1、工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 173 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 如果一个三角形的三边之比为 2：2：3，那么这个三角形 （A）一定有一个角是直角（B）一定有一个角是钝角（C）所有的角都是锐角（D）三个角的大小不能确定3 长度是 800m 的队伍的行军速度为 100mmin，在队尾的某人以 3 倍于行军的速度赶到排头，并立即返回队尾所用的时间是 min（A）2（B）（C） 4（D）64 一水池有两个进水管 A，B，一个出水管 C若单开 A 管，12h 可灌满水池，单开 B 管， 9h 可灌满水
2、池，单开 C 管，满池的水 8h 可放完现 A，B，C 三管齐开，则水池灌满水需要 （A）13h24min（B） 13h48min（C） 14h24min（D）14h48min5 若实数 a， b 满足 =a+bi，则 ab= （A）-15（B）一 3（C） 3（D）56 某班共有 41 名学生，其中有 2 名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字老师随机请 2 名同学解答问题，习惯用左手写字和习惯用右手写字的同学各有 1 人被选中的概率是 7 已知 f(x)是定义在(一，+)上的奇函数，且 y=f(x)的图像关于直线 x= 对称，则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=
3、（A）0（B） 1（C） 3（D）58 已知 x0，y0，且 2x+3y=6，则 y （A）有最大值 1（B）有最小值 1（C）有最大值（D）无最大、最小值9 设 是方程 x9 一 1=0 的一个根，则 +2+3+ 8= （A）8（B） 0 或 8（C）一 1（D）一 1 或 810 已知等差数列a n满足 a1+a2+a101=0，则有 （A）a 1+a1010（B） a2+a1000（C） a3+a99=0（D）a 51=5111 若过点 P(0，1)的直线 l 与双曲线 x2 一 y2=1 有且仅有一个公共点，则直线 l 斜率所取值的集合为 12 已知 x ，则 tan2x= 13 过直
4、线 xy+ =0 上的点作圆 x2+y2=1 的切线，此点与切点间长度的最小值是 14 如图所示，对于抛物线 C：y 2=8x，其焦点为 F，准线为 l，已知 P 为 l 上一点，Q 为直线 PF 与 C 的一个交点若 ，则OF= （A）（B）（C） 3（D）215 一个四面体的体积为 V，若过四面体交于每个顶点的三条棱的中点作截面，沿所作的四个截面切下该四面体的 4 个“角”(4 个小四面体)，则余下部分的体积为 16 = （A）0（B） 1（C） 2（D）不存在17 设常数 k0，方程 lnx- +k=0 在(0 ，+) 内根的个数为 （A）0（B） 1（C） 2（D）318 图中给出了
5、f(x)的图形，设有以下结论： f(x)的单调递增区间是(2，4)(6，9)； f(x)的单调递增区间是(1，3)(5，7)(8，9) ； x=1，x=3，x=5，x=7 是 f(x)的极值点； x=1，x=3 ，x=5，x=7 是曲线 y=f(x)的拐点横坐标则以上结论中正确的是 （A），（B） ，（C） ，（D），19 当y1 时，F(y)= -11xye xdx，则 F(0)= （A）一 2 一 ee-1（B） 2 一 ee-1（C） 2+e-e-1（D）2+e+e -120 设 g(x)为连续函数，且满足 ，则 I=abg(x)dx （A）0（B） 0（C） =0（D）无法确定21 设
6、 f(x)是连续函数，且严格单调递减，0 ，I 1=0f(x)dx，I 2=，则 （A）I 1I 2（B） I1I 2（C） I1=I1（D）II 1 与 II2 的关系不确定22 设 A 是三阶矩阵，且A= ，则(2A) -1+A*= （A）（B） 2（C） 5（D）23 设 n 阶矩阵 A= ，则 A 的特征值为 （A） 1=0(n 一 1 重)， 2=m（B） 1=0(n 一 1 重)， 2=n 一 1（C） 1=0(n 一 1 重)， 2=1（D） 1=0， 2=1(n 一 1 重)24 向量组 1=(1，1，2) T， 2=(3，t，1) T， 3=(0，2，一 t)T 线性无关的充
