1、工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 171 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 周长相同的圆、正方形和正三角形的面积分别为 a，b 和 c，则 a，b，c 的大小关系是 （A）ab c（B） bca（C） ca b（D）acb2 三名小孩中有一名学龄前儿童，他们的年龄都是质数，且依次相差 6 岁他们的年龄之和为 （A）21（B） 27（C） 33（D）393 已知某单位的 A 部门人数占单位总人数的 25， B 部门人数比 A 部门少 ，C部门有 156 人，比 B 部门多 ，该单位共有 人。（A）426（B）
2、 480（C） 600（D）6244 设互不相同的 3 个实数 a，b，c 在数轴上对应的点分别为 A，B，C若a 一ca 一 b+b 一 c，则点 B （A）在 A，C 点的左边（B）在 A，C 点的右边（C）在 A，C 两点之间（D）与点 A，C 的关系不确定5 若复数 z 满足 (zi)i=2+i，则 z= （A）一 1 一 i（B）一 1+3i（C） 12i（D）1 一 i6 把两个不同的白球和两个不同的红球任意地排成一列，结果为两个白球不相邻的概率是 7 已知 f(x)=x2+bx+c，x 0，+) f(x) 是单调函数的充分必要条件是 （A）b0（B） b0（C） b0（D）b08
3、 设 a0，b 0若 的最小值为 。（A）3（B） 4（C） 1（D）9 甲、乙、丙三人同时从起点出发进行 1000m 自行车比赛 (假设他们各自的速度保持匀速不变)，甲到达终点时，乙距终点还有 40m，丙距终点还有 64m那么乙到达终点时，丙距终点 m（A）21（B） 25（C） 30（D）3510 已知a n是公差为正数的等差数列，若 a1+a2+a3=15，a 1a2a3=80，则 a11+a12+a13= （A）120（B） 105（C） 90（D）7511 已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于 A，B，则以 AB 为直径的圆与抛物线准线的公共点的数目为 （A）0（B） 1（C） 2（D
4、）312 已知集合 M=xsinx cosx，0x) ，N=xsin2xcos2x，0x)，则MN= 13 直线 l：x+y=b 与圆 C：(x 一 1)2+(y 一 1)2=2 相交于 A，B 两点，若AB=2，则 b 的值等于 14 椭圆 x2+ =1(1b0)的右顶点为 A已知椭圆上存在一点 P，使 OPA= (O为坐标原点)，则 b 的取值范围为 15 如图，ABCD 是边长为 1 的正方形，AC=CE AFC 的面积为 16 设当 x0 时，( 一 1)ln(1+x2)是比 xsinxn 高阶的无穷小量，而 xsinxn 是比(2+x)tanx2 高阶的无穷小量，则正整数 n 等于
5、（A）1（B） 2（C） 3（D）417 设 F(x)= = 18 方程 3xex+1=0 在(一，+) 内实根的个数为 （A）0（B） 1（C） 2（D）319 设 f(x)=(x)2，其中 (x)在(-，+)内恒为负值，其导数 (x)为单调减函数，且 (x0)=0，则下列结论正确的是 （A）y=f(x)所表示的曲线在(x 0，f(x 0)处有拐点（B） x=x0 是 y=f(x)的极大值点（C）曲线 y=f(x)在( 一，+)上是凹的（D）f(x 0)是 f(x)在(一，+) 上的最大值20 -11(x+x)(ex 一 e-x)dx= （A）0（B）（C） 4e（D）2e+21 当 y=a
6、2 一 x2(x0)与 x 轴、y 轴及 x=2a(a0)围成的平面图形的面积 A 等于 16时，a= （A）1（B）（C） 2（D）22 设 A，B，C 均是 n 阶矩阵，则下列结论中正确的是 （A）若 AB，则AB（B）若 A=BC，则 AT=BTCT（C）若 A=BC，则A=BC（D）若 A=B+C，则AB+C23 下列矩阵中，与对角阵 相似的矩阵是 24 设 1， 2， 3， 4 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，则 Ax=0 的基础解系还可以是 （A） 1-2， 2+3， 3-4， 4+1（B） 1+2， 2+3+4， 1 一 2+3（C） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1
