为锐角，由已知得故选(D)13 【正确答案】 B【试题解析】 设平行四边形相邻两边的长分别为 a，b，则 a+b= =5，ab=6平行四边形对角线平方和为 2(a+b 2)=2(a+b)2 一 2ab=
13、2(52 一 26)=26 故选(B)14 【正确答案】 D【试题解析】 左焦点 F1 的坐标为(一 c，0)，F 1 在 l 上，所以一 c+2=0，c=2 顶点(0，b)也在 l 上，所以一 2b+2=0，b=1，故 a 2=b2+c2=12+22=5，所以 a= 故选(D)15 【正确答案】 C【试题解析】 正方体的对角线是球的一条直径，设球的半径为 r，则 2r=，即得 r= 球面面积 4r2=3 故选(C)16 【正确答案】 C【试题解析】 故选(C)17 【正确答案】 D【试题解析】 所以 f(x)在 x=0 处连续 故选(D) 18 【正确答案】 B【试题解析】 因为 g(x)=
14、 ，而 f(x)在1，+)内二阶可导，所以 g(x)= 设 F(x)=xf(x)一 f(x)，则 F(x)=f(x)+xf“(x)一 f(x)=xf“(x)由题设，当 x1 时，f“(x)0 可得 F(x)0又 F(1)=f(1)一 f(1)=0，因此在(1 ，+)内F(x)0，进而得出 g(x) 0，所以 g(x)在(1，+)内单调递减 故选(B)19 【正确答案】 D【试题解析】 I(x)= lnx，当 xe，e 2时，I(x) 0，所以 I(x)在e，e 2是单调递增函数，I(x)在e，e 2上的最大值是 故选(D)20 【正确答案】 C【试题解析】 由原函数定义有 f(x)=(lnx)
15、= =ex，从而 xf(e -x)dx=xexdx=xdex=xex 一e xdx=xex 一 ex+C 故选(C)21 【正确答案】 A【试题解析】 在 中令 a 一 x=t，当 x=0 时，t=a ；当 x=a 时，t=0：dx=一 dt故选(A)22 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A 的秩为 3，所以 4 阶实对称矩阵 A 有一个零特征值和三个非零特征值设其非零特征值为 ，与 对应的特征向量为 x，则由 A2+A=0 可知(A2+A)x=(2+)x=0故 2+=0，即 =一 1 故选(D) 23 【正确答案】 B【试题解析】 A= 均为 n 维列向量因此 r(A)=r(T)r()1
16、，这说明 A 的秩要么是 0，要么是 1又 A 中有非零元素 a1b10，所以 A 的秩是 1 故选(B)24 【正确答案】 B【试题解析】 A=( 1， 2， 3， 4)= =B=(1， 2， 3， 4)，显然r(1， 2， 3， 4)=r(A)=r(B)=3， 1， 2， 4 为向量组 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组 故选(B)25 【正确答案】 C【试题解析】 设 则线性方程组可写为 Ax=b由于此方程组有两个不同的解，故 r(A，b)=r(A)3又因 A 中有一个二阶子式 0，因此 r(A)2，所以 r(A)=2，因此对应的齐次线性方程组 Ax=0的基础解系中有一个解向量 1 一 2进而得出 Ax：b 的通解是 k(1 一 2)+1=(k+1)1 一 k2(其中 k 为任意常数)故选(C)
