1、考研数学二（一元函数的泰勒公式及其应用）模拟试卷 1 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 求 cos 的带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式2 求 带皮亚诺余项的麦克劳林公式3 求 arctan 带皮亚诺余项的 5 阶麦克劳林公式4 求极限 5 确定常数 a 和 b 的值，使 f()(a b )sin 当 0 时是 的 5 阶无穷小量6 设 f()在 0 处 n(n2)阶可导且 e 4，求 f(0)，f(0) ，f (n)(0)7 设 0 ，证明 8 设 f()在0 ，1二阶可导，f(0)a ，f(1)a，f() b，a，b 为非负数，求证： c(0，1) ，有f(c)
2、2a b9 设 f()在a ，b三次可微，证明： (a，b)，使得10 在 0 处展开下列函数至括号内的指定阶数： ()f()tan( 3)； ()f()sin(sin)( 3)11 求下列函数 f()在 0 处带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式： ( )f() ； ()f()e sin12 用泰勒公式求下列极限：13 用泰勒公式确定下列无穷小量当 0 时关于 的无穷小阶数： ()() 0(et1t) 2dt14 设 f()在(0，)三次可导，且当 (0，)时f()M 0，f()M 3，其中 M0，M 3 为非负常数，求证 f() 在(0 ，)上有界15 设函数 f()在0 ，1二阶可导，且 f
3、(0)f(0) f(1)0，f(1)1求证：存在(0， 1)，使f() 416 设 f()在( 0， 0) 有 n 阶连续导数，且 f(k)(0)0，k2，3，n1；f (n)(0)0当 0h 时，f( 0h)f( 0)hf( 0h) ，(01)求证： 17 求下列函数的带皮亚诺余项至括号内所示阶数的麦克劳林公式： ()f()e cos (3)； ()f() (3)； ()f() ，其中 a0 ( 2)18 求下列函数的带皮亚诺余项的麦克劳林公式：()f()sin 3；()f()ln(1 2)19 确定下列无穷小量当 0 时关于 的阶数： ()f()e 1 sin； ()f()(1 )cos1
4、20 求下列极限：21 确定常数 a 和 b 的值，使得 622 设 f() 2sin，求 f(n)(0)23 设 f()在 0 处二阶可导，又 I 1求 f(0)，f(0)，f(0)24 设 f()在 a 处 n(n2)阶可导，且 a 时 f()是 a 的 n 阶无穷小，求证：f()的导函数 f()当 a 时是 a 的 n1 阶无穷小25 设 f()在 a 处四阶可导，且 f(a)f(a)f(a) 0，但 f(4)(a)0，求证：当f(4)(a)0(0)时 a 是 f()的极小( 大)值点26 设 f()，g()在 0 某邻域有二阶连续导数，曲线 yf()和 yg()有相同的凹凸性求证：曲线
5、 yf()和 yg() 在点( 0，y 0)处相交、相切且有相同曲率的充要条件是：f() g()o( 0)2)( 0)27 求 f()3 带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式28 设 f()在a，b上连续，在(a ，b)内二阶可导，证明： (a，b)使得 f(b)2f(ba) 2f() 29 设 f()为 n1 阶可导函数，求证：f() 为 n 次多项式的充要条件是 f(n+1)()0，f (n)()030 设 f()在(0，)二阶可导且 f()，f()在(0，) 上有界，求证：f()在(0， )上有界31 设 f()在a，b二阶可导，f()0，f()0(a ，b) ，求证：考研数学二（一元函数的
6、泰勒公式及其应用）模拟试卷 1 答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 【正确答案】 【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用2 【正确答案】 把 t 2 代入 et1t o(t n) (t0) 即得【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用3 【正确答案】 由于(arctan) ，又 1 2 4o( 5)，由该式逐项积分即得【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用4 【正确答案】 又 sin2 2(0)，所以 【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用5 【正确答案】 不难看出当 1a b0 与 b0 同时成立 f()才能满足题设条件由此可解得常数 a ，b ，并且得到
7、f() 5o( 5)，f()是戈的 5 阶无穷小(0)【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用6 【正确答案】 1)先转化已知条件由e 4 知再用当 0 时的等价无穷小因子替换 ln1f()f()，可得 4 2)用 o(1)表示当 0时的无穷小量，由当 0 时的极限与无穷小的关系 4o(1)，并利用 n(1)o( n)可得 f()4 no( n)从而由泰勒公式的唯一性即知 f(0)0，f(0)0，f(0)0，f (n-1)0， 4，故 f(n)(0)4n!【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用7 【正确答案】 由带拉格朗日余项的泰勒公式 cos1 4cos()，0 1， 可得 1cos 2
