1、考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (1991 年) 如图 28， 轴上有一线密度为常数 ，长度为 l 的细杆，有一质量为m 的质点到杆右端的距离为 a，已知引力系数为 k，则质点和细杆之间引力的大小为 【 】（A）（B）（C）（D）2 (1992 年) 设 f()连续，F() f(t2)dt，则 F()等于 【 】（A）f( 4)（B） 2f(4)（C） 2f(4)（D）2f( 2)3 (1992 年) 若 f()的导函数是 sin，则 f()有一个原函数为 【 】（A）1sin（B） 1sin（C）
2、 1cos（D）1cos4 (1993 年) 已知 ，设 F() 1f(t)dt(02)则 F()为 【 】（A）（B）（C）（D）5 (1994 年) 设 M cos4d，N (sin3cos 4)d，P (2sin3cos 4)d，则有 【 】（A）NPM（B） MPN（C） NM P（D）PM N6 (1995 年) 曲线 y(1)(2) 与 轴所围图形面积可表示为 【 】（A） 02(1)(2)d（B） 01( 1)(2)d 12(1)(2 )d（C） 01(1)(2)d 12(1)(2 )d（D） 02(1)(2)d7 (1996 年) 设 f()，g()在区间a，b上连续，且 g(
3、)f()m ，(m 为常数)，由曲线 yg()，yf()， a 及 b 所围平面图形绕直线 ym 旋转而成的旋转体体积为 【 】（A） ab2mf()g()f()g()d（B） ab2mf()g()f()g()d（C） abmf()g()f()g()d（D） abm f()g()f()g()d二、填空题8 (1991 年) _9 (1991 年) 质点以 tsin(t2)米秒作直线运动，则从时刻 t1 秒到 t2 秒内质点所经过的路程等于_米10 (1992 年) _11 (1992 年) 由曲线 ye 与直线 ye 所围成图形的面积 S_12 (1993 年) 设 F() 1(2 )dt(0
4、)，则函数 F()的单调减少区间是_13 (1993 年) _14 (1993 年) 已知曲线 yf()过点(0， )，且其上任一点(，y)处的切线斜率为ln(1 2)，则 f()_ 15 (1994 年) _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 (1991 年)sin 2d17 (1991 年)曲线 y( 1)( 2)和 轴围成一平面图形，求此平面图形绕 y 轴旋转一周所成的旋转体的体积18 (1991 年) 设函数 f()在(，) 内满足 f()f( )sin，且 f()，0，)，计算 3f()d19 (1992 年) 求20 (1992 年) 求21 (1992 年)
5、设 ，求 03f(2)d 22 (1992 年) 计算曲线 yln(1 2)上相应于 0 的一段弧的长度23 (1992 年) 求曲线 y 的一条切线 l，使该曲线与切线 l 及直线 0， 2 所围成平面图形面积最小24 (1993 年) 求25 (1993 年) 求26 (1993 年) 设平面图形 A 由 2y 22 与 y 所确定，求图形 A 绕直线 2 旋转一周所得旋转体的体积。27 (1993 年) 设 f()在0，a 上连续，且 f(0)0，证明28 (1994 年) 计算 01 d考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有
6、一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 C【试题解析】 由 F() (t2)dt 知 F()2f( 4) 故应选 C【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 由题设 f()sin 于是 f()f()dcosC， 从而 f()的原函数 F() f()d(cosC 1)dsin C 1C 2 令 C10，C 21，即得 f()的一个原函数为 1sin【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 D【试题解析】 所以应选 D【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 由被积函数的奇偶性可知 M0，N2
7、 cos4d0 P2 cos4d0 因此 PMN故应选 D【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 C【试题解析】 y(1)(2)与 轴的交点为 0，1，2，因此该曲线与 轴围成的面积为 02(1)(2) d 01(1)(2)d 12(1)(2)d 所以应选 C【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 B【试题解析】 所以应选 B【知识模块】 一元函数积分学二、填空题8 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 【试题解析】 质点所经过的路程为【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 ln2【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答
8、案】 e1【试题解析】 由 ee 可知 (ee)0，则 0 或 1 故 S 01(ee )d e1【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 (0， )【试题解析】 F()(2 ) (0)，令 2 0 解得 0 则 F()单调减少的区间为(0 ， )【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 (1 2)ln(1 2)1【试题解析】 由原题设可知 yln(1 2)，则又曲线 yf()过点(0， )，即y(0) ，代入上式得 C 故 y (1 2)ln(1 2)1【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 3sin3f(co
9、s3) 【试题解析】 由变上求导法可知【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 对 y 积分，由原曲线方程 y( 1)(2) 可得所求旋转体体积为【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 由弧长计算公式可知所求弧长为【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 设切点坐标为(t， )，由于 y
10、，则曲线 y 在点(t ， )处的切线方程为 令 S(t)0 得t1，又 S (1)0，则 t1 时 S(t)有极小值，即最小值，此时切线方程为 y当 时，y ，当 2 时，y 则切线 y 与0，2 及 轴围成的梯形面积为 S(t) (因为 a2b 22ab) 当且仅当 ，即 t1 时 S(t)达到最小，所求切线方程为 y (1)【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 对 y 积分(见图 213)，则微元【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 设 0， a，则 f() 0f(t)dt，该式两边取绝对值 f() 0f(t)dt 0f(t)dt 0MdtM 于是 0af()dt 0af()d 0aMd【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学
