1、工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 172 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 a，b，c 是非负实数，如果 a+1，b+2，c+3，7 的算术平均数是 7，那么 abc的最大值是 （A）7（B） 49（C） 25（D）1252 一个圆柱底面直径和高都为 8，一个圆锥底面直径和高都为 4，则圆锥和圆柱的体积比为 （A）1：2（B） 1：4（C） 1：8（D）1：243 两个相同规格的容器，分别装上 A，B 两种液体后的总重量分别是 1800g 和1250g，已知 A 液体的重量是 B 液体的两倍那么这个空容
2、器的重量是 g（A）550（B） 600（C） 700（D）11004 一个棱长为整数 n 的正方体，表面全涂上红色后，被分成若干个体积都等于 1 的小正方体在这些小正方体中，六个面都没有红色的小正方体个数占全部小正方体个数的 ，则 n= （A）4（B） 5（C） 6（D）75 若实数 x，y，z 满足 =4，则 7x+5y 一 3z= 。（A）一 24（B）一 12（C） 0（D）126 某装置的启动密码是由 0 到 9 中的三个不同数字组成，连续三次输入错误密码，就会导致该装置永久关闭一个仅记得密码是由三个不同数字组成的人能够启动此装置的概率为 7 已知集合 A=(x，y) y=2 x，x
3、 R)，B=(x，y)y=2x，xR)，则 AB的元素数目为 （A）0（B） 1（C） 2（D）无穷多8 已知函数 f(x)对任意的 xR 有 f(x)+f(一 x)=0，且当 x0 时，f(x)=ln(x+1)，则函数 f(x)的大致图像为 9 若 f(x)=x3+px2+qx+6 含有一次因式 x-3 和 x 一 1，则 pq= （A）3（B） 5（C） 8（D）1010 一个 33 矩阵的每行和每列的元素分别都顺序构成等差数列，且矩阵所有元素和等于 72，则其第二行第二列的元素等于 （A）4（B） 8（C） 12（D）1611 ABC 中， A，B，C 的对边 a，b，c 成等差数列，且
4、知B=30，三角形面SABC= ，则 b= 12 已知 ，则有 13 曲线 C：x 2+y2+2x+4y 一 3=0 上与直线 x+y+1=0 的距离等于 的点有 个（A）1（B） 2（C） 3（D）414 如图所示，已知抛物线 C：y 2=4x倾角为 60的直线 l 过 C 的焦点 F，与 C 交于 A，B其中 A 在 x 轴上方，则OAF 的面积为 15 如图所示，扇形的半径为 12，圆心角为 60，O 为扇形的内切圆圆心，则阴影部分的面积为 （A）8（B） 16（C） 20（D）2416 设 f(x)= 则当 的取值范围是 时，f(x)在 x=0 处连续（A）(0 ， )（B） ( ，1
5、)（C） (1，2)（D）(2 ，+)17 如图所示，曲线 y=f(x)上任一点 P 的切线为 PT，以 PT 为斜边的直角三角形PTQ 的面积为 ，则 y 与 y满足的方程是 （A）y=y（B） y=一 y（C） y2=y（D）y=y 218 图中三条曲线给出了三个函数的图形，一条是汽车的位移函数 s(t)，一条是汽车的速度函数 v(t)，一条是汽车的加速度函数 a(t)，则 （A）曲线 a 是 s(t)的图形，曲线 b 是 v(t)的图形，曲线 c 是 a(t)的图形（B）曲线 b 是 s(t)的图形，曲线 a 是 v(t)的图形，曲线 c 是 a(t)的图形（C）曲线 a 是 s(t)的
6、图形，曲线 C 是 v(t)的图形，曲线 b 是 a(t)的图形（D）曲线 C 是 s(t)的图形，曲线 b 是 v(t)的图形，曲线 a 是 a(t)的图形19 光滑曲线 y=f(x)通过原点，且在 x=1 处与曲线 y=e2c 相切，则 01xf“(x)dx= （A）0（B） e2（C）一 e2（D）2e 220 设 F(x)=xx+2esintsintdt，则 F(x)为 （A）正常数（B）负常数（C）恒为零（D）不为常数21 设 y=f(x)在a ，b 上单调，且有连续的导数，其反函数为 x=g(y)又 =f(a)，=f(b)， abf(x)dx=A，则 (y)dy= （A） 一 ab
