1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 = ( )2 积分 = ( )3 设 f(x)在a ，b上非负，在(a，b) 内 f“(x)0，f(x)0I 1= f(b)+f(a)，I2=abf(x)dx，I 3=(b 一 a)f(b)，则 I1、I 2、I 3 大小关系为 ( )（A）I 1I2I3（B） I2I3I1（C） I1I3I2（D）I 3I2I14 设 f(x)=0sinxsin 2tdt，g(x)= 02xln(1+t)dt，则当 x0 时，f(x)与 g(x)相比是 ( )（A）等价无穷小（B）同阶但
2、非等价无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小5 设 N=一 aax2sin3xdx，P= 一 aa(x3 一 1)dx，Q= 一 aacos2x3dx，a0 ，则 ( )（A）NPQ（B） NQP（C） QPN（D）PNQ二、填空题6 设 f(x)的一个原函数为 ln x，则 f(x)=_7 已知函数 F(x)的导数为 f(x)= =0，则 F(x)=_。8 =_9 积分 =_10 =_11 若 f(x2)= (x0)，则 f(x)=_12 x2 sin 2xdx=_13 =_14 =_15 函数 F(x)=1x(1 一 ln )dt(x0)的递减区间为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程
3、或演算步骤。16 求不定积分 17 求下列积分： 18 求下列积分： 19 计算 20 求下列积分： 21 求下列积分： (x3+sin2x)cos2xdx22 求下列积分： 23 求下列积分： 24 求下列积分： 25 计算积分： 一 12xmax1，e 一 xdx，其中，x表示不超过 x 的最大整数26 计算积分： 03(x1 +x 一 2)dx27 计算积分：设 f(x)= 求 13f(x 一 2)dx28 计算积分：已知 f(x)= 求 2n2n+2(x 一 2n)e 一 xdx，n=2，3，29 求 30 设 f(sin2x)= 31 设函数 x=x(y)由方程 x(yx)2=y 所
4、确定，试求不定积分 考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 D【试题解析】 如图 131 所示，I 1 是梯形 AabB 的面积，I 2 是曲边梯形 AabB 的面积，I 3 是长方形 A1abB 的面积由于 f(x)0，f“(x)0，y=f(x) 单调减少且图形为凹由图可知 I3I2I1【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 B【试题解析】 需要计算 f(x)与 g(x)
5、比值的极限故当 x0 时，f(x)与 g(x)是同阶但非等价无穷小【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 x 2sin3x 是奇函数，故 N=0，x 3 是奇函数，故 P= 一 aa(一 1)dx=一2a0，Q=2 0acos2x3dx0，所以 PNQ【知识模块】 一元函数积分学二、填空题6 【正确答案】 一【试题解析】 由题设知，f(x)dx=ln x+Cf(x)=(ln x+C)= 。【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 ，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】
6、 ，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 ，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 ，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 ，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 ，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 e 2，+)【试题解析】 需要考虑 F(x)的导函数 F(x)=1 令 F(x)0，即得 xe2【知识模块】 一元函
7、数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 本题考查的知识点是不定积分的分部积分法，关键是选好 u 和dv【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 本题考查典型的有理函数的不定积分，首先凑微分，然后将分母配方【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 因 x=一(1 一 x)一 1，从而可凑微分法【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 本题考查定积分的性质和定积分的计算，由于是对称区间上的定积分，一般利用奇函数，偶函数在对称区间上积分性质简化计算，
8、本题还用到了华里士公式【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 此题计算量大些，考虑用分部积分法【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 一般会想到如下解法：用牛顿一莱布尼茨公式，令 t=tan x，则x=arctant，dx=这当然是错的，错在哪里呢?因为当 t一 1，0时，x=arctan t 之值不落在原积分区间0 ， 上 事实上，补救的办法是将积分区间拆开，【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 因分段函数x=则由定积分的分段可加性得 一 12xmax1，e 一 xdx=一 10(一 1)e 一 xdx+010dx+1
9、21dx=2 一 e【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 因分段函数x 一 1+x 一 2=则由定积分的分段可加性得 03(x1+x一 2)dx= 01(32x)dx+12dx+23(2x 一 3)dx=5【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 令 t=x 一 2，则由定积分的分段可加性得， 13f(x 一 2)dx=一 11f(t)dt=一 11(1+t2)dt+01e 一 tdt= 【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 令 t=x 一 2n，则由定积分的分段可加性与分部积分得， 2n2n+2f(x2n)e 一 xdx=02f(t)e 一 t 一 2ndt=e 一 2n01te 一 tdt+e 一 2n11(2 一 t)e 一 tdt =(1 一 e 一1)2e 一 2n【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 今 yx=t，则(y 一 t)t2=y，故得 t33t=A(t3+t2 一 t 一 1)+B(t2+2t+1)+C(t3 一 t2 一 t+1)+D(t2 一 2t+1) =(A+C)t3+(A+BC+D)t2+(一 A+2BC 一 2D)t 一 A+B+C+D 比较 t 的同次幂的系数得【知识模块】 一元函数积分学
