1、考研数学二（一元函数的导数与微分概念及其计算）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设曲线 y=x2+ax+b 和 2y=1+xy 3 在点(1，1)处相切，其中 a，b 是常数，则（A）a=0 ，b=2（B） a=1，b=3（C） a=3，b=1（D）a= 1， b=12 设 f(x0)0， f(x)在 x=x0 连续，则 f(x)在 x0 可导是f(x)在 x0 可导的( )条件（A）充分非必要（B）充分必要（C）必要非充分（D）既非充分也非必要3 设 F(x)=g(x)(x)，(x)在 x=a 连续但不可导，又 g(a)存在，则 g(
2、a)=0 是 F(x)在x=a 可导的( )条件（A）充分必要（B）充分非必要（C）必要非充分（D）既非充分也非必要4 设 f(x+1)=af(x)总成立，f(0)=b，a1，b1 为非零常数，则 f(x)在点 x=1 处（A）不可导（B）可导且 f(1)=a（C）可导且 f(1)=b（D）可导且 f(1)=ab5 若极限 ，则函数 f(x)在 x=a 处（A）不一定可导（B）不一定可导，但 f+(a)=A（C）不一定可导，但 f (a)=A（D）可导，且 f(a)=A6 设 f(x)=3x2+x2x，则使 f(n)(0)存在的最高阶数 n=（A）0（B） 1（C） 2（D）37 设 f(a)
3、0，则 0，有（A）f(x)f(a)(x (a，a+)（B） f(x)f(a)(x(a， a+)（C） f(x)f(a)(x(a，a+)，f(x)f(a)(x (a ，a)（D）f(x)f(a)(x (a，a+)，f(x)f(a)(x (a ， a)二、填空题8 ()请用等价、同阶、低阶、高阶回答：设 f(x)在 x0 可微，f(x 0)0，则 Ax0 时f(x)在 x=x0 处的微分与 x 比较是( )无穷小， y=f(x0+x)f(x 0)与x 比较是( )无穷小，ydf(x) 与 x 比较是( )无穷小( )设函数 y=f(x)可微，且曲线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线
4、与直线 y=2x 垂直，则 =(A) 1 (B)0 (C) 1 (D) 不存在9 设 y=f(lnx)ef(x)，其中 f(x)可微，则 dy=_10 设函数 f(x)有任意阶导数且 f(x)=f2(x)，则 f(n)(x)=_(n2)11 设 f(x)= ，则 f(1)=_12 设 f(0)=1，f(0)=0 ，则 =_13 设 y= 且 f(x)=arctanx2，则 =_14 设 f(x)有任意阶导数且 f(x)=f3(x)，则 f(n)(x)=_15 设 =_16 曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为_17 r=a(1+cos)在点(r，)=(2a，0)，(a， )
5、，(0，)处的切线方程分别为_18 设函数 f(x)= 的导函数在 x=0 处连续，则整数 的取值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 说明下列事实的几何意义： ()函数 f(x)，g(x)在点 x=x0 处可导，且 f(x0)=g(x0)，f(x0)=g(x0)； ()函数 y=f(x)在点 x=x0 处连续，且有 =20 设 f(x)在 x=a 处可导，且 f(a)=1，f(a)=3，求数列极限 =21 设 y=f(x)可导，且 y0()若已知 y=f(x)的反函数 x=(y)可导，试由复合函数求导法则导出反函数求导公式；()若又设 y=f(x)二阶可导，则 =_22
6、 ()设 ex+y=y 确定 y=y(x)，求 y，y“；()设函数 y=f(x+y)，其中 f 具有二阶导数，且 f1，求23 设 f(x)= 求 f(1)与 f(1)24 设 y=sin4x，求 y(n)25 设 y= +1，求它的反函数 x=(y)的二阶导数 及 “(1)26 求下列隐函数的微分或导数：()设 ysinxcos(xy)=0，求 dy；( )设方程确定 y=y(x)，求 y与 y“27 确定常数 a 和 b，使得函数 f(x)= 处处可导28 设 y=y(x)由方程组 (*)确定，求29 讨论函数 f(x)= 在 x=0 处的连续性与可导性30 给定曲线 y=x2+5x+4
7、， ()确定 b 的值，使直线 y= +b 为曲线的法线；()求过点(0 ，3)的切线31 计算下列各题：32 设函数 f(x)反函数 g(x)，且 f(a)=3，f(a)=1，f“(a)=2，求 g“(3)33 把 y 看作自变量，x 为因变量，变换方程 =x考研数学二（一元函数的导数与微分概念及其计算）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 曲线 y=x2+ax+b 在点(1，1) 处的斜率 y=(x 2+ax+b) x=1=2+a 将方程 2y=1+xy 3 对 x 求导得 2y=y 3+3xy2y由此知，该
8、曲线在 (1，1)处的斜率y(1)为 2y(1)=(1) 3+3y(1)，y(1)=1因这两条曲线在(1，1)处相切，所以在该点它们的斜率相同，即 2+a=1，a= 1又曲线 y=x2+ax+b 过点(1，1)，所以1+a+b=1，b= 2a= 1因此选 D【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算2 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x0)0=f(x0)0 或 f(x0)0，因 f(x)在点 x0 处连续，则 f(x)在 x0某邻域是保号的，且 0，当xx 0 时，因此应选 B【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 (a)不存在，所以不能
