1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)是以 l 为周期的周期函数，则 a+kla+(k+1)lf(x)dx 之值 ( )（A）仅与 a 有关（B）仅与 a 无关（C）与 a 及 k 都无关（D）与 a 及 k 都有关2 设 M= (x2sin3xcos6x)dx，则 ( )（A）NPM（B） MPN（C） NM P（D）PM N3 设 f(x)是以 T 为周期的可微函数，则下列函数中以 T 为周期的函数是 ( )（A） 0xf(t)dt（B） 0xf(t2)dt（C） 0xf(t2)dt（D） 0x
2、f(t)f(t)dt4 下列反常积分收敛的是 ( )5 以下 4 个命题设 f(x)是(一 ，+) 上连续的奇函数，则 一 +f(x)dx 必收敛，且一 +f(x)dx=0；设 f(x)在( 一，+)上连续，且 一 RRf(x)dx 存在，则 一 +f(x)dx 必收敛，且 一 +f(x)dx= 一 RRf(x)dx； 若 一 +f(x)dx 与 一 +g(x)dx 都发散，则 一 +f(x)+g(x)dx 未必发散； 若 一 0f(x)dx 与 0+f(x)dx 都发散，则 一 +f(x)dx未必发散正确的个数的 ( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个二、填空题6 x3
3、dx=_7 0tsin tdt=_8 04 dx=_9 设 f(sin2x)=cos 2x+tan2x(0x1)，则 f(x)=_10 设 y=y(x)，如果 ydx =一 1，y(0)=1，且当 x+时，y0，则y=_。11 设 f(x)连续，则 0xtf(x2 一 t2)dt=_12 0xsin(x 一 t)2dt=_13 设 n 是正整数，则 =_14 =_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 计算曲线 y=ln(1 一 x2)上相应于 0x 的一端弧的长度16 求心彤线 r=a(1+cos)的全长，其中 a0 是常数17 求极限 (，一 1)18 设 f(x)在(
4、一，+)内连续，以 T 为周期，则 (1) aa+Tf(x)dx=0Tf(x)dx(a 为任意实数)； (2) 0xf(t)dt 以 T 为周期 0Tf(x)dx=0； (3)f(x)dx(即 f(x)的全体原函数)周期为 T 0Tf(x)dx=019 计算不定积分 20 计算不定积分 21 求定积分的值 22 设常数 0a 1，求 23 已知 24 设 a，b 均为常数， a一 2，a0，求 a，b 为何值时，使 1+ 一 1dx=01ln(1 一 x2)dx25 直线 y=x 将椭圆 x2+3y2=6y 分为两块，设小块面积为 A，大块面积为 B，求 的值26 设 f(x)是( 一，+)上
5、的连续非负函数，且 f(x)0xf(x 一 t)dt=sin4 x，求 f(x)在区间0， 上的平均值27 设 f(x)= 所围成平面图形绕 Ox轴所旋转成旋转体的体积28 设 g(x)= ，f(x)=g(t)dt。(1)证明：y=f(x)为奇函数，并求其曲线的水平渐近线；(2)求曲线 y=f(x)与它所有水平渐近线及 Oy 轴围成图形的面积29 设函数 f(x)在0，1上连续， (0，1)内可导，且 3 f(x)dx=f(0)，证明：在(0，1)内存在一点 f，使 f(C)=030 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，证明：至少存在一点 (a，b)，使得 f() bg(x)dx=g()
6、af(x)dx31 设 f(x)在区间0，1上连续，在 (0，1)内可导，且满足 f(1)=3 f(x)dx，证明：存在 (0，1)，使得 f()=2f()考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 14 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)是以 l 为周期的周期函数，所以 a+kla+(k+1)lf(x)dx=kl(k+1)lf(x)dx=0lf(x)dx， 故此积分与 a 及 k 都无关【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 D【试题解析】 当
7、g(x+T)=g(x)时，因为 0x+Tg(t)dt=0xg(t)dt+0x+T=g(t)dt=0xg(t)dt+0Tg(t)dt，若 0x+Tg(t)dt=0xg(t)dt=0反之，若 0Tg(t)dt=0，则 0x+Tg(t)dt=0xg(t)dt 因为 f(x)是以 T 为周期的函数，所以 4 个选项中的被积函数都是以 T 为周期的周期函数，但是仅有 0Tf(t)f(t)dt= f2(T)一 f2(0)=0因此，只有0xf(t)f(t)dt 是以 T 为周期的函数【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 选项(A) 中，【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 A