7、分必要条件是 （A）t=5 或 t=一 2（B） t5 且 t一 2（C） t一 5 或 t一 2（D）(A)，(B)，(C)均不正确25 A 是 mn 矩阵，r(A)=r，B 是 m 阶可逆方阵，C 是 m 阶不可逆方阵，且 r(C)r，则 （A）BAx=0 的基础解系由 n 一 m 个向量组成（B） BAx=0 的基础解系由 n 一 r 个向量组成（C） CAx=0 的基础解系由 n 一 m 个向量组成（D）CAx=0 的基础解系由 n 一 r 个向量组成 工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 173 答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只
8、有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 故选(B)2 【正确答案】 B【试题解析】 设三角形的三边长分别为 2a，2a，3a(a0)因为(2a) 2+(2a)2 一8a2(3a) 2，所以长为 3a 的边所对的角是钝角 故选(B)3 【正确答案】 D【试题解析】 如图所示，设某人赶到排头所用的时间为 t1，则有 300t1=800+100t1，t 1=4(min)再设某人从排头返回队尾所用的时间为 t2，则有 100t2+300t2=800，t 2=2(min)因此总共用了 6min 故选(D)4 【正确答案】 C【试题解析】 由题意，A 管每小时灌入满池水量的 ，B 管每小
9、时灌入满池水量的 ，C 管每小时放出满池水量的 三管齐开，则每小时灌入满池水量的(h) 故选(C) 5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 =-1+3i，依题意得 a=一1，b=3所以 ab=一 3 故选(B)6 【正确答案】 C【试题解析】 从 41 名学生中随机叫出 2 人的不同方式共有 C412= ，习惯用左手写字和习惯用右手写字的同学各有 1 人被选中的方式共有 C21C391=239，所以要求的概率为 故选(C)7 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)是奇函数，所以 f(0)=0图像关于 x= 对称，得 f(1)=f(0)=0 f(x)是奇函数，所以 f(一 1)=0图像关于 x=
10、 对称，f(2)=f( 一 1)=0由此类推得 f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=0 故选(A)8 【正确答案】 A【试题解析】 函数 f(x)=y(2 一 y)的定义域是 0y2，当 y=1 时，y(2 一 y)取得最大值 1，以 y=1 代入， 的最大值为 1 故选(A)9 【正确答案】 D【试题解析】 满足方程 x9 一 1=0，则 9 一 1=0， ( 一 1)(1+2+ 8)=0 若 =1，则 +2+ 8=8 若 1，则 1+2+ 8=0，所以 +2+ 8=一1 故选(D)10 【正确答案】 C【试题解析】 从已知条件，有 101a1+ =0，其中 a1 为a 1的首
11、项，d 为公差，所以有 a 1+50d=0，即有 a 51=0， a 1+a101=2a1+100d=0， a 2+a100=2a1+100d=0， a3+a99=2a1+100d=0只有(C)是正确的 故选(C) 11 【正确答案】 C【试题解析】 直线 l 与双曲线有一个交点，交点坐标满足 将 y 代入第二个方程，得到 x 满足的方程 (1 一 k2)x2 一 2kx 一 2=0 (*) 当 1 一 k2=0，即k=1 时，方程(*)是一次方程，有唯一的解 x=一 当 1 一 k20 时(*)为二次方程，其判别式 =4k 2+8(1 一 k2)=84k2当且只当 k=一 时，=0，此时方程