9、对 g(x)(x)用乘积的求导法则；当g(a)0 时，若 F(x)在 x=a 可导，可对 用商的求导法则 ()若 g(a)=0，按定义考察即 F(a)=g(a)(a) ()再用反证法证明：若 F(a)存在，则必有 g(a)=0若 g(a)0，由商的求导法则即知 (x)= 等在 x=a 可导，与假设条件 (a)在 x=a 处不可导矛盾因此应选 A【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算4 【正确答案】 D【试题解析】 按定义考察 f(1)= =af(0)=ab，aba，abb因此，应选 D【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算5 【正确答案】 A【试题解析】 只有极限存在并不能保证
10、极限都存在，因此两个单侧导数都不一定存在，应选 A【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算6 【正确答案】 C【试题解析】 实质上就是讨论 g(x)=x2x= 时，g (n)(0) 的最高阶数n 由于x在 x=0 处不可导，因此 n=2选 C【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算7 【正确答案】 C【试题解析】 直接由定义出发 f(a)= 0 由极限的保号性= 0，当 x(a ，a+)，xa 时 0= f(x)f(a) (x(a，a+)，f(x)f(a) (x(a ，a) 因此选 C【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算二、填空题8 【正确答案】 () 同阶、同阶、高阶(
11、)(B)【试题解析】 ()df(x) =f(x0)=x，由 =f(x0)0。知这时 df(x)与x 是同阶无穷小量；按定义 =f(x0)0，故 y 与x 也是同阶无穷小量；按微分定义可知差ydf(x) =o(x)(x0) 是比x 高阶的无穷小()由题设可知 f(x0)=1，又ydy=o( x)，dy=f(x 0)x=x，于是=0，故应选 B【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算9 【正确答案】 【试题解析】 利用一阶微分形式不变性，可得 dy=df(lnx)ef(x)=ef(x)df(lnx)+f(lnx)def(x) =ef(x)f(lnx)dlnx+f(lnx)ef(x)df(x)
12、 =【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算10 【正确答案】 n！f n+1(x)【试题解析】 将 f(x)=f2(x)两边求导得 f“(x)=2f(x)f(x)=2f3(x)，再求导得 f“(x)=3！ f2(x)f(x)=3！f 4(x) 由此可归纳证明 f(n)(x)=n！f n+1(x)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算11 【正确答案】 【试题解析】 f(x)是 2014 个因式的乘积，如果直接使用导数定义求导或者先求导再代值，都比较麻烦其实，当把 x=1 代入每个因式后，只有第一项1=0 ，而其余所有项都不等于 0记，于是【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及
13、其计算12 【正确答案】 【试题解析】 原式=【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算13 【正确答案】 【试题解析】 y=f(u)，u= ，u x=0=1【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算14 【正确答案】 (2n1) ！f 2n+1(x)【试题解析】 f (2)(x)=3f2(x)f(x)=3f5(x)，f (3)(x)=3.5f4(x)f(x)=3.5f7(x)，可归纳证明 f(n)(x)=(2n1) ！f 2n+1(x)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算16 【正确答案】 y=
14、x1【试题解析】 与直线 x+y=1 垂直的直线族为 y=x+c，其中 c 是任意常数，又因y=lnx 上点(x 0，y 0)=(x0，lnx 0)(x00)处的切线方程是y=lnx0+ +lnx01，从而，切线与 x+y=1 垂直的充分必要条件是=1 x0=1，即该切线为 y=x1【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算17 【正确答案】 ；ya=x；y=0【试题解析】 参数方程 则()在点(r，)=(2a，0)处，(x，y)=(2a，0)，切线 x= ()在点(r ，)= 处，(x，y)=(0 ，a)，=1，切线 ya=x ( )在点(r，)=(0，) 处，(x，y)=(0 ，0)，
15、 =0，切线y=0【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算18 【正确答案】 4【试题解析】 由导数定义可求得 上述极限只在 1 时存在，且此时 f(0)=0，于是 f(x)的导函数为欲使 f(x)在 x=0 处连续，必须有而这一极限为零应满足3(=2，3 时 不存在)因此，整数 的取值为 4，5，6，即整数4【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 () 曲线 y=f(x)，y=g(x)在公共点 M0(x0，f(x 0)即(x 0，g(x 0)处相切( )点 x=x0 是 f(x)的不可导点曲线 y=f(x)在点
