1、考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 m，n 是正整数，则反常积分 的收敛性（A）仅与 m 值有关 （B）仅与 n 值有关（C）与 m，n 值都有关 （D）与 m，n 值都无关2 设函数 若反常积分 1 f(x)dx 收敛，则（A）2 （B） 2 （C） 20（D）023 如图 1312，连续函数 y(x)在区间3，2，2，3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间2，0，0，2 上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周设 F(x) 0xf(t)dt 出，则下列结论正确的是（A）F(3)（B）
2、 F(3)（C） F(3)（D）F(3)4 如图 1313，曲线段的方程为 yf(x)，函数 f(x)在区间0 ，a 上有连续的导数，则定积分 0axf(x)dx 等于（A）曲边梯形 ABOD 的面积（B）梯形 ABOD 的面积（C）曲边三角形 ACD 的面积（D）三角形 ACD 的面积 5 设函数 yf(x)在区间 1，3上的图形如图 1314 所示：则函数 F(x) 0xf(t)dt 的图形为（A）（B）（C）（D）二、填空题6 _。7 _。8 _。9 反常积分 _。10 设函数 ，则 1 f(x)dx_11 当 0 时，对数螺线 re 的弧长为_12 设封闭曲线 L 的极坐标方程为 rC
3、OS3 ，则 L 所围平面图形的面积是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 计算 。14 计算 。15 已知 ，则 k_16 设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0 ，1) 内大于零，并满足(a 为常数) ，又曲线 yf(x)与 x1，y0 所围的图形 S的面积值为 2，求函数 yf(x)，并问 a 为何值时，图形 S 绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小17 曲线 yx 3x 22x 与 x 轴所围成的图形的面积 A_18 设有曲线 ，过原点作其切线，求由此曲线、切线及 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的表面积19 为清除井底的污泥，用缆
4、绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(见图 134)已知井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗抓起的污泥重 2 000N，提升速度为 3ms，在提升过程中，污泥以 20Ns 的速率从抓斗缝隙中漏掉现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需做多少焦耳的功?(说明：lN1m1J；m，N，s，J 分别表示米，牛顿，秒，焦耳 抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计)20 设曲线 yax 2(a0，x0) 与 y1x 2 交于点 A，过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线 yax 2 围成一平面图形，问 a 为何值时，该图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大? 最大体积是多少
5、 ?21 位于曲线 yxe x(0x )下方、x 轴上方的无界图形的面积是 _22 某闸门的形状与大小如图 137 所示，其中直线 l 为对称轴，闸门的上部为矩形 ABCD，下部由二次抛物线与线段 AB 所围成当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为 5：4，闸门矩形部分的高应为多少米?23 设曲线的极坐标方程为 e a(a0)，则该曲线上相应于 从 0 变到 2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积为_24 曲线 与直线 x0，xt(t0)及 y0 围成一曲边梯形，该曲边梯形绕 x 轴旋转一周得一旋转体，其体积为 V(t)，侧面积为 S(t)，在 xt
6、处的底面积为 F(t)(1)求 的值；(2) 计算极限 。25 如图 1310，C 1 和 C2 分别是 和 ye x 的图象，过点(0 ，1)的曲线 C3 是一单凋增函数的图象过 C2 上任一点 M(x，y)分别作垂直于 x 轴和 y轴的直线 lx 和 ly记 C1，C 2 与 lx 所围图形的面积为 S1(x)；C 2，C 3 与 ly 所围图彤的面积为 S2(y)如果总有 S1(x)S 2(y)，求曲线 C3 的方程 x(y)26 在 xOy 坐标平面上，连续曲线，过点 M(1，0)，其上任意点 P(x，y)(x0)处的切线斜率与直线 OP 的斜牢之差等于 ax，(常数 a0)(1)求
7、l 的方程；(2)当 l 与直线yax 所围成平面图形的而积为 时，确定 a 的值27 设 D 是位于曲线 (a1，0x)下方、x 轴上方的无界区域(1)求区域 D 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 V(a)；(2)当 a 为何值时，V(a)最小?并求此最小值28 设 f(x)是区间0，)上具有连续导数的单调增加函数，且 f(0)1对任意的t0，) ，直线 x0，xt，曲线 yf(x) 以及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周生成一旋转体若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数f(x)的表达式29 设非负函数 yy(x)(x0)满足微分方程 xy“y20当曲线 yy(x