12、(*)有唯一的实根所有斜率 k 可取的值为一 1，1，一 故选(C)12 【正确答案】 B【试题解析】 故选(B)13 【正确答案】 B【试题解析】 过直线上一点(x 0，y 0)作圆的切线，由勾股定理可知，此点与切点间线段的长度 故选(B)14 【正确答案】 C【试题解析】 由题设可得 F(0，2)，l：x=一 2如图所示，设 l 与 x 轴交于点 S，过 Q 作 l 的垂线，垂足为 R由条件 ，有 PQ：PF=而FS=4，所以QR=3 ，由抛物线性质知QF=QR=3 故选(C)15 【正确答案】 C【试题解析】 如图所示切下一个“角”，切下的小四面体各棱长和高均为对应的大四面体各棱长和高的
13、 所以小四面体的体积为大四面体体积的( )3余下部分的体积为 故选(C)16 【正确答案】 B【试题解析】 故选(B)17 【正确答案】 C【试题解析】 令 f(x)=0，得 x=e当0xe 时， f(x)0，因此 f(x)在(0，e 上单调增加；当 ex+时，f(x)0，因此 f(x)在(e，+)上单调减少，从而 x=e 是 f(x)的唯一极大值点，因此它是最大值点，最大值 f(e)=k0由f(x)=一及极限的保号性质，存在 x1，0x 1 e，使得 f(x1)0同理存在x2e，使得 f(x2)0 f(x)在x 1，e ，e，x 2上利用连续函数的零点存在定理，得出 f(x)在(x 1，e)
14、，(e，x 2)内各至少有一个零点的结论又 f(x)在(x 1，e)，(e ，x 2)内是单调的因而 f(x)在(x 1，e)，(e，x 2)内最多各有一个零点综合上述，f(x)在(x1，e)和(e，x 2)内各有一个零点，即方程 f(x)=0 在(x 1，e)及(e，x 2)内各有一个根 故选(C) 18 【正确答案】 D【试题解析】 如图所示，在区间(2，4)(6，9)上， f(x)的图形在 z 轴上方，所以f(x)0因此 y=f(x)在(2，4)(6，9)上单调增加又 f(x)在 x=1，x=3 ，x=5，x=7两侧单调性发生了变化，所以，上述四个点均为曲线 y=f(x)拐点的横坐标故选
15、(D)19 【正确答案】 B【试题解析】 F(y)= -1yxye xdx =-1y(y-x)exdx+y1(x-y)exdx =y-1yexdx 一 -1yxexdx+y1xexdx-yy1exdx， 故 F(y)= -1yexdx+yeyyeyyeyy1exdx+yey =-1yexdx 一y1exdx， F(0)= -10exdx 一 01exdx =ex -10 一 ex 01=2 一 ee-1 故选(B)20 【正确答案】 C【试题解析】 从而有 abg(x)dx=0 故选(C) 21 【正确答案】 A【试题解析】 由积分中值定理 I 1=0f(x)dx=f(1)， 10， I 2=
16、.( 一 )f(2)=f(2)， 2，因 f(x)是严格单调递减函数，而 1 2，所以 f(1)f(2)因此 I1 一 I2=f(1)一 f(2)0，从而 I1I 2故选(A)22 【正确答案】 B【试题解析】 故选(B)23 【正确答案】 A【试题解析】 对于矩阵 A，由得矩阵 A 的所有特征值为 1=0(n 一 1 重)， 2=n(单根 ) 故选(A) 24 【正确答案】 B【试题解析】 本题中向量的个数与维数相等，它们线性无关的充要条件是它们组成的行列式 1230，而故选(B)25 【正确答案】 B【试题解析】 Ax=0 的基础解系含有 n 一 r 个解向量，又因矩阵 B 为可逆方阵，所以 BAx=0 与 Ax=0 是同解线性方程组，因而，应选(B)，而不选(A)r(CA)minr(A)，r(C)r，因而 CAx=0 的基础解系所含解向量个数大于 n 一 r由于矩阵 C 是一个不可逆矩阵，且 r(C)r，矩阵 A 是 mn 矩阵，r(A)=r，所以 r(C)m ， r(CA)minr(A)，r(C)m，因而 CAx=0 的基础解系中所含解向量个数大于 nm，所以(C)和(D) 都不正确故选(B)
