1、考研数学二（一元函数的导数与微分概念及其计算）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 y=f(x)可微，且曲线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线与直线 y=2-x 垂直，则=（A）-1 （B） 0（C） 1（D）不存在2 设曲线 y=x2+ax+b 和 2y=-1+xy3 在点(1，-1) 处相切，其中 a，b 是常数，则（A）a=0 ，b=2（B） a=1，b=-3（C） a=-3，b=1（D）a=-1，b=-13 设 f(x0)0， f(x)在 x=x0 连续，则 f(x)在 x0 可导是f(x)在 x0 可导的(
2、)条件（A）充分非必要.（B）充分必要.（C）必要非充分.（D）既非充分也非必要.4 设 f(x)在点 x=x0 处可导，且 f(x0)=0，则 f(x0)=0 是f(x)在 x0 可导的( )条件（A）充分非必要.（B）充分必要.（C）必要非充分.（D）既非充分也非必要.5 设 F(x)=g(x)(x)，(x)在 x=a 连续但不可导，又 g(a)存在，则 g(a)=0 是 F(x)在x=a 可导的( )条件（A）充分必要.（B）充分非必要.（C）必要非充分.（D）既非充分也非必要.6 函数 f(x)=(x2-x-2)x 2-x的不可导点有（A）3 个（B） 2 个（C） 1 个（D）0 个
3、7 设 f(x+1)=a f(x)总成立，f(0)=b，a1，b1 为非零常数，则 f(x)在点 x=1 处（A）不可导（B）可导且 f(1)=a（C）可导且 f(1)=b（D）可导且 f(1)=ab二、填空题8 请用等价、同阶、低阶、高阶回答：设 f(x)在 x0 可微，f(x 0)0，则x0 时 f(x)在 x=x0 处的微分与 x 比较是_无穷小，y=f(x 0+x)-f(x0)与x 比较是_无穷小，y-df(x) x=x0 与x 比较是_无穷小9 设 y=f(lnx)ef(x)，其中 f(x)可微，则 dy=_10 设 y=f(x)可导，且 y0若 y=f(x)二阶可导，则 =_11
4、对数螺线 r=e在点(r ，)= 处的切线的直角坐标方程为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 判断下列结论是否正确?为什么? ()若函数 f(x)，g(x)均在 x0 处可导，且 f(x0)=g(x0)，则 f(x0)=g(x0)； ()若 x(x0-，x 0+)，xx 0 时 f(x)=g(x)，则 f(x)与 g(x)在x=x0 处有相同的可导性； () 若存在 x0 的一个邻域(x 0-，x 0+)，使得 x(x0-，x 0+)时 f(x)=g(x)，则(x)与 g(x)在 x0 处有相同的可导性若可导，则 f(x0)=g(x0)13 说明下列事实的几何意义：()函
5、数 f(x)，g(x)在点 x=x0 处可导，且 f(x0)=g(x0)f(x0)=g(x0)；()函数 y=f(x)在点 x=x0 处连续，且有14 设函数 f(x)在 x=x0 处存在 f+(x0)与 f-(x0)，但 f+(x0)f-(x0)，说明这一事实的几何意义15 设 f(x)存在，求极限 ，其中 a，b 为非零常数16 设 f(x)在 x=a 处可导，且 f(a)=1，f(a)=3，求数列极限17 求下列函数的导数 y：()y=arctane x2；()y=18 设 y=(1+x2)arctanx，求 y19 设 y=f(x)可导，且 y0若已知 y=f(x)的反函数 x=(y)
6、可导，试由复合函数求导法则导出反函数求导公式.20 设 a 为常数，求21 ()设 ex+y=y 确定 y=y(x)，求 y，y ；()设函数 y=f(x+y)，其中 f 具有二阶导数，且 f1，求22 设 求 f(x)在点 x=0 处的导数23 设 求 f(1)与 f(-1)24 设 f(x)= 求 f(x)25 设函数 f(x)有任意阶导数且 f(x)=f2(x)，则 f(n)(x)=_(n2)26 求下列 y(n)：27 设 y=sin4x，求 y(n)28 设 y=x2e2x，求 y(n)29 求下列函数的导数与微分：()设 y= ，求 dy；()设 y=，求 y与 y(1)30 设
7、y=0xet2dt+1，求它的反函数 x=(y)的二阶导数 及 (1)31 设32 求下列隐函数的微分或导数：()设 ysinx-cos(x-y)=0，求 dy；()设方程确定 y=y(x)，求 y与 y33 设 ()求 f(x)；()f(x)在点 x=0 处是否可导?34 确定常数 a 和 b，使得函数 处处可导35 已知 y=11 其中 t=t(x)由 确定，求考研数学二（一元函数的导数与微分概念及其计算）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由题设可知 f(x0)=1，又 y-dy=o(x)，dy=f(x
