1、考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (1997 年) 设在闭区间 a，b上 f()0，f() 0，f() 0记 S1 abf()d，S 2f(b)(ba)，S 3 f(a)f(b)(ba)，则 【 】（A）S 1S 2S 3（B） S2S 3S 1（C） S3S 1S 2（D）S 2S 1S 32 (1997 年) 设 F() 2 esintsintdt，则 F() 【 】（A）为正常数（B）为负常数（C）恒为零（D）不为常数3 (1999 年) 设 a() ，则当 0 时，() 是 ()的 【 】（A
2、）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶但非等价无穷小（D）等价无穷小4 (1999 年) 设 f()是连续函数，F()是，()的原函数，则 【 】（A）当 f()是奇函数时， F()必是偶函数（B）当 f()是偶函数时，F()必是奇函数（C）当 f()是周期函数时，F()必是周期函数（D）当 f()是单调增函数时， F()必是单调增函数5 (2002 年) 设函数 f()连续，则下列函数中，必为偶函数的是 【 】（A） 0f(t2)dt（B） 0f2(t)dt（C） 0tf(t)f(t)dt（D） 0tf(t)f( t)dt二、填空题6 (1994 年) 3 d_7 (1996 年) -11(
3、 )2d_8 (1996 年) 由曲线 y ，2 及 y2 所围图形的面积 S_9 (1997 年) _10 (1998 年) _11 (1998 年) 设 f()连续，则 t0tf(2t 2)dt_。12 (1999 年) _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 (1994 年) 计算14 (1994 年) 如图 29 所示，设曲线方程为 y 2 ，梯形 OABC 的面积为 D，曲边梯形 OABC 的面积为 D1，点 A 的坐标为(a， 0)，a 0，证明：15 (1994 年) 设 f()在0，1上连续且递减，证明：当 01 时， 0f()d01f()d16 (1994
4、年) 求曲线 y3 21与 轴围成封闭图形绕 y3 旋转所得的旋转体的体积17 (1995 年) 设 f(21)ln ，且 f()ln ，求()d18 (1995 年) 求摆线 (0t27)的弧长19 (1995 年) 求函数 f() (2t)e -tdt 的最大值和最小值20 (1995 年) 设 f() ，计算f 0f()d21 (1996 年) 计算22 (1996 年) 求23 (1996 年) 设有正椭圆柱体，其底面的长短轴分别为 2a，2b，用过此柱体底面的短轴与底面成口角(0a )的平面截此柱体，得一楔形体(如图 210)求此楔形体的体积24 (1996 年) 计算不定积分25
5、(1997 年) 求 的值26 (1997 年) 计算 e2(tan1) 2d27 (1997 年) 设函数 f()在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)上大于零，并满足f()f() 2(a 为常数)，又曲线 yf()与 1，y0 所围的图形 S 的面积值为 2，求函数 yf() 并问 a 为何值时，图形 S 绕 轴旋转一周所得旋转体体积最小考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 在0，ln2上考虑 f()e ，显然 f()满足原题设条件，而则 S2S 1S 3【知识模块】 一
6、元函数积分学2 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 C【试题解析】 故，当0 时，a()是 ()的同阶但非等价无穷小【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 A【试题解析】 排除法B、C、D 选项分别举反例如下： B 项的反例：f()cos，F()sin1 不是奇函数； C 项的反例： f()cos1，F() sin 不是周期函数； D 项的反例：f()，F() 2 不是单调函数； 所以应选 A【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 令 F() 0tf(t)f( t)dt 则 F()即 F() 0 f(t)f(t)dt 是偶函数
7、所以应选 D【知识模块】 一元函数积分学二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 2【试题解析】 其中 d0，由于 为奇函数【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 ln2 【试题解析】 由图 215 可知所求面积为【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 arcsin C 或 2arcsin C【试题解析】 将根式里面配方得【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 cot.lnsincot C【试题解析】 lnsindcotcot.lnsincot 2d cot.lnsin(csc 21)d cot.lnsin cotC【知识模块】
8、 一元函数积分学11 【正确答案】 f( 2)【试题解析】 令 2t 2u，则 原式 f(u)du( 2)【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 (2613)4arctan C【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 原题得证【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 0f()d 01f()d 0f()d 0f()d 0f()d (1) 0f()d 1f()d (1)f( 1)(1)f( 2) (0 1 ， 21) (1)f( 1)f( 2) 由于 f()递减，则
9、f(1)f( 2)0 故 0f()d01f()d【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 方程为 y 22 (01) y4 2 (12) 设对应区间0，1的这部分旋转体体积为 V1，对应区间1，2上的体积为 V2，则 dV13 23( 22) 2d dV23 23(4 2)2d 则 V2(V 1V 2) 2 01323( 22) 2)d2 12333(4 2)2d 【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 因为 f()是偶函数，故只需求 f()在0，)内的最大值与最小值 令 f() 2(
10、2 2) 0 故在区间(0，)内有唯一驻点 当 0 时，f() 0；当 时，f()0 所以 是极大值点，即最大值点 最大值 f( )(2 t)e -tdt1 e-2 f() 0 (2t)e -tdt(2t)e -t 1 又 f(0)0，故 0 为最小值点，所以 f()的最小值为 0【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 由分部积分法知【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 底面椭圆的方程为 1，以垂直于 y 轴的平面截此楔形体，所得截面为直角三角形，其一直角边长为 a ，另一直角边长为a ，故截面面积【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 由题设知，当 0 时 ，即 据此并由 f()在点 0 处的连续性，得 f() a2 c 0，1 又由已知条件得即 c4a 因此f() a2(4 a) 所求旋转体体积为由 V(a)( )0，得a5 又 V (a) 0 故 a5 时，旋转体体积最小【知识模块】 一元函数积分学
