1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 23 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设在区间a，b上 f(x)0，f(x)0，f(x) 0，令 S1= ，S 2=f(b)(b-a)，S 3=f(a)+f(b)，则( )（A）S 1S 2S 3（B） S2S 1S 3（C） S3S 1S 2（D）S 2S 3S 1二、填空题2 =_3 =_4 =_5 =_6 =_(其中 a 为常数)7 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 计算9 计算10 计算11 设 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0，证明：存在 (a，b)，使得12 设 f(x
2、)在a，b上连续，证明：12 设 f(x)为连续函数，证明：13 14 15 证明：16 设 f(x)连续，证明：17 设 f(x)连续且关于 x=T 对称，aTb证明：17 设 f(a)=f(b)=0， ，f(x) Ca， b18 求19 证明：20 设 f(x)在区间0，1上可导， f(1)= 证明：存在 (0，1)，使得2f()+f()=021 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，证明：存在 (a，b)，使得22 设 f(t)在0，上连续，在(0，) 内可导，且 f(x)sinxdx=0证明：存在 (0，) ，使得 f()=023 设 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内可导，
3、f(0)=f(2)=0，且f(x)2证明：24 设 f(x)在区间a，b上二阶连续可导，证明：存在 (a，b)，使得25 求曲线 与 x 轴围成的区域绕 x 轴、y 轴形成的几何体体积26 求曲线 y=x2-2x、y=0、x=1、x=3 所围成区域的面积 S，并求该区域绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V26 设 L：y=e -x(x0)27 求由 y=e-x、x 轴、y 轴及 xa(a0)所围成平面区域绕 x 轴一周而得的旋转体的体积 V(a)28 设 V(c)= ，求 c考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 23 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1
4、 【正确答案】 B【试题解析】 因为函数 f(x)在a ，b 上为单调减少的凹函数，根据几何意义，S2S 1S 3，选(B) 【知识模块】 一元函数积分学二、填空题2 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 【试题解析】 因为【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 【试题解析】 令 I=【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案
5、】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 x=1 为被积函数的无穷间断点，则【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 令 g(x)= 因为 f(x)在a ，b上连续，且 f(x)0，所以 g(a)= 由零点定理，存在 (a，b)，使得 g()=0，即【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 令 I= xf(sinx)dx，则【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学16
6、【正确答案】 方法一【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 由 f(x)关于 x=T 对称得 f(T+x)=f(T-x)，【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 令 (x)=x2f(x)，由积分中值定理得 f(1)= =c2f(c)，其中 c ，即 (c)=(1)，显然 (x)在区间01上可导，由罗尔中值定理，存在 (c，1) (0，1)，使得 ()=0而 (x)=2xf(x)+x2f(x)，所以 2f()+2f()=0，注意到 0，故 2f()+f()=
7、0【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 令 (x)= ，显然 (x)在a，b上可导，又 (a)=(b)=0，由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()=0，而 (x)=【试题解析】 由【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 令 F(x)= ，因为 F(0)=F()=0，所以存在 x1(0，)，使得 F(x1)=0，即 f(x1)sinx1=0，又因为 sinx10，所以 f(x1)=0设 x1 是 f(x)在(0，)内唯一的零点，则当 x(0，) 且 xx1 时，有 sin(x-x1)f(x)恒正或恒负，于是，矛盾，所以 f(x)在(0，)内至少有两个零点不妨设 f(x1)=f
8、(x2)=0，x 1，x 2(0，)且 x1x 2，由罗尔中值定理，存在 (x1，x 2) (0，)，使得 f()=0【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 由微分中值定理得 f(x)-f(0)=f(1)x，其中 0 1x，f(x)-f(2)=f( 2)(x-2)，其中 x2，于是 从而【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 令 F(x)= ，则 F(x)在a ，b上三阶连续可导，取x0= ，由泰勒公式得 F(a)=F(x0)+F(x0)(a-x0)+ (a-x0)3， 1(a，x 0)，F(b)=F(x 0)+F(x0)(b-x0)+ (b-x0)3， 2(x0，b)，两式相减得 F(b)-F(a)=F(x0)(b-a)+ F(1)+F(2)，即因为 f(x)在a，b上连续，所以存在 1， 2 (a，b)，使得【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 区域面积为【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 V(a)=【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 由 V(c)=【知识模块】 一元函数积分学