8、)过原点时，其与直线 x1 及 y0 围成的平面区域 D 的面积为 2，求 D 绕 y 轴旋转所得旋转体的体积30 一个高为 l 的柱体形贮油罐，底面是长轴为 2n，短轴为 2b 的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为 时(如图 1315)，计算油的质量(长度单位为m，质量单位为 kg，油的密度为常数 kgm 3)31 如图 1317，一容器的内侧是由图中曲线绕 y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 x2y 22y 与 x2y 21 连接而成的 (1)求容器的体积；(2)若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?(长度单位：m，重力加速度为 gms 2，水的密度为 103kgm
9、 3)32 过点(0 ，1)作曲线 L： ylnx 的切线，切点为 A，又 L 与 x 轴交于 B 点，区域D 由 L 与直线 AB 围成，求区域 D 的面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积33 设 D 是由曲线 ，直线 xa(a0)及 x 轴所围成的平面图形，V x，V x 分别是 D 绕 x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若 Vy10V x，求 a 的值34 设曲线 L 的方程为 (1xe)(1)求 L 的弧长；(2)设 D 是由曲线 L，直线 x1，xe 及 x 轴所围平面图形，求 D 的形心的横坐标考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 3 答案与解析一、选择题下
10、列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 分析x 0、1 为瑕点，插入分点 ，利用比较判别法判断两个无界函数反常积分的敛散性详解。对 I1，因为 ，且对任意正整数 m，n，有，由比较判别法的极限形式知，无论正整数 m，n 取何值，反常积分I1 是收敛的对 I2，由比较判别法知无论正整数 m，n 取何值反常积分 I2 是收敛的，因此应选(D)评注 根据考试大纲的要求，此题属超纲范围【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 D【试题解析】 分析 此题考查定积分的基本性质和换元积分详解。 因为反常积分 1 f(x)dx收敛，当且仅当上式右边两个反常积分(
11、一个无界，一个无穷限)都收敛，所以 11，且 11，即 0 2故选(D)【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 C【试题解析】 分析 本题考查定积分的几何意义，应注意 f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系 详解 根据定积分的几何意义，F(2)和F(2)相等： ，F( 2) 02f(x)dx 02 f(x)dx；F( 3)F(3)，F(3)是两个半圆面积之差，F(3) ，同样，F(3) 03 f(x)dx 3 0f(x)dx ，故应选(C)评注 若直接去计算定积分，则本题的计算将十分复杂，而这正是本题设计的巧妙之处【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 C【试
12、题解析】 因为 0axf(X)dx 0axdf(x)xf(x) 0a 0af(x)dxaf(a) 0af(x)dx，其中 af(a)是矩形 ABOC 的面积， 0af(x)dx 为曲边梯形 ABOD 的面积，所以 0axf(x)dx 为曲边三角形 ACD 的面积【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 分析 此题考查定积分的应用知识 详解 由 yf(x) 的图形可见，其图象与 x 轴及 y 轴、xx 0 所围成的图形的代数面积为 F(x0)，从而有 x1，0时，F(x)0 为线性函数且单调递增 x 0，1时，F(x)0 且单调递减 x1 ，2时，F(x)单调递曾 x2， 3
13、时，F(x) 为常函数 F(x)是连续函数 可见正确选项为(D) 评注 此题较新颖，给出函数 f(x)的图形，讨论变限积分函数 F(x)的图形【知识模块】 一元函数积分学二、填空题6 【正确答案】 应填 【试题解析】 分析 本题既是无界函数的反常积分，又是无穷限的反常积分考虑到被积函数含有一次根式，可直接作变量代换 ，即可转化为只是无穷限的反常积分了详解 令 ，则 xt 22，dx 2tdt，当 x2 时，t0，当 x时，t ，于是评注 反常积分同普通积分类似，也可作变量代换和进行分部积分，但对反常积分进行加减运算时，应十分小心，因为此时有可能是不成立的【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答
14、案】 应填【试题解析】 分析 利用变量代换法和牛顿一莱布尼兹公式可得所求的反常积分值详解 1 令 xsect，则 dxsecttantdt，且当 x1 时，t0，当 x时，所以 。详解 2 令，且当 x1 时，tl，当 t 时，t0，所以评注 本题为混合反常积分的基本计算题，主要考查反常积分(或定积分)的换元积分法【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 应填【试题解析】 分析 作三角代换求积分即可详解 1 令 xsint ，则 dxcostdt，当 x0 时，t0，当 x1 时， ，因此详解 2 令，当 x0 时，u1，当 x1 时，u 0，因此 评注 1 本题为反常积分，但仍可以与普通