7、 一 A（B） b一 a一 A（C） 一 ab+A（D）b-a+A22 设三阶方阵 A，B 满足关系式 A-1BA=6A+BA，且23 设 A= ，则 A 的对应于特征值 2 的一个特征向量是 24 若向量 ， ， 线性无关， ， ， 线性相关，则 （A） 必可由 ， 线性表示（B） 必不可由 ， ， 线性表示（C） 必可由 ， 线性表示（D） 必不可由 ， ， 线性表示25 设 A 是 45 矩阵，且 A 的行向量组线性无关，现有下列 4 个命题：线性方程组 Ax=b 有无穷多个解； 线性方程组 Ax=b 有唯一解；线性方程组 Ax=b 的增广矩阵 (A，b)的行向量组线性无关；增广矩阵(A
8、，b)必有 4 个列向量线性无关以上命题正确的个数有 （A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 172 答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 本题主要考查了几个数的算术平均数的概念及算术平均数与几何平均数的关系由于且等号在a=b=c=5 时取到即 abc 的最大值为 125 故选(D)2 【正确答案】 D【试题解析】 圆柱体积=(44)8=128， 圆锥体积 =：128=1：24 故选(D) 3 【正确答案】 C【试题解析】 设这个空容器的
9、重量为 xg，B 液体的重量是 yg，根据题意，得 解得 x=700 故选(C)4 【正确答案】 C【试题解析】 所有小正方体的个数是 n3，六个面都没有红色的小正方体个数为(n一 2)3根据题意，得 解得 n=6 故选(C)5 【正确答案】 A【试题解析】 因为 =3，所以 2z(x+y)=3y(x+z)整理得 3xy 一2xz+yz=0， 即 6(x+y) 一 6(x+z)+4(y+z)=0所以 z=5y代入故 7x+5y 一 3z=一 24。 故选(A)6 【正确答案】 C【试题解析】 由 0 到 9 中的三个不同数字组成的不同密码共有A103=1098=720，一个仅记得密码是由三个不
10、同数字组成的人一次能够启动该装置的概率是 ，所以他在三次之内能够启动此装置的概率是 故选(C)7 【正确答案】 C【试题解析】 如图所示，集合 A 是函数 y=2x(xR)的图像，集合 B 是函数y=2x(xR)的图像在直角坐标系中稍微精确一些作出函数的图像，即可看出它们有两个交点应该注意到，在 x 无限增大时，指数函数 y=2x 的增长总是比幂函数快得多 故选(C)8 【正确答案】 D【试题解析】 依题意可知，函数 f(x)是奇函数，所以其图像关于坐标原点对称又因为 f(x)=ln(x+1)(x0)，所以曲线 y=f(x)在(0，+)上应是上凸单调增的综上可知，只有选项(D)中的图形符合要求
11、故选(D)9 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(1)=0 和 f(3)=0 得到线性方程组 解出 p=一 2，q=一 5 故选(D) 10 【正确答案】 B【试题解析】 设 a22=a，第二行为等差数列，即 a21=a 一 d1，a 23=a+d1，第二行各元素和为 3a 第二列为等差数列，所以 a12=ad2，a 32=a+d2，第一、三行各元素之和分别为 3(a 一 d2)和 3(a+d2)所有元素之和 3(a 一 d2)+3a+3(a+d2)=72故9a=72，即 a=8 故选(B)11 【正确答案】 B【试题解析】 S ABC= ，B=30推得 ac=6由条件 2b=a+c及余弦定
