1、考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (91 年 )设函数 f(x)= 记 F(x)=0xf(t)dt，0x2，则2 (91 年 )如图 28，x 轴上有一线密度为常数 长度为 l 的细杆，有一质量为 m的质点到杆右端的距离为 a，已知引力系数为 k，则质点和细杆之间引力的大小为3 (92 年 )设 f(x)连续，F(x)= 则 F(x)等于（A）f(x 4)（B） x2f(x4)（C） xf(x4)（D）2xf(x 2)4 (92 年 )若 f(x)的导函数是 sinx，则 f(x)有一个原函数为（A
2、）1+sinx（B） 1 一 sinx（C） 1+cosx（D）1 一 cosx5 (93 年 )已知 f(x)= 设 F(x)=1xf(t)dt(0x2)则 F(x)为6 (94 年 )设则有（A）NPM（B） MPN（C） NM P（D）PM N二、填空题7 (92 年 )8 (92 年 )由曲线 y=xex 与直线 y=ex 所围成图形的面积 S=_9 (93 年 )设 F(x)= (x0)，则函数 F(x)的单调减少区间是_10 (93 年)11 (93 年) 已知曲线 y=f(x)过点 且其上任一点(x,y)处的切线斜率为xln(1+x2)，则 f(x)=_12 (94 年)13 (
3、94 年)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 (91 年)15 (91 年)xsin 2xdx16 (91 年) 曲线 y=(x 一 1)(x 一 2)和 x 轴围成一平面图形，求此平面图形绕 y 轴旋转一周所成的旋转体的体积17 (91 年) 设函数 f(x)在( 一，+)内满足 f(x)=f(x 一 )+sinx，且 f(x)=x，x 0，)，计算 3f(x)dx18 (92 年)19 (92 年)20 (92 年) 设 f(x)= ，求 03(x-2)dx21 (92 年) 计算曲线 y=ln(1 一 x2)上相应于 0x 的一段弧的长度22 (92 年) 求曲线 的
4、一条切线 l，使该曲线与切线 l 及直线 x=0，x=2 所围成平面图形面积最小23 (93 年分)24 (93 年)25 (93 年) 设平面图形 A 由 x2+y22x 与 yx 所确定，求图形 A 绕直线 x=2 旋转一周所得旋转体的体积26 (93 年) 设 f(x)在0，a上连续，且 f(0)=0，证明27 (94 年)28 (94 年)29 (94 年) 如图 29 所示，设曲线方程为 梯形 OABC 的面积为 D，曲边梯形 OABC 的面积为 D1，点 A 的坐标为(a，0)，a 0，证明：30 (94 年) 设 f(x)在0 ，1上连续且递减，证明：当 0 1 时， 0f(x)
5、dx01f(x)dx考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 当 0x1 时，F(x)= 0xf(t)dt=0xt2dt= 当 1x2 时，F(x)=01t2dt+1x(2-t)dt= 由此可见应选(B)【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 C【试题解析】 由 F(x)= f(t2)dt 知 F(x)=2xf(x4)故应选(C)【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 B【试题解析】 由题设 f(x)=si
6、nx，于是 f(x)=f(x)dx=一 cosx+C， 从而 f(x)的原函数 F(x)=f(x)dx=(一 cosx+C1)dx=一 sinx+C1x+C2 令 C1=0，C 2=1，即得 f(x)的一个原函数为 1 一 sinx【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 F(x) 1xf(t)dt= 所以应选(D)【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 D【试题解析】 由被积函数的奇偶性可知因此 PM N 故应选(D) 【知识模块】 一元函数积分学二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【试题解析】 由 xex=ex
7、可知 x(ex 一 e)=0，则 x=0 或 x=1故 S=01(exxex)dx=【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 【试题解析】 则F(x)单调减少的区间为【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 (1+x2)ln(1+x2)一 1【试题解析】 由原题设可知 y=xln(1+x2)，则 y=xln(1+x2)dx= ln(1+x2)d(1+x2)= (1+x2)ln(1+x2)一xdx= (1+x2)ln(1+x2)一 +C 又曲线 y=f(x)过点故 y= (1+x2)ln(1+x2)一 1【知识模块】 一元函
8、数积分学12 【正确答案】 一 3sin3xf(cos3x)【试题解析】 由变上求导法可知 (0cos3xf(t)dt)=一 3sin3xf(cos3x)【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 对 y 积分，由原曲线方程 y=(x 一 1)(x 一 2)可得所求旋转体体积为【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 当 x，2)时，x 一 0，) ，由 f 在0 ，) 上的定义
9、知 f(x 一)=x 一 故 f(x)=f(x 一 x)+sinx=x 一 +sinx， x ，2) 当 x2，3)时，x 一，2) f(x 一 )=(x 一 )一 +sin(x 一 )=x 一 2 一 sinx 故 f(x)=f(x 一 )+sinx =x 一 2sinx+sinx=x 一 2， x2，3) 则 3f(x)dx=2f(x)dx+23f(x)dx =2(x一 +sinx)dx+23(x 一 2)dx=2 一 2【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 由 f(x)= 知则 13
10、f(x 一 2)dx=121+(x 一 2)2dx+23e-(x-2)dx=【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 由弧长计算公式可知所求弧长为【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 设切点坐标为 处的切线方程为 令S(t)=0 得 t=11，又 S“(1)0，则 t=1 时 S(t)有极小值，即最小值，此时切线方程为【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 对 y 积分(参见图)，则微元【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 设 x0，a 则 f(x)=0xf(t)d
11、t,该式两边取绝对值 |f(x)|=| 0xft(t)dt|0x|ft(t)|0xMdt=Mx 于是 |0af(x)dt|0a|f(x)|dx0aMxdx=【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 原题得证【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 0f(x)dx01f(x)dx=0f(x)dx 一 0f(x)dx1f(x)dx =(1 一 )0f(x)dx1f(x)dx =(1-)f(1)一 (1 一 )f(2) (0 1， 21) =(1 一 )f(1)f(2) 由于 f(x)递减，则 f(1)一 f(2)0 故 0f(x)dx01f(x)dx【知识模块】 一元函数积分学