8、0)x=x，于是，故应选(B)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算2 【正确答案】 D【试题解析】 曲线 y=x2+ax+b 在点(1，-1) 处的斜率 y=(x 2+ax+b) x=1=2+a 将方程 2y=-1+xy3 对 x 求导得 2y=y3+3xy2y由此知，该曲线在(1，-1)处的斜率 y(1)为 2y(1)=(-1)3+3y(1)，y(1)=1 因这两条曲线在(1 ，-1) 处相切，所以在该点它们的斜率相同，即 2+a=1，a=-1又曲线 y=x2+ax+b 过点(1，-1)，所以 1+a+b=-1，b=-2-a=-1因此选(D)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及
9、其计算3 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x0)0 f(x0)0 或 f(x0)0，因 f(x)在点 x0 处连续，则 f(x)在 x0某邻域是保号的，即 ，当x-x 0 时，因此应选(B) 【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算4 【正确答案】 B【试题解析】 按定义f(x)在 x0 可导存在，即均存在且相等因此应选(B) 【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算5 【正确答案】 A【试题解析】 因为 (a)不存在，所以不能对 g(x)(x)用乘积的求导法则；当g(a)0 时，若 F(x)在 x=a 可导，可对 用商的求导法则()若 g(a)=0，按定义考察即 F(a)=
10、g(a)(a)( )再用反证法证明：若 F(a)存在，则必有 g(a)=0若 g(a)0，由商的求导法则即知 (x)在 x=a 可导，与假设条件 (a)= 在 x=a 处不可导矛盾因此应选(A) 【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算6 【正确答案】 B【试题解析】 函数x，x-1，x+1分别仅在 x=0，x=1，x=-1 不可导且它们处处连续 f(x)=(x 2-x-2)xx-1x+1，只需考察 x=0，1，-1 是否可导 考察 x=0，令 g(x)=(x2-x-2)x 2-1，则 f(x)=g(x)x，g(0)存在，g(0)0，(x)=x在 x=0 连续但不可导，故 f(x)在 x
11、=0 不可导 考察 x=1，令 g(x)=(x2-x-2)x 2+x，(x)=x-1，则 g(1)存在，g(1)0，(x)在 x=1 连续但不可导，故 f(x)=g(x)(x)在 x=1 不可导 考察 x=-1，令 g(x)=(x2-x-2)x 2-x，(x)=x+1，则 g(-1)存在，g(-1)=0，(x)在 x=-1 连续但不可导，故 f(x)=g(x)(x)在x=-1 可导因此选(B)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算7 【正确答案】 D【试题解析】 按定义考察=af(0)=ab，aba，abb因此，应选(D)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算二、填空题8 【正
12、确答案】 同阶；同阶；高阶【试题解析】 df(x) x=x0=f(x0)x，由 =f(x0)0 知这时 df(x) x=x0与x 是同阶无穷小量；按定义 =f(x0)0，故 y 与x 也是同阶无穷小量；按微分定义可知差y-df(x) x=x0=o(x)(x0)是比x 高阶的无穷小【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算9 【正确答案】 e f(x) f(lnx)+f(x)f(lnx)dx【试题解析】 利用一阶微分形式不变性，可得 dy=df(lnx)ef(x)=ef(x)df(lnx)+f(lnx)def(x)=ef(x)f(lnx)dlnx+f(lnx)ef(x)df(x)=ef(x)
13、 f(lnx)+f(x)f(lnx)dx【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算11 【正确答案】 【试题解析】 对数螺线的参数方程为 于是它在点处切线的斜率为 当 =时 x=0，y= 因此该切线方程为 .【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 () 不正确函数在某点的可导性不仅与该点的函数值有关，还与该点附近的函数值有关仅有 f(x0)=g(x0)不能保证 f(x0)=g(x0)正如曲线 y=f(x)与 y=g(x)可在某处相交但并