8、注意当， 故【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用8 【正确答案】 考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式： 0，1， c(0，1)，有 f()f(c)f(c)(c) f()(c) 2， (*) 其中 c(c)，0 1 在(*)式中，令 0，得 f(0)f(c)f(c)(c) f( 1)c2，0 1c1； 在(*)式中，令 1，得 f(1)f(c) f(c)(1c) ( 2)(1c) 2，0c 21 上面两式相减得 f(1)f(0) f(c) f (2)(1c) 2f( 1)c2 从而 f(c)f(1) f(0) f( 1)c2f( 2)(1c) 2，两端取绝对值并放大即得 f(c)2a b(1c
9、) 2c 22ab(1 cc)2a b 其中利用了对任何 c(0， 1)有(1 c) 21c，c 2c，于是(1c) 2c 21【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用9 【正确答案】 将 f()在 0 展成二阶泰勒公式并分别令 b 与 a 得其中 1， 2(a，b)上面两式相减得注意： 介于 f(1)与 f(2)之间，由导函数取中间值定理，可得 (a，b) ， 使得 f() 因此得证【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用10 【正确答案】 即tan 3o( 3) ()已知 sinuu u3o(u 3)(u0)，令 usin sin(sin)sin sin3o(sin 3) 再将 sin 3
10、o( 3)代入得【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用11 【正确答案】 () 由 f() ，可得对m1，2，3，有 f (m)()2(1) mm! f(m)(0)2(1) mm! 故 f()122 22(1) nn2(1) n+1 ()用归纳法求出 f(n)()的统一公式【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用12 【正确答案】 () 用 et，ln(1t)，cost，sint 的泰勒公式，将分子、分母中的函数在 0 展开由于因此，cossin 3o( 3) 再求分子的泰勒公式由 2e2 21(2) o() 22 3o( 3)，ln(1 2) 2o( 3)， 2e2ln(1 2)2 3o(
11、 3) 因此()由 ln(1) o()(0) ，令 ，即得【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用13 【正确答案】 因此当 0 时 是 的二阶无穷小量 ()因et1t t2o(t 2)，从而(e t1t) 2 t4o(t 4)，代入得 0(et1t) 2dt 5o( 5)， 因此 0 时 0(et1t) 2dt 是 的五阶无穷小量【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用14 【正确答案】 分别讨论 1 与 01 两种情形 1)当 1 时考察二阶泰勒公式 两式相加并移项即得 f()f( 1)f(1)2f() f()f()， 则当1 时有f()4M 0 M3 2)当 01 时对 f()用拉格朗日
12、中值定理，有 f()f ()f(1)f(1)f()( 1)f(1)，其中 (，1) f() f() 1f(1)M 3f (1) ( (0，1) 综合即知 f()在(0 ，)上有界【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用15 【正确答案】 把函数 f()在 0 与 1 分别展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，得 f() f0)f(0) f( 1)2 (0 1)， f()f(1)f(1)(1) f (2)(1) 2 ( 21) 在公式中取 并利用题设可得两式相减消去未知的函数值 f( )即得 f( 1)f (2)8 f( 1)f (2)8 故在 1 与 2 中至少有一个使得在该点的二阶导数的绝对值
13、不小于 4，把该点取为 ，就有 (0，1)使f () 4【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用16 【正确答案】 这里 m1，求的是 f(0h)f( 0)hf( 0h)(0 1)当 h0时中值 的极限为解出 ，按题中条件，将 f(0h) 在 0 展成带皮亚诺余项的 n1 阶泰勒公式得代入原式得 f( 0h)f( 0)hf( 0) f(n)(0)n-1hno(h n) 再将 f(0h)在 0 展成带皮亚诺余项的 n 阶泰勒公式 f( 0h)f( 0)f( 0)h f(n)()hno(h n) f( 0)h f(n)(0)hno(h n)(h0) 将代入 后两边除以 hh 得【知识模块】 一元函
14、数的泰勒公式及其应用17 【正确答案】 ()e 1 o( 3)，cos1 2o( 3)， 相乘得 ecos1 o( 3)1 o( 3) ()f() f() 1 2 3(12(2) 2(2) 3)o( 3) (33 29 3)o( 3) 23 3o( 3) ()【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用19 【正确答案】 用待定阶数法(洛必达法则)确定无穷小的阶确定 n 使得下面的极限 而不为零：得e 1 sin 是 的 3 阶无穷小 ()用待定阶数法(洛必达法则)确定无穷小的阶确定 n 使得下面的极限 且不为零因此，cos cos1 是