8、【试题解析】 一 +f(x)dx 收敛存在常数 a，使 一 af(x)dx 和 a+f(x)dx 都收敛，此时 一 +f(x)dx=一 af(x)dx+a+f(x)dx 设 f(x)=x，则 f(x)是(一，+)上连续的奇函数，且 一 RRf(x)dx=0但是 一 0f(x)dx=一 0xdx=， 0+f(x)dx=0+xdx=，故 一 +f(x)dx 发散，这表明命题， 都不是真命题 设f(x)=x，g(x)=一 x，由上面讨论可知 一 +f(x)dx 与 一 +g(x)dx 都发散，但 一 +f(x)+g(x)dx 收敛，这表明命题是真命题故应选(A)【知识模块】 一元函数积分学二、填空题
9、6 【正确答案】 (x21)+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【试题解析】 0tsin tdt=一 0td(cos t)=一 tcos t 0+0cos tdt=【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 2(e 2+1)【试题解析】 02etd(t2)=202tetdt=202tdet =2tet 02 一202e2dt=2(e2+1)【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 一 ln(1 一 x)一 x2+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 e 一 x【试题解析】 分离变量，两边积分
10、，再由已知条件得结果 y=e 一 x【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 xf(x 2)【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 sinx 2【试题解析】 令 x 一 t=u，则原式= (0xsinu2du)=sin x2【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 当 f(x)+f(a+b 一 z)便于积分时可简化定积分 abf(x)dx 的计算【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案
11、】 r()=一 asin，【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 (1) aa+Tf(x)dx=f(a+T)一 f(a)=0 aa+Tf(x)dx=aa+Tf(x)dx a=0=aa+Tf(x)dx(2) axf(t)dt 以 T 为周期 0x+Tf(t)dt 一 0xf(t)dt=xx+Tf(t)dt 0Tf(t)dt=0(3) 只需注意 f(x)dx=0xf(t)dt+C， 0xf(t)dt 是 f(x)的一个原函数【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积
12、分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 若 b一 a0，上述极限不存在，所以要使原等式成立，必须 a=b，那么【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 令 x 一 t=u，则 0xf(x 一 t)dt=0xf(u)du，记 F(x)=0xf(u)du，则F(x)F(x)=sin 4x，两端在 (0，) 上积分得【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 先求 f(x)的表达式，注意到函数 ex 在 x+与 x一
13、 的极限，可知【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 显然，g(0)=1，而当 x0 时由“1 ”型极限得(2)由所考虑的平面图形的对称性及分部积分法得所求的面积为【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 从而有 f(c1)=f(0)，故 f(x)在区间0，c 1上满足罗尔定理条件，因此在(0，c 1)内存在一点 c，使 f(C)=0，c(0，c 1) (0，1) 【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 记 G(x)=f(x)xbg(t)dtg(x)axf(t)dt求得 G(x)的原函数为 F(x)=axf(t)dtxbg(t)dt+C，其中 C 为任意常数，因为 f(x
14、)，g(x)在a，b上连续，所以F(x)：(1)在a，b 上连续；(2)在(a ，b)内可导；(3)F(a)=F(b)=C，即 F(z)在a，b上满足罗尔定理，所以，至少存在一个 (a，b)，使得 F()=0，即 f()bg(x)dx=g()af(x)dx【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 由积分中值定理，得 f(1)= 令 F(x)=f(x)，则 F(x)在 1，1上连续，在( 1，1)内可导，且 F(1)=f(1)=f(1)= f(1)=F(1) 由罗尔定理，在( 1，1)内至少有一点 ，使得 F()= f()一 2f()=0，于是 f()=2f()，( 1， 1) (0，1)【知识模块】 一元函数积分学