7、（D） 1+2， 2-3， 3+4， 4+125 设矩阵 A=(aij)mn，其秩 r(A)=r，则非齐次线性方程组 Ax=b 有解的充分条件是 （A）r=m（B） m=n（C） r=n（D）mn工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 171 答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 故选(A)2 【正确答案】 C【试题解析】 根据题意，有一名儿童的年龄不足 6 周岁，所以最小孩子的年龄只可能是 2，3 或 5由于 2+6=8 和 3+6=9 都是合数，所以最小孩子的年龄是 5，从而三个孩子的
8、年龄分别是 5，11，17，他们的年龄之和为 5+11+17=33故选(C)3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 B+ B=C=156，所以 B=120 又因为 A A=B=120，所以A=150从而单位总人数为 =600 故选(C)4 【正确答案】 D【试题解析】 因为aca-b+b 一 c，且 “=”成立与点 B 位于 A，C两点之间等价，所以当aca 一 b+b-c 时，点 B 不会位于 A，C 两点之间但既可以位于 A，C 点的左边，也可以位于 A，C 点的右边故正确选项为(D)故选(D) 5 【正确答案】 D【试题解析】 因为(z-i)i=2+i，所以 z=i+( +1)=i-2i
9、+1=1-i 故选(D) 6 【正确答案】 D【试题解析】 总排列数为 P44=24要求白球不相邻，可以先定两个位置放白球，放法有 P22=2两白球的左、右端和中间三处空位若选左端和中间各放一红球，有 P22=2 种排法同理选中间和右端各放一红球，也有 2 种排法若选中间放两个红球，也是 2 种放法白球不相邻的排法有 P22(P22+P22+P22)=12 种所求概率为若考虑两个白球相邻的情况，如果把两个白球作为一个整体与两个红球作排列，则有 P33 种排法，三个位置中的一个放两个白球，又有 P；种排法，所以两个白球相邻的概率为 故选(D)7 【正确答案】 A【试题解析】 函数 y=f(x)的
10、图像是开口向上的抛物线，其对称轴是直线 x=一 f(x)在 x0，+)上单调( 单调增)，则对称轴不应在 y 轴右方，即 b0注意b=0 时 y=f(x)在0，+)也是单调的 故选(A) 8 【正确答案】 B【试题解析】 由题意，3 a3 b=( )2，即 3a+b=3，所以有 a+b=1，从而由均值不等式故选(B)9 【正确答案】 B【试题解析】 设甲、乙、丙三人的速度分别为 v1，v 2，v 3(单位：ms) ，依题意得故乙到达终点时，丙距终点还有 25m 故选(B)10 【正确答案】 B【试题解析】 由条件有 a2 一 d+a2+a2+d=15，得 a2=5又由 a1a2a3=80，可得
11、(a 2-d)(a2+d)=16，从而得 d2=9因公差为正数，有 d=3 a11+a12+a13=a2+9d+a2+10d+a2+11d =3a2+30d =105 故选(B)11 【正确答案】 B【试题解析】 如图所示，设抛物线焦点为 F，准线为 lAB 中点为 M，过 A、B和 M 分别作 l 的垂线，垂足分别是 A、B和 M，则有以 AB 为直径的圆，其圆心在 M，且与 l 相切，切点为 M所以此圆与 l 只有 1 个交点 故选(B)12 【正确答案】 B【试题解析】 在(0，)上分别作出 y=sinx 和 y=cosx，y=sin2x 和 y=cos2x 的图像(见图)，即可看出 M
12、= 故选(B)13 【正确答案】 C【试题解析】 用代数方程求解，以 y=b 一 x 代入圆 C 方程得 2x 2 一 2bx+(b1)2一 1=0，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有 x 1+x2=b， x1x2= (b2 一 2b)， (x 1 一 x2)2 一(x1+x2)2 一 4x1x2 =b2 一 2(b 一 2b)=一 b2+4b AB=(x 1 一 x2)2+(y1y2)2 =2(x1 一x2)2=2(一 b2+4b)，由AB 2=4，即得一 b2+4b=2，解得 b=2 故选(C)14 【正确答案】 B【试题解析】 已知 A(1，0)设 P(x，y)，由条件
