1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若x表示不超过 x 的最大整数，则积分 04xdx 的值为 ( )（A）0（B） 2（C） 4（D）62 = ( )3 函数 f(x)=0x (t2 一 t)dt(x0)的最小值为 ( )（A）一（B）一 1（C） 0（D）一4 设 f(x)连续，则在下列变上限积分中，必为偶函数的是 ( )（A） 0xtf(t)+f(一 t)dt（B） 0xtf(t)一 f(一 t)dt（C） 0xf(t2)dt（D） 0xf2(t)dt5 设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0。
2、则方程 axf(t)dt+bx dt=0 在(a，b)内的根有 ( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）无穷多个二、填空题6 已知 01f(x)dx=1，f(1)=0，则 0xxf(x)dx=_7 设 =_8 定积分 x2(sin x+1)dx=_9 设 f(x)连续，f(0)=1，则曲线 y=0xf(x)dx 在(0，0)处的切线方程是_10 设 f(x)= 则 一 20f(x+1)dx=_11 一 22x3 cos zdx=_12 设 f(x)为连续函数，且 F(x)= f(t)dt，则 F(x)=_13 0+xe 一 xdx=_14 设 f(x)连续，则 0xsin0tf(u
3、)dudt=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在0，+)上可导，f(0)=0，其反函数为 g(x)，若 xx+f(x)g(t 一 x)dt=x2ln(1+x)求 f(x)16 计算定积分 。17 计算定积分 。18 计算 19 计算 0xf(t)g(xt)dt(x0)，其中，当 x0 时，f(x)=x，而20 已知 f(x)连续， 0xtf(x 一 t)dt=1 一 cos x，求 f(x)dx 的值21 计算 22 23 计算 I= 24 对于实数 x0，定义对数函数 ln x=1x 依此定义试证：(1)ln =一 ln x(x0)；(2)ln(xy)=l
4、n x+ln y(x0，y0)25 计算 In=一 11(x2 一 1)ndx26 计算 01xndx27 若 f(x)=0xcos dt，试证：f(0)=028 若 f(x)在( 一，+)上连续，且 f(x)=0xf(t)dt，试证： f(x)0 (一x+)29 判别积分 0+ 的敛散性30 判别积分 0+ 的敛散性考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 x= 从而 04xdx=0+1+2+3=6【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 此题若立刻作变换 tan
5、x=t 或 tan =t，则在 0x2 上不能确定出单值连续的反函数 x=(t)可先利用周期性和奇偶性将积分区间缩小，在此小区间上作变换 tan x=t【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 A【试题解析】 奇函数的原函数是偶函数(请读者自己证之但要注意，偶函数 f(x)的原函数只有 0xf(t)dt 为奇函数，因为其它原函数与此原函数只差一个常数，而奇函数加上一个非零常数后就不再是奇函数了)，选项(A)中被积函数为奇函数，选项(B)(C)中被积函数都是偶函数，选项 (D)中虽不能确定为偶函数，但为非负函数，故变上限积分必不是
6、偶函数应选(A)【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 B【试题解析】 所以F(x)单调增加，它在(a，b)内最多只有一个根应选(B)【知识模块】 一元函数积分学二、填空题6 【正确答案】 一 1【试题解析】 此积分的计算要用分部积分法 01xf(x)dx=01xdf(x)=xf(x) 0101f(x)dx=一 1【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 a【试题解析】 f(x)是抽象函数，不能具体地计算积分，要用积分中值定理然后再计算极限 xx+af(t)dt=f(x)a， x 介于 x，x+a 之间，所以【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【试题解析】 x 2sin x
7、 是奇函数，【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 y=x【试题解析】 曲线在(0，0)处切线斜率 k=y x=0=01f(t)dt x=0=f(0)=1所以曲线在(0， 0)处，切线方程为 y=x【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 作定积分换元 x+1=t，原积分= 一 11f(t)dt=一 10(t+1)dt+01t2dt=。【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 0【试题解析】 被积函数 是奇函数，在对称区间一 2，2上积分为零【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 由变限积分求导公式 f(t)dt=f(x)(x)一 f(x)
8、(x)即知【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 1【试题解析】 原积分=一 0+xde 一 x=一 xe 一 x 0+0+e 一 xdx=0+e 一 xdx=一 e 一x 0+=1【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 sin 20xf(u)du【试题解析】 0xsin20xf(u)dudt 是形如 0x(t)dt 形式的变上限积分，由=(x)=sin20xf(u)du【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令 tx=u，则 dt=du，于是 xx+f(x)g(tx)dt=0x+f(x)g(u)du=x2ln(1+x)
9、将等式 0x+f(x)g(u)du=x2ln(1+x)两边对 x 求导，同时注意到 gf(x)=x，于是有 =2ln(1+x)+xln(1+x)一 x+xln(1+x)+C =ln(1+x)+2xln(1+x)一 x+C由于 f(x)在 x=0 处连续，可知 =C；又 f(0)=0，解得 C=0，于是 f(x)=ln(1+x)+2xln(1+x)一 x【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 令 1 一 x=sint，则【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分
10、学20 【正确答案】 令 x 一 t=u，有 0xtf(xt)dt=0x(x 一 u)f(u)du于是 x 0xf(u)du0xuf(u)du=1 一 cos x 两边对 x 求导，得 0xf(u)du=sin x，在上式中，令 x=1【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 由分部积分法可知【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 由分部积分可得 I n=x(x2 一 1)n 一 11 一 2n一 11x2(x21)dx =一 2n一11(x21)ndx 一 2n一 11(x21)n 一 1dx =一 2nIn 一 2nIn 一 1，【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 因为【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 由 f(x)=0xf(t)出可知 f(x)=f(x)，其通解为 f(x)=cex，又 f(0)=0，故f(x)0【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 因为如绝对收敛。【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 发散。【知识模块】 一元函数积分学