12、理分别得 4b 2=a2+c2+2ac， b 2=a2+c2 一 2ac cosB， 故选(B)12 【正确答案】 D【试题解析】 故选(D)13 【正确答案】 C【试题解析】 C 的方程写成(x+1) 2+(y+2)2=( )2，即 C 是以(一 1，一 2)为圆心，半径为 的圆圆心到直线 l：x+y+1=0 的距离 d= 这正好等于圆 C 半径的一半，所以过圆心作平行于 l 的直线，与圆交于两点 A，B 再过圆心作垂直 l 的直线，与圆的交点之一及点 A，B 到 l 的距离都是 (见图) 故选(C)14 【正确答案】 A【试题解析】 过 F(1，0) ，倾角为 60的直线 l：y=和 3如
13、图所示，因 A 在 x 轴上方，所以 故选(A)15 【正确答案】 A【试题解析】 扇形面积为 (12)2 =24扇形内切圆半径为 OO1sin30= OO1OO 1+OA=O1A 为扇形半径，又扇形内切圆半径 OA= OO1，所以 内切圆面积为 (OA) 2=42=16 阴影部分面积=扇形面积一内切圆面积=24 一 16=8 故选(A) 16 【正确答案】 D【试题解析】 当 x0时这表明，当2 时f(x)在 x=0 处连续 故选(D)17 【正确答案】 D【试题解析】 见图，曲线 y=f(x)在点 P(x，y)的切线方程为 Yy=y(Xx)，令Y=0，得 于是有 y=y2 故选(D)18
14、【正确答案】 D【试题解析】 因 s(t)=v(t)，v(t)=a(t) ，图中 c 曲线单调上升，b 曲线在 x 轴上方；在 b 曲线单调上升的区间上 c 曲线在 x 轴的上方，在 b 曲线单调下降的区间上 c 曲线在 x 轴的下方，再利用导数符号判断函数单调性的定理可推得选(D)故选(D)19 【正确答案】 B【试题解析】 因光滑曲线 y=f(x)通过原点，所以 f(0)=0 由于曲线 y=f(x)在 x=1处与 y=e2x 相切，而(e 2x) x=1=2e2x x=1=2e2，因此 f(1)=e2，f(1)=2e 2进而 01xf“(x)dx=01xdf(x) =xf(x) 01-01
15、f(x)dx =f(1)一 f(x) 01 =f(1)一 f(1)+f(0) =2e2 一e2+0=e2 故选(B) 20 【正确答案】 A【试题解析】 被积函数 esintsint 是以 2为周期的函数，因此它在任一个周期上的积分都相等，从而 xx+2esintsintdt= x2esintsintdt=一 x2esintdcost =-esintcost 02+02cos2tesintdt =0+02cos2tesintdt0 上式最后一步利用了“被积函数是连续的大于等于零但不恒为零函数的积分值大于零“的结论 故选(A) 21 【正确答案】 B【试题解析】 在 g(y)dy 中，令 y=f
16、(x)，且当 y=时，x=a，当 y=时，x=b，gf(x)=x，dy=f(x)dx因此 g(y)dy=xf(x)dx=xdf(x) =xf(x) -f(x)dx =bf(b)一 af(a)一 A =b一 aA 故选(B)22 【正确答案】 A【试题解析】 三阶方阵 A，B 满足 A-1BA=6A+BA，等式两边右乘 A-1，得 A -1B=6I+B， (A -1 一 1)B=6I， B=(A -1 一 I)-16I而故选(A)23 【正确答案】 D【试题解析】 因为故选(D)24 【正确答案】 C【试题解析】 因 ， 线性无关，所以 ， 线性无关，又 ， ， 线性相关，因此， 可由 ， 线性
17、表示，进而 =k1+k 2+0于是选(C)，而不选(D) 如果取 =0，由 ， 线性无关可得 不可由 ， ， 线性表示，因此不选(A) 如果取 =2，则 = +0+0，这表明 可由 ， 线性表示，所以不选(B)故选 (C)25 【正确答案】 C【试题解析】 由 A 是 45 矩阵，可得增广矩阵(A，b)为 46 矩阵，而 r(A)=4，必有 r(A，b)=4，即 r(A， b)=r(A)=4，线性方程组 Ax=b 未知量个数是 5r(A)=4，因此线性方程组 Ax=b 有无穷多个解，故 正确，错误又矩阵(A，b)的行向量组是矩阵 A 的行向量组的加长组由“线性无关组的加长组必线性无关”得正确由 r(A，b)=4 得矩阵(A，b)有 4 个列向量线性无关，故正确正确命题有 3 个，故选(C)