14、不相切()不正确例如 f(x)=x2，g(x)=显然，当 xO 时 f(x)=g(x)，但 f(x)在 x=0 处可导，而 g(x)在 x=0 处不可导(因为 g(x)在 x=0 不连续)()正确由假设可得当 x(x0-，x 0+)，xx 0 时故当 xx 0 时等式左右端的极限或同时存在或同时不存在，而且若存在则相等再由导数定义即可得出结论【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算13 【正确答案】 () 曲线 y=f(x)，y=g(x)在公共点 M0(x0，f(x 0)即(x 0，g(x 0)处相切( )点 x=x0 是 f(x)的不可导点曲线 y=f(x)在点 M0(x0，f(x 0
15、)处有垂直于 x 轴的切线 x=x0(见图 21)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算14 【正确答案】 x=x 0 是 f(x)的不可导点曲线在点 M0(x0，f(x 0)处存在左、右切线，且左、右切线有一个夹角(M 0 是曲线 y=f(x)的尖点)，见图 22.【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算15 【正确答案】 按导数定义，将原式改写成原式=af(x)+bf(x)=(a+b)f(x)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算16 【正确答案】 这是指数型数列极限，先转化成其指数是 型数列极限，用等价无穷小因子替换，由数列极限与函数极限的关系及导数定义知因此 e=
16、e6【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算17 【正确答案】 () ()当x0 时，由求导法则得 f(x)= ；当 x=0 时，由导数定义得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算18 【正确答案】 将函数化为 y=earctanxln(1+x2)，然后对 x 求导即得 y=(1+x2)arctsnarctanxln(1+x2)=(1+x2)arctan【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算19 【正确答案】 设 y=f(x)的反函数是 x=(y)，则反函数的导数可由复合函数求导法则求出：由 y=f(y)，两边对 y 求导得因此【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计
17、算20 【正确答案】 继续对 x 求导，并注意 t 是 x 的函数，得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算21 【正确答案】 () 注意 y 是 x 的函数，将方程两端对 x 求导得 ex+y(1+y)=y，即y= (这里用方程 ex+y=y 化简)再将 y的表达式对 x 求导得或将的表达式，同样可求得 ()y=y(x)由方程 f(x+y)-y=0 确定，f 为抽象函数，若把 f(x+y)看成 f(u)，而 u=x+y，y=y(x)，则变成复合函数和隐函数的求导问题注意，f(x+y)及其导函数 f(x+y)均是 x 的复合函数将 y=f(x+y)两边对 x求导，并注意 y 是 x 的
18、函数，f 是关于 x 的复合函数，有 y=f.(1+y)，即y= (其中 f=f(x+y)又由 y=(1+y)f再对 x 求导，并注意 y是 x 的函数，f即 f(x+y)仍然是关于 x 的复合函数，有 y=(1+y)f+(1+y)(f)x=yf+(1+y)f.(1+y)=yf+(1+y)2f，将 y= 代入并解出 y即得 (其中 f=f(x+y)，f=f(x+y)或直接由 再对 x 求导，同样可求得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算22 【正确答案】 其中用到了等价无穷小因子替换： ln(1+x)-1(x0)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算23 【正确答案】 由题设
19、知 f(1+0)= =f(1)，f(-1-0)= =f(-1)，故 f(x)又可以写成所以 f+(1)= f-(1)=(arctanx) x=1= f+(-1)=(arctanx) x=-1= f-(-1)=因此 f(1)=f(-1)= .【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算24 【正确答案】 当 x0 时，由求导法则得 f(x)=3x2sin 当 x=0 时，可用以下两种方法求得 f(0)显然 =0=f(0)，f(x)在点 x=0 处连续，又因此 f(0)=0于是【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算25 【正确答案】 将 f(x)=f2(x)两边求导得 f(x)=2f(x
