1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)连续，f(0)=1，f(0)=2下列曲线与曲线 y=f(x)必有公共切线的是 ( )（A）y= 0xf(t)dt（B） y=1+0xf(t)dt（C） y=02xf(t)dt（D）y=1+ 02xf(t)dt2 设 (x)在a，b上连续，且 (x)0，则函数 y=(x)=abx 一 t(t)dt ( )（A）在(a，b)内的图形为凸（B）在 (a， b)内的图形为凹（C）在 (b，b)内有拐点（D）在(a，b)内有间断点3 f(x)= ，F(x)= 一 1xf(
2、t)dt，则 ( )（A）F(x)为 f(x)的一个原函数（B） F(x)在(一，+)上可微，但不是 f(x)的原函数（C） F(x)在(一，+)上不连续（D）F(x)在(一，+) 上连续，但不是 f(x)的原函数4 已知 f(x)= 则在(一，+)内，下列正确的是 ( )（A）f(x)不连续且不可微， F(x)可微，且为 f(x)的原函数（B） f(x)不连续，不存在原函数，因而 F(x)不是 f(x)的原函数（C） f(x)和 F(x)均为可微函数，且 F(x)为 f(x)的一个原函数（D）f(x)连续，且 F(x)=f(x)5 设 F(x)=0x+2esintsintdt，则 F(x)
3、( )（A）为正常数（B）为负常数（C）恒为零（D）不为常数二、填空题6 设两曲线 y=f(x)与 y=0arctanx dt 在点(0 ，0)处有相同的切线，则=_7 =_(a 为常数，n 为自然数)8 设 f(x)是连续函数，且 f(t)dt=x，则 f(7)=_9 设 f(3x+1)= ，则 01f(x)dx=_10 设 =一 atetdt，则 a=_11 设 是 f(x)的一个原函数，则 1exf(x)dx=_12 =_13 设 f(x)有一个原函数 =_14 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 计算 2+ (k 为常数)16 已知 I()=0 ，求积分 一 3
4、2I()d17 求不定积分 18 求不定积分(arcsin x)2dx19 设函数 f(x)连续，且 0xtf(2xt)dt= arctan x2已知 f(1)=1，求 12f(x)dx 的值20 设 f(x)具有二阶导数，且 f“(x)0又设 u(t)在区间0，a( 或a，0)上连续，试证明： 21 (1)设 f(x)是以 T 为周期的连续函数，试证明： 0xf(t)dt 可以表示为一个以 T 为周期的函数 (x)与 kx 之和，并求出此常数 k； (2)求(1)中的 0x(t)dt； (3)以x表示不超过 x 的最大整数，g(x)=x 一x，求 0xg(t)dt。22 设在区e，e 2上，
5、数 p，q 满足条件 px+qln x 求使得积分 I(p，q)= (px+qln x)dx 取得最小值的 p，q 的值23 设 xOy 平面上有正方形 D=(x，y)0x1，0y1及直线 l：x+y=t(t0)。若S(t)表示正方形 D 位于直线 l 左下方部分的面积，试求 0xS(t)dt(x0)。24 设 f(x)在0，+)上连续，0ab，且 A+ 出收敛，其中常数 A0试证明： 25 求曲线 y= 的一条切线 l，使该曲线与切线 l 及直线 x=0，x=2 所围成图形的面积最小26 设 D 是由曲线 y=sin x+1 与三条直线 x=0，x=，y=0 所围成的曲边梯形，求 D绕 x
6、轴旋转一周所围成的旋转体的体积27 如图 131 所示，设曲线方程为 y=x2+ ，梯形 OABC 的面积为 D，曲边梯形 OABC 的面积为 D1，点 A 的坐标为(a，0)，a 0，证明： 28 设函数 F(X)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内大于零，并且满足 xf(x)=f(x)+ x2(a 为常数)，又曲线 y=f(x)与 x=1，y=0 所围的图形 S 的面积值为 2求函数 y=f(x)，并问 a 为伺值时，图形 S 绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小29 设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的
7、切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1，区间 0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1 一 S2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程30 设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为 2a，2b，用过此柱体底面的短轴且与底面成 角(0 )的平面截此柱体，得一楔形体 (如图 132)，求此楔形体的体积 V考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 曲线 y=f(x)在横坐标 x=0 对应的点(0，1)处切线为 y=1+2x选项(D
8、)中函数记为 y=F(x)由 F(0)=1，F(0)=2f(0)=2，知曲线 y=F(x)在横坐标 x=0 对应点处切线方程也为 y=1+2x故应选(D)【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 先将 (x)利用 xt的分段性分解变形，有 (x)=ax(x 一 t)(t)dt+xb(t 一 x)(t)dt=xax(t)dtaxt(t)dt+xbt(t)dtxxb(t)dt 因为 (t)在a，b上连续，所以 (x)可导，因而答案不可能是 (D)其余三个选项，只需求出 “(x)，讨论 “(x)在(a，b)内的符号即可因 (x)= ax(t)dt 一 xb(t)dt， (x)=2
