1、考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 1（无答案）一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2012 年试题，一) 设 (k=1，2，3) ，则有( )（A）l 123（B） l321（C） l231（D）l 2132 (2003 年试题，二) 设 则极限 等于( )（A）（B）（C）（D）3 (2002 年试题，二) 设函数 f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是 ( )（A）（B）（C）（D）4 (1999 年试题，二) 设 则当 x0 时，(x)是 (x)的( )（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶但不等价的无穷小（D）等价无穷小5 (1997
2、 年试题，二) 设 则 F(x)( )（A）为正常数（B）为负常数（C）恒为零（D）不为常数6 (2010 年试题，4) 设 m， n 是正整数，则反常积分 的收敛性( )（A）仅与 m 的取值有关（B）仅与 n 有关（C）与 mn 取值都有关（D）与 m，n 取值都无关7 (2009 年试题，一) 设函数 y=f(x)在区间一 1，3上的图形如图 134 所示，则函数 的图形为( )（A）（B）（C）（D）8 (2008 年试题，一) 如图 135 所示，设图中曲线方程为 y=f(x)，函数 f(x)在区间0， a上有连续导数，则定积分 表示( )（A）曲边梯形 ABOD 的面积（B）梯形
3、ABOD 的面积（C）曲边三角形 ACD 的面积（D）三角形 ACD 的面积9 (2007 年试题，一) 如图 136 所示，连续函数 y=f(x)在区间一 3，一 2，2，3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间一 2，0，0，2上的图形分别是直径为 2 的上、下半圆周设 则下列结论正确的是( )（A）（B）（C）（D）二、填空题10 (2001 年试题，一) _.11 (1999 年试题，一) 函数 在区间 上的平均值为_.12 (2009 年试题，二) 已知 ，则 k=_13 (2010 年试题，12) 当 00 时，对数螺线 r=e的弧长为_.14 (2003 年试题，一)
4、设曲线的极坐标方程为 p=e(a0)，则该曲线上相应于 ，从0 变到 2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 _15 (2002 年试题，一) 位于曲线 y=xe-x(0x16 (1998 年试题，一) 曲线 y=一 x3+x2+2x 与 x 轴围成的图形的面积 (不考虑负面积)S=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 (2005 年试题，17) 如图 131 所示，曲线 C 的方程为 y=f(x)，点(3 ，2)是它的一个拐点，直线 l1 与 l2 分别是曲线 C 在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)，设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分18 (
5、2007 年试题，17) 设 f(x)是区间 上的单调、可导函数，且满足其中 f是 f 的反函数，求 f(x)19 (2005 年试题，15) 设函数 f(x)连续，且 f(0)0，求极限20 (2003 年试题，四) 设函数 y=y(x)由参数方程 所确定，求21 (2002 年试题，四) 设 求函数的表达式22 (2001 年试题，六) 设函数 f(x)在0，+)上可导，f(0)=0 ，且其反函数为 g(x)若求 f(x)23 (2000 年试题，四) 设 Oxy 平面上有正方形 D= (x，y)0x1，0y1 及直线l：x+y=t(t0)若 S(t)表示正方形 D 位于直线 l 左下方部
6、分的面积，试求24 (1998 年试题，一) 设 f(x)连续，则25 (1997 年试题，七) 已知函数 f(x)连续，且 求 (x)，并讨论 (x)的连续性26 (2010 年试题，16)(I)比较 的大小，说明理由；() 设 求极限27 (2003 年试题，十) 设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，且f (x)0若极限 存在，证明：(1) 在(a，b)内 f(x)0；(2)在(a，b)内存在点 使 (3)在(a，b)内存在与(2) 中 相异的点 ，使 f()(b2-a2)=28 (2000 年试题，十一) 函数 f(x)在0，+)上可导，f(0)=1 ，且满足
7、等式(1)求导数 f(x)；(2) 证明：当 x0 时，成立不等式：e -sf(x)129 (2000 年试题，八) 设函 f(x)在0，上连续，且 试证明：在(0 ，) 内至少存在两个不同的点 1， 2，使 f(1)=f(2)=030 (2000 年试题，六) 设函数 (1)当 n 为正整数，且 nx31 (2011 年试题，二) 设函数 则32 (2008 年试题，17) 求积分33 (2006 年试题，一) 广义积分34 (2005 年试题，一)35 (2004 年试题，一)36 (2000 年试题，一)37 (1999 年试题，四) 计算38 (1998 年试题，六) 计算积分39 (