15、 的 4 阶无穷小【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用20 【正确答案】 () 用洛必达法则()由于 f()aretan 在点 0 有如下导数因此当 0时 f()f(0) f(0) 3 o(3)， arctan 3o( 3)，arctansin 3o( 3)。 1 2o( 3)，ln(1) o( 2)，ln(1) 2 2 32o( 2) 2o(2) o( 2)2 2 3o( 3)， ln(1 )2 1 3o( 3) 于是原式6 ()因为当 0 时，从而把麦克劳林公式 代入即得【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用21 【正确答案】 因此，a20 即 a2(否则 J) ，进一步 J (b3
16、a) b3a 6 即 b63a 5 因此 a2，b5【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用22 【正确答案】 f() 得 f(2n+1)(0)( 1) n-1 .(2n1)!(1) n-1(2n1)2n，n1，2， f (2n)(0)0，n1，2，f (1)(0)0【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用23 【正确答案】 用洛必达法则 I0 (否则该极限为 0)得 f(0)1 因此 f(0)0，f(0)0，f(0)1【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用24 【正确答案】 由 g()f() 在 a 处 n1 阶可导 g()g(a) g(a)(a) g(n-1)(a)(a) n-1o( a
17、) n-1)， 即 f()f(a)f(a)(a) f(n)(a)(a) n-1 o(a) n-1) f(n)(a)(a) n-1o(a) n-1) 因此f()是 a 的 n1 阶无穷小(a) 【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用25 【正确答案】 连续用三次洛必达法则，及 f(4)(a)的定义得再由极限的不等式性质 0，当 0a 时因此 f(4)(a)0( 0)时 f(a)为极小(大)值【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用26 【正确答案】 相交与相切即( 0)g( 0)，f( 0)g( 0)若又有曲率相同，即由二阶导数的连续性及相同的凹凸性得，或 f( 0)g( 0)0 或 f( 0
18、)与 g( 0)同号，于是 f (0) g( 0)因此，在所设条件下，曲线 y()，yg()在( 0，y 0)处相交、相切且有相同曲率 f(0)g( 0)0，f( 0)g( 0)0，f( 0)g( 0)0 f()g()f()g()f() g() () f()g() ( o)2o( o)2 o( 0)2) ( 0) 即当 0 时 f()g()是比( 0)2 高阶的无穷小【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用27 【正确答案】 由 f(m)()3 (ln3)m，f (m)(0)(ln3) m，则【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用28 【正确答案】 在 处展成分别令 a，b两式相加由导函数的
19、中间值定理 在 1， 2 之间( (a，b)，使得【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用29 【正确答案】 由带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式得 f()f(0)f(0)若 f(n+1)0，f (n)()0，由上式得 f()f(0)f(0) f(n)(0)n 是 n 次多项式 反之，若 f() anna n-1n-1a 1a 0(an0)是 n 次多项式，显然 f (n)()a nn!0，f (n+1)()0【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用30 【正确答案】 按条件，联系 f()，f() 与 f()的是带拉格朗日余项的一阶泰勒公式 0，h0 有 f(h)f()f()h f()h 2，
20、其中 (，h)特别是，取 h1， (， 1)，有 f( 1)f()f() f()，即 f()f(1)f() f() 由题设， f()M 0，f()M 2( (0，)，M 0，M 2为常数，于是有 f() f( 1)f()即 f()在(0，)上有界【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用31 【正确答案】 联系 f()与 f() 的是泰勒公式 0a，b，f( 0) f()将 f(0)在 a，b 展开，有 f( 0)f()f()( 0) f()( 0)2( 在 0 与 之间) f()f()( 0) ( a，b， 0) 两边在a，b上积分得 abf(0)d abf()df()( 0)d abf()d ab(0)df() abf()d(b 0)f(b)( 0a)f(a) abf()d 2abf()d 因此 f()(ba)2f()d，即【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用