9、(x)0，xa，b， 故 y=(x)在(a，b)内的图形为凹应选 (B)【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 D【试题解析】 请看通常的解法： 求积分并用连续性确定积分常数，可得所以 F+(0)F一 (0) 根据原函数定义，F(x)不是 f(z)在(一 ，+) 上的原函数 事实上，由于 f(x)有第一类间断点，所以 F(x)必然不是其原函数，而变限积分存在就必连续，所以答案自然选择(D)【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 A【试题解析】 可以验证 x=0 为 f(x)的第二类间断点，因为不存在，故 x=0 为 f(x)的第二类振荡间断点，可能存在原函数 通过计算 故 F(x)
10、可微即 F(x)=f(x)，故(A)正确【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 A【试题解析】 因 esinxsin x 是以 2 为周期的周期函数，所以 xx+2esintsintdt=02esintsin tdt 02ecos2tdt 又 esinxcos2x0，故选(A)【知识模块】 一元函数积分学二、填空题6 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【试题解析】 要从变上限积分得到被积函数，可以对变限积分求导等式两边对x 求导得【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 【试题解析
11、】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 2【试题解析】 =ea，又 一 atetdt=一atdet=tet 一 a 一 一 aet=aea 一 et一 a=(a 一 1)ea所以 ea=(a 一 1)ea，a=2 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 一(1+ )【试题解析】 1exf(x)dx=1exdf(x)=xf(x) 1e 一 1ef(x)dx。【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 ln3【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 一 2+2+6【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 一 2arctan +C，其中
12、 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 根据 k 的取值，分情况讨论：【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 (1)当 a0，1 时，【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 令 u=2x 一 t，则 t=2x 一 u，dt=一 du当 t=0 时，u=2x；当 t=x时，u=x 故 0xtf(2xt)dt=一 2xx(2x 一 u)f(u)du=2xx2xf(u)dux2xuf(u)du，【知识模
13、块】 一元函数积分学20 【正确答案】 由泰勒公式 f(x)=f(x 0)+f(x0)(x 一 x0)+ f“()(xx0)2 f(x0)+f(x0)(xx0)， 介于 x 与 x0 之间以 x=u(t)代入并两边对 t 从 0 到 a 积分，其中暂设a0，于是有 0xfu(t)dtaf(x0)+f(x0)0xu(t)dtx0a【试题解析】 由条件 f“(x)0，想到将 f(x)在某 x0 处展成带有拉格朗日余项的泰勒公式，然后丢弃 f“()得到一个不等式以处理之【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 (1)令 (x)=0xf(t)dt 一 kx，考查 (x+T)一 (x)=0x+Tf
14、(t)dt 一 k(x+T)一 0xf(t)dt+kx =0Tf(t)dt+Tx+Tf(t)dt0xf(t)dtkT对于其中的第二个积分，作积分变量代换，令 t=u+T，有 Tx+Tf(t)dt=0xf(u+T)du=0xf(u)du， 于是 (x+T)一 (x)=0Tf(t)dt 一 kT。可见，(x) 为 T 周期函数的充要条件是【试题解析】 (1)证明能取到常数 k 使 0xft)dt 一 kx 为周期 T 即可(1)得到的表达式去求 0xf(t)出即可得(2)但请读者注意，一般不能用洛必达法则求此极限，除非 f(x)恒为常数对于(3) ，由于 g(x)不连续，如果要借用(1)的结论，需
15、要更深一层的结论由于 g(x)可以具体写出它的分段表达式，故可直接积分再用夹逼定理即得。【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 要使 I(p，q)= (px+q 一 ln x)dx 最小，直线 y=px+q 应与曲线y=ln x 相切，从而可得到 p，q 的关系，消去一个参数通过积分求出 I(p)后再用微分方法求 I(p)的极值点 p0，然后再求出 q 的值或将 p，q 都表示成另一个参数t 的函数形式，求出 I(t)的极值点后，再求出 p，q 的值 设直线 y=px+q 与曲线y=ln z 相切于点(t，lnt) ，则有【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 【知识模块】 一
16、元函数积分学24 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 y= 0(sin x+1)2dx= 。【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 故当 a=一 5 时，旋转体体积最小【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处的切线方程为 Y y=y(X 一 x)两边对 x 求导并化简得 yy“=(y)2令 p=y，则上述方程可化为注意到 y(0)=1，并由式得 y(0)=1由此可得 C1=1，C 2=0，故所求曲线的方程是 y=ex【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 底面椭圆的方程为 =1。以垂直于 y 轴的平行平面截此楔形体所得的截面为直角三角形，两直角边长分别为【知识模块】 一元函数积分学
