1、考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (1987 年) 设 It f(t)d，其中 f()连续，S 0，t 0，则 I 的值 【 】（A）依赖于 s，t（B）依赖于 s，t，（C）依赖于 t，不依赖于 s（D）依赖于 s 不依赖于 t2 (1988 年) 设 f()与 g()在( ，)上皆可导，且 f()g()，则必有 【 】（A）f() g()（B） f()g()（C）（D） 0f(t)dt 0g(t)dt3 (1988 年) 由曲线 y 号 z(0)与 轴围成的平面图形绕 轴旋转而成的旋转体体积为 【
2、 】（A）（B）（C）（D）4 (1989 年) 曲线 ycos( )与 轴所围成的图形，绕 轴旋转一周所成旋转体的体积为 【 】（A）（B） （C）（D） 25 (1990 年) 设函数 f()在(，) 上连续，则 df()d等于 【 】（A）f()（B） f()d（C） f()C（D）f()d6 (1990 年) 设 f()是连续函数，且 F() f(t)dt，则 F()等于 【 】（A）e f(e )f()（B） e f(e )f()（C） e f(e )f()（D）e f(e )f()7 (1991 年) 设函数 ，记 F() 0f(t)dt，02 ，则 【 】（A）（B）（C）（D）
3、二、填空题8 (1987 年)f()d_ abf(2)d_9 (1987 年) 积分中值定理的条件是_，结论是_10 (1988 年) _11 (1988 年) 设 f()连续，且 f(t)dt ，则 f(7)_12 (1989 年) 0tsintdt_13 (1989 年) 曲线 y 0(t1)(t 2)dt 在点(0，0)处的切线方程是 _14 (1989 年) 设 f()是连续函数，且 f()2 01f(t)dt，则 f()_15 (1990 年) 01 d_16 (1990 年) 下列两个积分大小关系式： -2-1 d_-2-1 d三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17
4、 (1987 年) 求 (a，b 是不全为零的非负常数)18 (1987 年) 求 01arcsind19 (1987 年) 求过曲线 y 21 上的一点，使过该点的切线与这条曲线及 ，y 轴在第一象限围成图形的面积最小，最小面积是多少?20 (1987 年)求由曲线 y1sin 与直线 y0， 0， 围成的曲边梯形绕 O轴旋转而成旋转体体积 V21 (1988 年) 设 1，求 -1(1t)dt22 (1988 年) 设 f()在(，) 内有连续导数，且 mf()Ma0 (1)求：-aaf(ta)f(t a)dt； (2)求证： -aaf(t)dtf()Mm 23 (1989 年) 求24
5、(1989 年) 已知 f(2) ，f(2)0 及 02f()d1，求 012f(2)d25 (1989 年) 证明方程 ln 在区间(0，)内有且仅有两个不同实根26 (1989 年) 设抛物线 ya 2bc 过原点，当 01 时，y0，又已知该抛物线与 轴及直线 1 所围成图形的面积为 ，试确定 a，b，c，使此图形绕 轴旋转一周而成旋转体的体积 V 最小27 (1990 年) 计算28 (1990 年) 设 f() 1 dt，其中 0，求 f()f( )29 (1990 年) 过 P(1，0) 作抛物线 y 的切线，该切线与上述抛物线及 轴围成一平面图形求此平面图形绕 轴旋转一周所成旋转
6、体的体积30 (1991 年)考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由此可见，I 的值只与 s 有关，所以应选 D【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f()和 g()在(，)上皆可导，则必在(，)上连续，则 f()f( 0)， g()g( 0)，又 f()g() 从而 f(0)g( 0)，即【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 V 0 d 0sin3d (cos1)dcos【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 C【
7、试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 B【试题解析】 df()d(f()d)df()d【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 A【试题解析】 由于 则 F()f(e )e f()，故应选 A【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 B【试题解析】 当 01时，F() 0f(t)dt 0t2dt 当 12 时，F()tdt(2t)dt 由此可见应选 B【知识模块】 一元函数积分学二、填空题8 【正确答案】 f() C， f(2b)f(2a)【试题解析】 f()df() C【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 f() 在a，b上连续；在a ，b内至少存在一点
8、，使 f()(ba) ab()d【试题解析】 由定积分中值定理： 若 f()在a ，b上连续，则在a，b内至少存在一点 ，使 abf()df()(ba)【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 2(e 21)【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 等式 f(t)dt 两边对 求导得 33f(31)1 令 2 得 12f(7)1 则 f(7)【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 y2 【试题解析】 y(1)(2)，y(0) 2则所求切线方程为 y02(0)，即 y2【知识模块】 一元
9、函数积分学14 【正确答案】 1【试题解析】 令 01f(t)dt a，则 f()2a将 f()2a 代入 01f(t)dta，得 01(t2a)dta 即 2aa 由此可得 a 则 f()1【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【试题解析】 t， 原式(t 1)2tdt2(tt)dt【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 “ ” 【试题解析】 由于当 2，1 时， ，则【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 1)当 a 0，b0 时 原式 2)当a0，b 0 时 原式 3)当 a0 且 b0 时 原式【知识模块】 一
10、元函数积分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 由 y 21 知 y2 则曲线 y 21 在点 0 处切线方程为 y( 021)2 0( 0) 该切线在 轴和 y 轴上的截距分别为和 021，该切线与曲线， 轴、y 轴在第一象限围成平面图形的面积为令 S(0)0 得 0 ，且有 S( 0)0，由于极值点唯一，则 S( )为极小值也即是最小值，且最小值为 ，所求切点坐标为 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 所求体积 V 0(sin1) 2d 0(sin22sin1)d 24【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 当10 时【知识模块】 一元函
11、数积分学22 【正确答案】 (1)(2)由积分的不等式性质，及 mf()M 可知 m a-af(t)dtM 又由 mf()M，得Mf()m 故(Mm) a-af(t)dtf()Mm 则 a-af(t)dtf()Mm 由于f(t) f()M m 故【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 令 F()0 得e 当 0e 时，F()0，F() 严格单调减少； 当 e时，F()0，F()严格单调增加，因此，F() 在区间(0，e)，和(e，)内分别至多有一个零点 又 F(e4)e 32 40 由闭区间
12、上连续函数的零点定理可知，F()在(e 3 ，e)和(e ，e 4)内分别至少有一个零点，综上所述，方程 ln 在(0，)内有且仅有两个不同的实根【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 由抛物线 ya 2bc 过原点可知， c0所以，当 a，b ，c 0 时，体积 V 最小【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 原式【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 设过点(1，0)作抛物线 y 的切线的切点为( 0， )，由 y ，得 切线方程为 此切线过点(1，0)，即 切点(3，1)，切线方程为y (1) 于是【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学