8、1997 年试题，一)40 (2012 年试题，三) 过(0 ，1) 点作曲线 L：y=lnx 的切线，切点为 A，又 L 与 x 轴交于 B 点，区域 D 由 L 与直线 AB 围成，求区域 D 的面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积41 (2011 年试题，三) 如图 132，一容器的内侧是由图中曲线 y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 x2+y2= 连接而成(I)求容器的容积；( )若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?(长度单位：m，重力加速度为 gms 2，水的密度为103kgm 3)42 (2010 年试题，18) 一个高为 1 的柱体形贮油罐，底面是长
9、轴为 2a，短轴为 2b 的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为 时(如图 13-3)，计算油的质量(长度单位为 m，质量单位为 kg，油的密度为常数 ，其单位为 kgm 3)43 (2009 年试题，18) 设非负数函数 y=y(x)(x0)满足微分方程 xy一 y+2=0，当曲线y=y(x)过原点时，其与直线 x=1 及 y=0 围成平面区域 D 的面积为 2，求 D 绕 y 轴旋转所得旋转体的体积44 (2008 年试题，19) 设 f(x)是区间0，+)上具有连续导数的单调增加函数，且f(x)=1对任意的 t0，+) ，直线 x=0，x=t，曲线 y=f(x)以及 x 轴所围成的曲
10、边梯形绕 x 轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的 2倍，求函数 f(x)的表达式45 (2007 年试题，18) 设 D 是位于曲线 下方、x 轴上方的无界区域(I)求区域 D 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 V(a)()当 a 为何值时，V(a)最小?并求此最小值46 (2005 年试题，16) 如图 1 一 37 所示，C 1，C 2 分别是 y= 和 y=ex 的图像，过点(0 ，1) 的曲线 C3 是一单调增函数的图像过 C2 上任一点 M(x，y)分别作垂直于 x 轴和 y 轴的直线 lx 和 ly，记 C1，C 2 与 lx 所围图形的面积为 S1(
11、x)；C 2，C 3与 lx 所围图形的面积为 S2(y)如果总有 S1(x)=S2(y)，求曲线 C3 的方程 x=(y)47 (2004 年试题，三(4)曲线 与直线 x=0，x=t(t0) 及 y=0 围成一曲边梯形该曲边梯形绕 x 轴旋转一周得一旋转体，其体积为 V(t)，侧面积为 S(t)，在x=t 处的底面积为 F(t)(I)求 的值；()计算极限48 (2002 年试题，七) 某闸门的形状与大小如图 138 所示，其中直线 l 为对称轴x 闸门的上部为矩形 ABCD，下部由二次抛物线与线段 AB 所围成当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之
12、比为5：4，闸门矩形部分的高 h 应为多少 m(米)?49 (2000 年试题，十) 设曲线 y=ax2(a0，x0)与 y=1 一 x2 交于点 A,过坐标原点 O和点 A 的直线与曲线 y=ax2 围成一平面图形问 a 为何值时，该图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?50 (1999 年试题，六) 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(如图 1 一 39)已知井深 30m，抓斗自重 40N，缆绳每米重 50N，抓斗抓起的污泥重 2000N，提升速度为 3ms在提升过程中，污泥以 20Ns_的速率从抓斗缝隙中漏掉现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功?(说明：1N1m=1J；m，N，s ，J 分别表示米、牛、秒、焦抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计)51 (1998 年试题，九) 设有曲线 过原点作其切线，求由此盐线、切线及 x轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积52 (1997 年试题，六) 设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内大于零，并满足 (a 为常数) ，又曲线 y=f(x)与 x=1，y=0 所围的图形 S 的面积值为 2，求函数 y=f(x)，并问 a 取何值时，图形 S 绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小。