20、)f(x)=2f3(x)，再求导得 f(x)=3!f2(x)f(x)=3!f4(x) 由此可归纳证明 f(n)(x)=n!fn+1(x)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算26 【正确答案】 () 当 n 为奇数时，x n+1 可被 x+1 整除，x n+1=(x+1)(xn-1-xn-2+-x+1) =(xn-1-xn-2+-x+1)- y(n)= 当 n 为偶数时，xn 除 x+1 得 xn=(x+1)(xn-1-xn-2+x-1)+1 y= =xn-1-xn-2+x-1+ ，y (n)=0+(-1)n ()由于，于是【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算27 【正确答案
21、】 y= (1-2cos2xcos22x)= (1+cos4x)，【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算28 【正确答案】 用莱布尼兹法则并注意(x 2)(k)=0(k=3，4，) ，(e 2x)(k)=2ke2x，得y(n)= Cnk(x2)(k)(e2x)(n-k)=x2(e2x)(n)+n(x2)(e2x)(n-1)+ (x2)(e2x)(n-2)=2ne2xx2+nx+ n(n-1)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算29 【正确答案】 () ()这是求连乘积的导数，用对数求导法方便因函数可取负值，先取绝对值后再取对数得lny=ln x-1+ ln2-x对 x 求导，
22、得因此若只求 y(1)，用定义最简单利用 y(1)=0 可得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算30 【正确答案】 由变限积分求导法先求得 =ex2，再由反函数求导法得 =e-x2，最后由复合函数求导法得 =-2xe-x2.e-x2=-2xe-2x2由原方程知y=1 (1)=-2xe-2x2 x=0=0【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算31 【正确答案】 ，将该式对 x 求导，右端先对 t 求导再乘上 得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算32 【正确答案】 () 利用一阶微分形式不变性求得 d(ysinx)-dcos(x-y)=0，即sinxdy+ycosxd
23、x+sin(x-y)(dx-dy)=0，整理得sin(x-y)-sinxdy=ycosx+sin(x-y)dx ，故()将原方程两边取对数，得等价方程 ln(x2+y2)=arctan (*)现将方程两边求微分得 化简得xdx+ydy=xdy-ydx，即(x-y)dy=(x+y)dx，由此解得 为求 y，将 y满足的方程(x-y)y=x+y 两边再对 x 求导，即得(1-y)y+(x-y)y=1+y代入 y表达式即得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算33 【正确答案】 () 这是分段函数，分界点 x=0，其中左边一段的表达式包括分界点，即 x0，于是可得当 x0 时，f(x)= +
24、2cos2x，x=0 处是左导数：f-(0)=2；当 x0 时，又 =f(0)，即 f(x)在 x=0 右连续 f+(0)=2于是f(0)=2因此 ()f(x)也是分段函数，x=0 是分界点为讨论 f(x)在 x=0 处的可导性，要分别求 f+(0)与 f-(0)同前可得 按定义求 f+(0)，则有因 f+(0)f(0)，所以 f(0)不存在，即 f(x)在点 x=0 处不可导【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算34 【正确答案】 由 f(x)在 x=0 处可导，得 f(x)在 x=0 处连续由表达式知，f(x)在x=0 右连续于是，f(x)在 x=0 连续 (sinx+2aex)=
25、2a=f(0) 2a=-2b，即 a+b=0又 f(x)在 x=0 可导 f+(0)=f-(0)在 a+b=0 条件下，f(x)可改写成于是 f +(0)=9arctanx+2b(x-1)3 x=0=+6b(x-1)22 x=0=9+6b，f -(0)=(sinx+2aex) x=0=1+2a因此 f(x)在 x=0 可导故仅当 a=1，b=-1 时 f(x)处处可导【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算35 【正确答案】 由式给出 y=y(t)，由参数式给出 t=t(x)于是 y(t)与 t=t(x)复合的结果 y 是 x 的函数，由复合函数求导法可得 是变限积分求导，求 是参数式求导由式得 由 得因此【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算