15、积分一样对待作变量代换等评注 2 对反常积分，若瑕点在积分域的边界，则可用牛顿一莱布尼兹公式求解，注意取极限 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 应填 。【试题解析】 分析 利用凑微分法和牛顿一莱布尼兹公式即可得所求的反常积分值详解 。评注 本题为反常积分，但仍可以与普通积分一样对待，用牛顿一莱布尼兹公式求解，注意取极限【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 应填【试题解析】 分析 利用分部积分法计算无穷积分的值详解。故应填 。评注若利用概率论的知识，则所求积分恰为指数分布的数学期望从而可直接写出结果【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 应填 【试题解析】 分析 直
16、接用极坐标下的弧长计算公式详解 由弧长公式故应填【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 应填 【试题解析】 分析 由极坐标下平面图形的面积公式直接计算即得详解所求面积 。【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 详解 1详解 2 作变换 arctanxt，则【试题解析】 分析 本题为反常积分问题，被积函数是两个不同类型的函数的乘积，应考虑用分部积分法：其一是 ；其二是考虑到被积函数含有反三角函数 arctanx，可先作变换 arctanxt，再用分部积分法 评注 反常积分也可作变量代换，如详解 2 所示，通过变量代换后，再计算积分
17、则变得非常简单【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 由于 是反常积分作三角代换 xsint，则【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 应填2【试题解析】 ，因为反常积分收敛，所以 k0，故 ，即 k2【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 因为 ，当 x0 时，求积分得 ，又f(x)在点 x0 连续，所以 。于是，得 C4 a因此旋转体的体积令，得 a5又 ，故 a5 时，旋转体的体积最小【试题解析】 分析 先由微分方程 求得 f(x)关于参数 a及任意常数 C 的函数，再由 S 的面积值为 2，定出 a 与 C 的关系式，利用旋转体的体积公式求出体积函数 V(a)，
18、最后对体积 V(a)求最值 评注 本题综合考查了定积分的几何应用、微分方程的求解和函数的极值，应注意对问题进行分解，从而简化运算【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 应填 【试题解析】 分析 先求出曲线与 x 轴的交点，将面积分为两块来求详解 yx 3x 22x 与 x 轴的交点为 x11，x 20，x 32【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 如图 133，设切点的横坐标为 x0，则切点为 ，曲线 在此点处的切线斜率为 ，于是，切线方程为 。又因它经过原点，以点(0，0)代入切线方程得 ，解得 x02因此切线方程为切点为(2，1)，由曲线段绕 x 轴旋转一周所得的旋转面的
19、面积为由直线段(0x2)绕 x 轴旋转一周所得的旋转面的面积为因此所求旋转体的表面积为【试题解析】 分析 首先求出曲线 过原点的切线，再根据定积分的几何应用的相关公式求出旋转体的表面积评注 应注意本题要求的表面积有两部分，不要漏算【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 详解 1 建立坐标轴如图 135 所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功 W W 1W 2W 3，其中 W1 是克服抓斗自重所做的功；W 2 是克服缆绳重力所做的功；W 3 是为提出污泥所做的功由题意知 W 14003012 000将抓斗由 x 处提升到 xdx 处，克服缆绳重力所做的功为 dW250(30x)dx，从而
20、 W2 03050(30 x)dx22 500在时间间隔 t，tdt内提升污泥需做功为 dW33(2 00020t)dt，将污泥从井底提升至井口共需时间 ，所以 W3 0103(2 00020t)df57 000因此，共需做功 W12 00022 50057 00091 500(J) 详解 2 如图所示，在时间段t ，t t内所做功为 WdW400(2 00020t)50(303f).3dt 30(39017f)df，已知井深 30m，抓斗的提升速度为 3ms，抓起污泥的抓斗提升至井口所需的时间为 10s，因此克服重力需做功 W 01030(39017t)dt 3039010 1517t2 0
21、10 91 500(J)【试题解析】 分析 抓斗将污泥从井底提升至井口克服重力做功，包括克服抓斗自身、缆绳和抓斗中的污泥这三方面重力所做的功而在缆绳上升的过程中，其自身的重量及抓斗中污泥的重量随绳长的变化而变化，因此，需要用微元法，通过定积分计算其功 评注 如果将 dW1，dW 2，dW 3 写在一个式子里，则在做积分时，应统一到一个变量 x 或 t，并注意变量转换关系式 x33t【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 当 x0 时，由 ，故直线 OA 的方程为 ，于是旋转体的体积为从而有令 ，并由 a0 得唯一驻点a4由题意知，此旋转体体积在 a4 时取最大值，其最大体积为【试题解析