16、 M0(x0，f(x 0)处有垂直于 x 轴的切线 x=x0(见图 21)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算20 【正确答案】 这是指数型数列极限，先转化成 其指数是 型数列极限，用等价无穷小因子替换，由数列极限与函数极限的关系及导数定义知 因此 =e6【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算21 【正确答案】 () 设 y=f(x)的反函数是 x=(y)，则反函数的导数可由复合函数求导法则求出：由 y=f(y)，两边对 y 求导得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算22 【正确答案】 () 注意 y 是 x 的函数，将方程两端对 x 求导得 ex+y(1+y)=)
17、=y，即 (这里用方程 ex+y=y 化简)再将 y的表达式对 x 求导得()y=y(x)由方程 f(x+y)y=0 确定，f 为抽象函数，若把 f(x+y)看成 f(u)，而u=x+y，y=y(x)，则变成复合函数和隐函数的求导问题注意， f(x+y)及其导函数f(x+y)均是 x 的复合函数 将 y=f(x+y)两边对 x 求导，并注意 y 是 x 的函数，f 是关于 x 的复合函数，有 y=f.(1+y)，即 y= (其中 f=f(x+y)又由 y=(1+y)f再对 x 求导，并注意 y是 x 的函数，f即 f(x+y)仍然是关于 x 的复合函数，有 y“=(1+y)f+(1+y)(f)
18、x =y“f+(1+y)f“.(1+y)=y“f+(1+y)2f“，将 y= 代入并解出y“即得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算23 【正确答案】 由题设知 f(1+0)= =f(1)，f( 10)= =f(1) ，故 f(x)又可以写成【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算24 【正确答案】 【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算25 【正确答案】 由变限积分求导法先求得 ，再由反函数求导法得 ，最后由复合函数求导法得 由原方程知y=1 x=0 = “(1)= =0【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算26 【正确答案】 () 利用一阶微分形式不变性求得
19、 d(ysinx)dcos(xy)=0 ，即 sinxdy+ycosxdx+sin(xy)(dx dy)=0 ，整理得 sin(xy)sinxdy=ycosx+sin(xy)dx，故 ()将原方程两边取对数，得等价方程现将方程两边求微分得化简得 xdx+ydy=xdyydx，即 (xy)dy=(x+y)dx，由此解得 为求 y“，将 y满足的方程(xy)y=x+y 两边再对 x求导，即得 代入 y表达式即得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算27 【正确答案】 由 f(x)在 x=0 处可导，得 f(x)在 x=0 处连续由表达式知，f(x)在x=0 右连续于是，f(x)在 x=0
20、连续 =2a=f(0)=2a= 2b，即 a+b=0 又 f(x)在 x=0 可导 f+(0)=f (0)在 a+b=0 条件下，f(x) 可改写成 于是 f +(0)=9arctanx+2b(x1) 3 x=0=9+6b，f (0)=(sinx+2aex) x=0=1+2a因此 f(x)在 x=0 可导 故仅当 a=1，b=1 时 f(x)处处可导【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算28 【正确答案】 由方程组的第一个方程式对 t 求导得 xt=6t+2=2(3t+1)将第二个方程对 t 求导并注意 y=y(t)得 yteysint+eycosty t=0，整理并由方程式化简得 y
21、t=(*)注意：由(*)式得 y t=0=1，由(*) 式得 =e在上式中令 t=0 得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算29 【正确答案】 按定义因此，f +(0)=f (0)=0因此 f(x)在 x=0 可导，因而也必连续【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算30 【正确答案】 () 曲线过任意点(x 0，y 0)(y0=x02+5x0+4)不垂直于 x 轴的法线方程是 要使 y= +b 为此曲线的法线，则()曲线上任意点(x0，y 0)(y0=x02+5x0+4)处的切线方程是 y=y0+(2x0+5)(xx 0)， (*)点(0，3)不在给定的曲线上，在(*)式中令
22、 x=0，y=3 得 x02=1，x 0=1，即曲线上点(1，10)，(1，0)处的切线 y=7x+3，y=3x+3，通过点(0 ，3)，也就是过点(0，3) 的切线方程是y=7x+3 与 y=3x+3【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算31 【正确答案】 【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算32 【正确答案】 记 y=f(x)应注意到，g(x)为 f(x)的反函数，已经改变了变量记号，为了利用反函数导数公式，必须将 g(x)改写为 g(y) 由反函数求导公式有 f(x)g(y)=1，将该等式两边关于 x 求导得 f“(x)g(y)+f(x)g“(y)y x=0，或 f“(x)g(y)+f(x) 2g“(y)=0注意到 g(3)= =1，在上式中令 x=0，应有 y=3，因此得到 g“(3)= f“(a)g(3)=2【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算33 【正确答案】 把方程中的 来表示由反函数求导法得再由复合函数求导法及反函数求导法=将它们代入原方程=【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算