13、OPA= 得 OP 垂直于 PA，做内积得(x ，y)(x 一 1，y)=0 ，即 x(1-x)-y2=0 以 y2=b2(1 一 x2)代入，得 (1 一 b2)x2 一 x+b2=0分解因式得(x 一 1)(1 一 b2)x 一 b2=0因 x1 得 故选(B)15 【正确答案】 A【试题解析】 在EAB 中 FCAB，所以AFC的面积=正方形 ABCD 的面积一ABC 的面积一ADF 的面积 故选(A)16 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时 ( 一 1)ln(1+x2)x 2x 2=x4，xsinx nn x n=xn+1，(2+z)tanx22x 2，由题目条件有 2n+1
14、4，从而 n=2 故选(B)17 【正确答案】 C【试题解析】 故选(C)18 【正确答案】 C【试题解析】 设 f(x)=3xex+1，则 f(x)=3ex+3xex=3(1+x)ex令 f(x)=0，得 x=一1当 x一 1 时，f(x) 0，当 x一 1 时 f(x)0 由此可得 f(x)在(一 ，一 1)内单调递减，在(一 1，+) 内单调增加，x= 一 1 是 f(x)的唯一极小值点，因而是最小值点，最小值为 f(一 1)=一 3e-1+10 由函数的单调性和零点存在定理可判断 f(x)在( 一，一 1)内和(一 1，+)内各有一个零点，因此方程 f(x)=0 在(一，+) 内恰有两
15、个根故选(C)19 【正确答案】 A【试题解析】 因 (x)在( 一，+) 内恒为负值，所以 f(x0)=(x0)20，由取得极值的必要条件，x 0 一定不是 f(x)的极值点，故不选(B)；又如果 f(x)的最值点 x0 在开区间(一， +)内取得，则 x0 一定是极值点，由上面的分析知，x 0 一定不是 f(x)的极值点，故不选(D) f“(x)=2(x)(x)由题设 (x)=0 得 f“(x0)=2(x0)(x0)=0又因为 (x)是单调递减函数， (x)0)时 f“(x)0，+) 时 f“(x)0这表明(x0，f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点 故选(A)20 【正确答案】 B【试
16、题解析】 注意到 ex 一 e-x 为奇函数，所以 x(ex 一 e-x)为偶函数，x 4(ex 一 e-x)为奇函数，因此 -11(x+x4)(ex 一 e-x)dx=-11x(ex-e-x)dx+-11x4(ex 一 e-x)dx =201x(exe-x)dx=201xd(ex+e-x) =2x(ex+e-x)一 01(ex+ex)dx = 故选(B) 21 【正确答案】 C【试题解析】 根据定积分的几何意义，有 A= 02a a2-x2dx= 0a(a2x2)dxa2a(a2x2)dx=2a3，由 2a2=16 得 a=2 故选(C)22 【正确答案】 C【试题解析】 设 A= ，则 A
17、B，但A =1，B=1 故(A)不对A=BC，则 AT=CTBT，而矩阵乘积是不能交换顺序的，故(B)不对(C)是正确的(D) 不对，例如设23 【正确答案】 C【试题解析】 与对角阵 相似的矩阵对应于特征值 一 1 应有两个线性无关的特征向量，由于所以矩阵对应于特征值 =1 有两个线性无关的特征向量，故其与对角阵相似 故选(C)24 【正确答案】 D【试题解析】 由题目条件知 Ax=0 的基础解系中含有 4 个线性无关的解向量，而(B)中仅有 3 个解向量，个数不符合要求，故不选(B) 容易观察到选项(A)，(C) 中的向量满足 ( 1 一 2)+(2+3)一( 3 一 4)一( 4+1)=0， ( 1+2)+(2+3)一( 3+4)一(4+1)=0 这表明(A)，(C)中的解向量都线性相关，虽然(A)，(C)含有 4 个解向量但(A)， (C)都不是 Ax=0 的基础解系 由排除法，正确选项为(D) 故选(D)25 【正确答案】 A【试题解析】 当 r(A)=r=m 时，矩阵 A 的 m 个行向量线性无关，因此，线性方程组 Ax=b 的增广矩阵 =m，所以 Ax=b 有解 故选(A)