22、】 本题是高等数学在几何上的综合应用问题(如图 136)应先求出交点 A 的坐标，再导出旋转体的体积，它是参数 a 的函数，求此函数的最值即可【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 应填 1【试题解析】 分析 由定积分的几何意义知，可用广义积分 0 y(z)dx 计算详解 所求无界图形的面积为 评注 无界图形的面积可由广义积分来计算【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 详解 1 设 为水的密度，g 为重力加速度如图 138 建立坐标系，则抛物线的方程为 yx 2 闸门的矩形部分承受的水压力闸门的下部承受的水压力由题设知 ，解得 h2， (舍去)故闸门的矩形部分高 h 应为 2
23、 米详解 2 如图 139 建立坐标系，则抛物线的方程为xh1y 2闸门的矩形部分承受的水压力 。闸门的下部承受的水压力 ，令 ，得 由 ，解得h2， (舍去) 。故闸门的矩形部分高 h 应为 2 米【试题解析】 分析 先利用定积分求出两部分所受的水压力的表达式，再根据二者的关系确定 h 评注 本题是定积分的应用题型之一，关键是建立适当的坐标系，用微元法找出水压力的表达式【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 应填 。【试题解析】 分析 利用极坐标下的面积计算公式 即可也可化为参数方程求解 详解 1 所求面积为 详解 2 曲线的参数方程为 02于是所求面积为评注 本题考查极坐标下平面图
24、形的面积计算，极坐标下的面积微元为 dS ；参数方程定义的曲线而积微元为 dSy()x()d 【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 (1)由题意得于是。(2)因 F(t)y 2(f) ，所以，【试题解析】 分析 用定积分表示旋转体的体积和侧面积，二者都是 t 的函数，然后进行相应计算评注 在 t 固定时，此题属于利用定积分表示旋转体的体积祠 1 侧面积的题型，考点是定积分几何应用的公式和洛必塔法则求与变限积分有关的极限问题。【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 有 由题设，得，而 ye x，于是，两边对 y 求导得故所求的函数关系为 。【试题解析】 分析 利用定积分的几何意
25、义可确定面积 S1(x)，S 2(y)，再根据 S1(x)S 2(y)建立积分等式，然后求导引出微分方程，最终可得所需函数关系 评注 本题应注意点 M(x，y)在曲线 C2 上，因此满足 ye x【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 (1)设曲线，的方程为 yf(x) ，则由题设可得 ，这是一阶线性微分方程，其中 ，Q(x) ax，代入通解公式得又 f(1)0aC，所以 Ca 故曲线 l 的方程为 y ax2ax (2)曲线 l 与直线yax(a 0) 所同成的平面图形如图 1311 所示 所以故 a2【试题解析】 分析(1)利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；(2)利用定积分计
26、算平面图形的面积，确定参数评注 本题涉及了导数和定积分的几何意义以及一阶线性微分方程的求解，属基本题型【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 (1)(2)，得 ln(A(ln1)0，即 ae由于 ae 是唯一的驻点，是极小值点，也是最小值点，最小值为 V(e)e 2【试题解析】 分析V(a)可通过广义积分进行计算，再按通常方法求 V(a)的最值即可【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 旋转体的体积 V 0tf2(x)dx，侧面积，由题设条件知。上式两端对 t 求导得，即 。由分离变量法解得，即 ，将 y(0)1 代入知C1故 。于是所求函数为。【知识模块】 一元函数积分学29
27、 【正确答案】 解微分方程 xy“y20， 得其通解 yC 12xC 2x2，其中C1，C 2 为任意常数， 因为 yy(x)通过原点时与直线 x1 及 y0 围成平面的面积为 2，于是，可得 C10 及从而 C 23所求非负函数为 y2x3x(T0)，在第一象限曲线 yf(x)表示为D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积为 V5V 1，其中所以，【试题解析】 解微分方程 xy“y20 并利用面积为 2，求出曲线 yy(x)的方程，进而求得旋转体的体积【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 建立如图 1316 所示的直角坐标系则油罐底面椭圆方程为油的质量 MV，其中油的体积 VS 底 .l又
28、故【试题解析】 分析 先求油的体积，实际只需求椭圆的部分面积评注 此题若不能记住公式 ，则运算最稍显大【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 (1)旋转体分为体积相等的两部分，于是 容器的体积为 或者(2)利用微元法所做功的计算也分为两部分：【试题解析】 利用旋转体的体积公式计算容器的体积，利用微元法求所做的功【知识模块】 一元函数积分学32 【正确答案】 (1)如 1318，设切点 A 的坐标为 (x0，y 0)，则曲线 ylnx 在 A点处的切线方程为： 由该切线过点(0，1)知lnx011，从而 x0e 2，y 02故平面图形 D 的面积为：(2)直线 AB： (x1)与 x 轴及直线 xe 2 所围成的三角形绕 x 轴旋转一周所得圆锥体的体积为因此，D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为：【知识模块】 一元函数积分学33 【正确答案】 由已知条件有 ，因 Vy10V x，即 。【试题解析】 分析 本题考查定积分的应用，直接利用旋转体的体积公式计算评注 Vy 也可如下汁算： 。【知识模块】 一元函数积分学34 【正确答案】 (1)因为 ，故 L 的弧长
