1、考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2006 年) 设 f()是奇函数，除 0 外处处连续， 0 是其第一类间断点，则0f(t)dt 是 【 】（A）连续的奇函数（B）连续的偶函数（C）在 0 间断的奇函数（D）在 0 间断的偶函数2 (2007 年) 如图，连续函数 yf()在区间3，2，2，3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间2，0，0，2 上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周设 F() 0f(t)dt，则下列结论正确 【 】（A）F(3) F(2)（B） F(3) F(2)（C
2、） F(3) F(2)（D）F(3) F(2)3 (2008 年) 如图，曲线段的方程为 yf()，函数 f()在区间0，a上有连续的导数，则定积分 0af()d 等于 【 】（A）曲边梯形 ABOD 的面积（B）梯形 ABOD 的面积（C）曲边三角形 ACD 的面积（D）三角形 ACD 面积4 (2009 年) 设函数 yf()在区间1，3上的图形为则函数 F() 0f(t)dt 的图形为5 (2010 年) 设 m，n 均是正整数，则反常积分 的收敛性 【 】（A）仅与 m 的取值有关（B）仅与 n 的取值有关（C）与 m，n 的取值都有关（D）与 m，n 的取值都无关二、填空题6 (20
3、05 年) _7 (2006 年) 设函数 f() ，在 0 处连续，则 a_8 (2006 年) 广义积分 _9 (2009 年) _10 (2009 年) 已知 ek d1，则 k_11 (2010 年) 当 0 时，对数螺线 re 的弧长为_12 (2011 年) 曲线 y 0tantdt(0 )的弧长 s_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 (2001 年) 求14 (2001 年) 设 ()是抛物线 y 上任一点 M(，y)(1)处的曲率半径，ss()是该抛物线上介于点 A(1，1) 与 M 之间的弧长，计算 3 的值(在直角坐标系下曲率公式为 K )15 (20
4、01 年) 设函数 f()在0，)上可导，f(0)0，且其反函数为 g()若 0f()g(t)dt 2e 求 f()16 (2001 年) 设 f()在区间a，a(a 0)上具有二阶连续导数， f(0)0， (1)写出f()的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； (2)证明在a，a 上至少存在一点，使 a3f() -aaf()d17 (2002 年) 设 f() ，求函数 F() 1 f(t)dt 的表达式18 (2002 年) 某闸门的形状与大小如图 211 所示，其中直线 l 为对称轴，闸门的上部为矩形 ABCD，下部由二次抛物线与线段 AB 所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部
5、分承受的水压力与闸门下部承受的压力之比为 5：4，闸门矩形部分的高 h 应为多少 m(米)?19 (2003 年) 设函数 yy()由参数方程 所确定，求20 (2003 年) 计算不定积分21 (2003 年) 设函数 f()在闭区间a，b 上连续，在开区间(a ，b) 内可导，且 f()0若极限 存在证明： (1)在(a，b)内 f()0； (2)在(a，b)内存在点 ，使 (3)在(a，b)内存在与(2)中 相异的点 ，使 f()(b2a 2) f()d22 (2004 年) 设 f() sintdt ()证明 f()是以 为周期的周期函数 ()求 f()的值域23 (2004 年) 曲
6、线 y 与直线 0，t(t 0)及 y0 围成一曲边梯形该曲边梯形绕 轴旋转一周得一旋转体，其体积为 V(t)，侧面积为 S(t)，在 t 处的底面积为 F(t) () 求 的值； () 计算极限24 (2005 年) 设函数 f()连续，且 f(0)0，求极限25 (2005 年) 如图， C1 和 C2 分别是 y (1e )和 ye 的图像，过点(0，1)的曲线C3 是一单调增函数的图像，过 C2 上任一点 M(，y)分别作垂直于 轴和 y 轴的直线 l和 ly记 C1，C 2 与 l所围图形的面积为 S1()；C 2，C 3 与 ly 所围图形的面积为S2(y)如果总有 S1()S 2
7、(y)，求曲线 C3 的方程 (y)26 (2005 年) 如图，曲线 C 的方程为 yf()，点(3，2)是它的一个拐点，直线 l1 与l2 分别是曲线 C 在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为 (2，4)设函数 f()具有三阶连续导数，计算定积分 03(22)f()d 27 (2006 年) 求考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f()是奇函数，则 0f(t)dt 是偶函数，又由于 f()除 0 外处处连续，且 0 是其第一类间断点，则 f()在任何一个有限
8、区间上可积，从而 0f(t)dt 为连续函数故应选 B【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 C【试题解析】 根据定积分的几何意义知，故应选 C【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 C【试题解析】 其中 af(a)应等于矩形 ABOC 的面积， 0af()d 应等于曲边梯形 ABOD 的面积，则 0af()d 应等于曲边三角形 ACD 的面积【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 D【试题解析】 由题设知，当 (1，0) 时 F()f() ，而当 (1，0)时 f()1 0，即 F()0，从而 F()单调增显然 A 选项是错误的，因为 A 选项中 F()在(1 ，0) 中单
9、调减 由于 F() 0f(t)dt，则 F(0)0，显然 C 选项错误 由于当 (2，3时 f()0，则当 (2，3时则 B选项是错误的，D 项是正确的【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 反常积分 两个元界点，0 和 1 先考察0，当 0 时 则反常积分同敛散， 再讨论 1， 由于 令 0P1故原反常积分的敛散件与 m 和 n 的取信无关【知识模块】 一元函数积分学二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【试题解析】 由于 f()在 0 处连续，则 ()a，而则 a【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【试题解析
10、】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 2【试题解析】 1 k2【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 (e1)【试题解析】 所求弧长为【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 ln(1 )【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 令 tant ，则 dsec 2tdt【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 等式两边对 求导得 gf()f() 2e 2e 而 gf()，故 f()2e
11、 2e 当 0 时，f()2e e 积分得 f()( 1)e C f(0)(1)e C1C 0，则 C1 因此 f()(1)e 1【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 (1)对任意的 a，a f()f(0)f(0)其中 在 0 与 之间 (2)因为 f()在a，a 上连续，故对任意的 a，a，有 mf()M，其中 M，m 分别为 f()在 a，a上的最大，最小值，所以因而由 f()的连续性知，至少存在一点 a ，a，使 即 a3f()3 -aaf()d【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 当10 时，【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 如图 219 建立坐标系，
12、则抛物线的方程为 y 2闸门矩形部分承受的水压力其中 为水的密度，g 为重力加速度 闸门下部承受的水压力解之得h2，h (舍去) ，故 h2 即闸门矩形部分的高应为 2m【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 4t 当 9 时，由 12t 2 及 t1 得 t2，故【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 令 tant ，则【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 (1)由 存在知， (2a)0，由 f()在a，b上的连续知，f(a)0 又 f()0，则 f()在(a，b) 内单调增加，故 f()f()0， (a，b) (2)设 F() 2，g() af(t)dt (ab)
13、 则 g()f()0，故 F()，g()满足柯希中值定理的条件，于是在(a，b)内存在点 ，使(3)在a，上对 f()用拉格朗日中值定理得，存在 (a，)，使 f()f(a) f()(a) 即 f()f()(a) 代入(2)中的结论得【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 ()f() sintdt 令 tu，则有 f() sinuduf() 故 f()是以 为周期的周期函数 ( )由于 sin在( ，)上连续，则 f()为(，)上的连续函数，注意到 f()以 为周期，故只须在0， 上讨论其值域，因为 f()sin( )sincossin 令 f()0，得， 且因而 f()在0，上的最小
14、值为 2 ，最大值是 ，故 f()的值域为【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 由题设 S1()S 2(y)，知故曲线 C3 的方程为 lny【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 由(3，2)是曲线 yf()的拐点知，f(3)0；由直线 l1 与 l2 分别是曲线 yf() 在点(0 ，0)与(3，2)处的切线知，f(0)2，f(3) 2，f(0)0，f(3)2利用分部积分法可得【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 令 arcsin et，则 lnsint，d dt【知识模块】 一元函数积分学
